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Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 4 ...

Ejercicios Resueltos de Estad stica: Tema 4: Probabilidades y Variables Aleatorias 1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una l nea de ensamblaje es de Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: 1. cu l es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 3. cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? SOLUCI N: Sea i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la l nea de ensamblaje en el momento i, siendo i= 1 si la unidad es defectuosa y =0 en caso contrario. La variable sigue una distribuci n Bernoulli con par metro p=0 05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Adem s, n tese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el n mero de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas ( n), esto es,inipn ==1, , sigue una distribuci n binomial de par metros n y p=0,05.

1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de

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1 Ejercicios Resueltos de Estad stica: Tema 4: Probabilidades y Variables Aleatorias 1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una l nea de ensamblaje es de Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: 1. cu l es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 3. cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? SOLUCI N: Sea i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la l nea de ensamblaje en el momento i, siendo i= 1 si la unidad es defectuosa y =0 en caso contrario. La variable sigue una distribuci n Bernoulli con par metro p=0 05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Adem s, n tese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el n mero de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas ( n), esto es,inipn ==1, , sigue una distribuci n binomial de par metros n y p=0,05.

2 Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema: 1. Procedamos a calcular: 0476,0**210)2()05,01(05'08205'0,10= == P 2. Se tiene que: 9984,0**10)2()05,01(05'01005'0,10= = iiiP 3. Por ltimo: 4013,05987,01**0101)0(1)1()05,01(05,0010 005'0,10005'0,10= = == = PP 2. El gerente de un restaurante que s lo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistir n. Si el restaurante acepta 25 reservas pero s lo dispone de 20 mesas, cu l es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? SOLUCI N: Representemos por la variable aleatoria la decisi n de asistir ( = 0) o no ( = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribuci n de Bernoulli de par metro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre s , se tiene que, de un total de n reservas ( n), el n mero de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable aleatoria Yn = =ni11 , con distribuci n binomial de par metros n y p=0,2.

3 En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. As se tiene que: 5799,0)2,01(*2,0*25)20(25200= = = iiiiYP 3. Una empresa electr nica observa que el n mero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el n mero promedio de estos fallos es ocho, 1. cu l es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. y de que fallen no m s de dos componentes en 50 horas? 3. cu l es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? SOLUCI N: Sea la variable aleatoria , con distribuci n de Poisson con par metro [],8== E que determina el n mero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento. 1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable que mide el n mero de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribuci n de Poisson con par metro = E [ ] = 8=4 = 2.

4 Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente: 27067,0*!12)1(21==== eP 2. An logamente, definimos una variable aleatoria U con distribuci n de Poisson de par metro U = 8=2 = 4, que mide el n mero de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que: 2381,0*!4)2(420== = eiUPii 3. De la misma forma, definiendo una variable aleatoria V con distribuci n de Poisson de par metro 10=V , se obtiene: = = =< = 1001041696,0*!101)10(1)10(iieiVPVP 4. Sean y las variables aleatorias que cuentan el n mero de veces que sale 1 y 6, respectivamente, en 5 lanzamientos de un dado. Son y independientes?. SOLUCI N: Las variables y siguen una distribuci n binomial de par metros n=5 y p=1/6. Veamos mediante un contraejemplo, que y no son independientes. Por un lado se tiene que: 532)0,0( ==== P, pero )0(65)0(5== == PP ,65)0(*)0(32)0,0(105 === ==== PPP concluy ndose as que las variables no son independientes.

5 5. Sup ngase que la producci n de un d a de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al n mero de piezas de la muestra que no cumplen. Cu l es la funci n de distribuci n acumulada de X? SOLUCI N: La pregunta puede contestarse encontrando primero la funci n de masa de probabilidad de X. P(x=0)= (800/850)(799/849)=0,886 P(x=1)=2(800/850)(50/849)=0,111 P(x=2)=(50/850)(49/849)=0,003 Por lo tanto, F(0)=P(x0 )= F(1)=P(x1 )= +0,111=0,997 F(2)=P(x 2)=1 6. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una mol cula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la mol cula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la mol cula rara. SOLUCI N: Sea X=n mero de muestras de aira que contiene la mol cula rara en la siguientes 18 muestras analizadas.

6 Entonces X es una variable aleatoria binomial con p=0,1 y n=18. Por lo tanto, P(X=2)=()()1629,02,0218 Ahora bien, [].1532/)17(18)!16!2/!18(218=== Por lo tanto, 284,0)9,0()1,0(153)2(162===xP 7. Un avi n de alto rendimiento contienen tres computadoras id nticas. Se utiliza nicamente una para operar el avi n; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operaci n la probabilidad de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, (a) Cu l es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras? (b) Cu l es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? SOLUCI N: Sea que X denote el n mero de horas hasta que los tres sistemas fallen, y sea que X1, X2 y X3 denoten el n mero de horas de operaci n antes de una falla de la primera, la segunda y la tercera computadoras usadas, respectivamente.

7 Entonces, X=X1+X2+X3. Adem s, se supone que las horas comprenden ensayos independientes con la probabilidad con la probabilidad constante de falla p= y r=3. En consecuencia, E(X)= 3 6000horas Cu l es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? La probabilidad pedida es P(x 5) y P(x 5)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)= + (0,9995)+) ( = *1010 +3,75*1010 +7,49*1010 =1,249*1010 8. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tuber a local y 200 unidades de un proveedor de tuber a del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo, (a) cu l es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? (b) Cu l es la probabilidad de que dos o m s piezas de la muestra sean del proveedor local? (c) Cu l es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? SOLUCI N: cu l es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? Sea X igual al n mero de piezas de la muestra del proveedor local.

8 Entonces, x tiene una distribuci n hipergeom trica y la probabilidad pedida es P(x=4). Por consiguiente, P(x=4)= 430002004100= Cu l es la probabilidad de que dos o m s piezas de la muestra sean del proveedor local? P(x)2 = + + 430002004100430012003100430022002100= + + Cu l es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? P( )0(1)1= == = xP 9. Supongamos que el n mero de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribuci n Poisson con una media de imperfecciones por mil metro. (a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un mil metro de alambre. (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mil metros de alambre. (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfecci n en 2mm de alambre SOLUCI N: (a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un mil metro de alambre. Entonces E(x)= imperfecciones y P(x=2)= !23* e (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mil metros de alambre.

9 Sea que X denote el n mero de imperfecciones en 5 mil metro de alambre. Entonces, X tiene una distribuci n Poisson con E(x)= imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones. Por lo tanto, P(x=10)= !10 (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfecci n en 2mm de alambre. Sea que x denote el n mero de imperfecciones en 2 mil metros de alambra. Entonces, X tiene una distribuci n de Poisson con E(x)= Por lo tanto, P(x 1)=1-P(x=0)= = 10. La contaminaci n constituye un problema en la fabricaci n de discos de almacenamiento ptico. El n mero de part culas de contaminaci n que ocurre en un disco ptico tiene una distribuci n de Poisson y el n mero promedio de part culas por cent metro cuadrado de superficie del disco es El rea de un disco bajo estudio es 100 cent metros cuadrados. (a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 part culas en el rea del disco bajo estudio. (b) La probabilidad de que ocurran cero part culas en el rea del disco bajo estudio (c) Determine la probabilidad de que 12 o menos part culas ocurran en el rea del disco bajo estudio SOLUCI N: Sea que x denote el n mero de part culas en el rea de un disco bajo estudio.

10 Puesto que el n mero promedio de part culas es part culas por cm2. E(x)=100 part culas/ cm2= 10 part culas Por lo tanto, (a) P(x=12)= !12101210 e= (b) La probabilidad de que ocurran cero part culas en el rea del disco bajo estudio es P(x=0)=e10 = (c) Determine la probabilidad de que 12 o menos part culas ocurran en el rea del disco bajo estudio. La probabilidad es P(X12 )=P(x=0)+P(x=1)+..+P(x=12)= = 12010!10iiie 11. Una muestra aleatoria con reposici n de tama o n=2 se selecciona del conjunto {1,2,3} produciendo el espacio equiprobable de 9 elementos. S={(1,1),(1,2),( ),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} Sea X la suma de los dos n meros. (a) Encuentre la distribuci n de X. (b) Encuentre el valor esperado E(X). SOLUCI N: (a) La variable aleatoria X asume los valores 2,3,4,5,6, es decir, Rx={2,3,4,5,6}. Se calcula la distribuci n de X: (i) Un punto (1,1) tiene suma 2; donde (2)=1/9. (ii) Dos puntos (1,2) y (2,1) tienen suma 3; de donde (3)=2/9.


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