Ejercicios resueltos de selectividad y EBAU …

1 Ejercicios resueltos de selectividad y EBAUM atem ticas I IUniversidad de ExtremaduraPAU:2000-2016 EBAU:2017 VicenteGonz n(Bada joz)Agosto2017i iPr logoEstelibrosehahechoparausoydisfrutede losalumnosdesegundodebachilleratodelaop ci ncient co-tecnol d -cimaedici eroqueteng islab ondaddep nagradezcodecoraz nlacolab oraci ndealgunoscompa e-rosycompa erasquetuvieroncono cimientodelaprimeraversi ngra-ciasalaSo ciedadExtreme adeEducaci nMatem tica VenturaReyesPr sp er ,lacualnos locomunic laprimeraedici n,sinoqueadem smep ermiti obtenerlosenunciadosdeto doslosa osyas ayudarmeaclasi ndez,co ordinadordeselectividad,elap orarlasgr -casantiguasqueestabanunp o nagradecerlascorrecciones,ap ortacioneseideasdelaco ordinadorap ermanentedeselectividad,as comodeto dosaquellosquelosvaisviendoymeloscomunic oheincluido,p orindicaci ndemialumnaAnaVillalba,unenlaceal naldelasoluci ncomentario,comunicaralg nerrorodeciralgoqueseteo curra.

2 Puedesp actualizandoconlosex menesquecadaa ovayap oniendolauniversidad,incorp orandoestea olosdelcurso2017, sestea osehaactua-lizadoelresumente nactualizadaenlap tilterecomiendoverelcursodemo o dlequetengoubicadoenelaulavirtualdemicen troEnelp o dr sencontrarm smaterial,as comov deosdemuchostip ade2odebachilleratoydespu senelcursodeMatem ticasI doslosquehanhechop osibleestosprogramasyloshancompartidogra tuitamenteconlosdem osigueteniendoun ndicequenosp ermiteelegircadaunodelosex menesydesdeah accederalassolucionesdelosproblemas,yal nalun ndicetem tico,clasi candolosejerciciosencuatroblo ques:An lisis, lgebra,Geometr ayProbabilidadyEstad joqueofrezcoalacomunidadeducativa,p eroesconvenientesab erqueseemiteba jounalicenciaCreativeCommonsenlaquetiene squetenerpresenteque:Tuereslibrede:copia r,distribuir,comunicaryejecutarp i iivBa jolasiguientescondiciones:Atribuci nDeb esrecono cerycitarlaobradelaformaesp eci cadap ,ogenerasunaobraderivada,s lopuedesdistribuirlaobrageneradaba jounalicenciaid nticaa ,tienesquedejarbienclarolost ,yamishijosAnaMa,Isab ,Chencho,Pepi,Gonzalo,Aur n,Mo desto,Fernando,Caito,MarcialyAntonioy,co mono,alabueloPaco,los ecialamipadreJuanAntonio,yafallecido,que meense oaserviryactuargratuitamenteenestavidaGr aciasato i NDICE RESUMENTE RICO.

3 IX EX MENES-Junio2000-Op ci nA..XXV-Junio2000-Op ci nB..XXVI-Septiembre2000-Op ci nA.. XXVI I-Septiembre2000-Op ci nB..XXVI I I-Junio2001-Op ci nA..XXIX-Junio2001-Op ci nB..XXX-Septiembre2001-Op ci nA.. XXXI-Septiembre2001-Op ci nB..XXXI I-Junio2002-Op ci nA.. XXXI I I-Junio2002-Op ci nB.. XXXIV-Septiembre2002-Op ci nA.. XXXV-Septiembre2002-Op ci nB..XXXVI-Junio2003-Op ci nA.. XXXVI I-Junio2003-Op ci nB..XXXVI I I-Septiembre2003-Op ci nA..XXXIX-Septiembre2003-Op ci nB.. XL-Junio2004-Op ci nA..XLI-Junio2004-Op ci nB.. XLI I-Septiembre2004-Op ci nA..XLI I I-Septiembre2004-Op ci nB..XLIV-Junio2005-Op ci nA.. XLV-Junio2005-Op ci nB..XLVI-Septiembre2005-Op ci nA..XLVI I-Septiembre2005-Op ci nB.. XLVI I I-Junio2006-Op ci nA.. XLIX-Junio2006-Op ci nB..L-Septiembre2006-Op ci nA..LI-Septiembre2006-Op ci nB.. LI I-Junio2007-Op ci nA.

4 LI I I-Junio2007-Op ci nB..LIV-Septiembre2007-Op ci nA.. LV-Septiembre2007-Op ci nB..LVI-Junio2008-Op ci nA.. LVI I-Junio2008-Op ci nB..LVI I I-Septiembre2008-Op ci nA.. LIXvi i i-Septiembre2008-Op ci nB.. LX-Junio2009-Op ci nA..LXI-Junio2009-Op ci nB.. LXI I-Septiembre2009-Op ci nA..LXI I I-Septiembre2009-Op ci nB..LXIV-Junio2010-FaseGeneral-Op ci nA..LXV-Junio2010-FaseGeneral-Op ci nB.. LXVI-Junio2010-FaseEsp ec ca-Op ci nA.. LXVI I-Junio2010-FaseEsp ec ca-Op ci nB.. LXVI I I-Septiembre2010-FaseGeneral-Op ci nA..LXIX-Septiembre2010-FaseGeneral-Op ci nB.. LXX-Septiembre2010-FaseEsp ec ca-Op ci nA.. LXXI-Septiembre2010-FaseEsp ec ca-Op ci nB..LXXI I-Junio2011-Op ci nA.. LXXI I I-Junio2011-Op ci nB..LXXIV-Septiembre2011-Op ci nA..LXXV-Septiembre2011-Op ci nB..LXXVI-Junio2012-Op ci nA..LXXVI I-Junio2012-Op ci nB.

5 LXXVI I I-Septiembre2012-Op ci nA..LXXIX-Septiembre2012-Op ci nB..LXXX-Junio2013-Op ci nA..LXXXI-Junio2013-Op ci nB..LXXXI I-Septiembre2013-Op ci nA.. LXXXI I I-Septiembre2013-Op ci nB.. LXXXIV-Junio2014-Op ci nA..LXXXV-Junio2014-Op ci nB..LXXXVI-Julio2014-Op ci nA..LXXXVI I-Julio2014-Op ci nB..LXXXVI I I-Junio2015-Op ci nA..LXXXIX-Junio2015-Op ci nB..XC-Julio2015-Op ci nA.. XCI-Julio2015-Op ci nB..XCI I-Junio2016-Op ci nA..XCI I I-Junio2016-Op ci nB.. XCIV-Julio2016-Op ci nA..XCV-Julio2016-Op ci nB..XCVI-Junio2017-Op ci nA.. XCVI I-Junio2017-Op ci nB.. XCVI I I-Julio2017-Op ci nA..XCIX-Julio2017-Op ci nB..C ndiceTem tico.. CIixRESUMENTE nici ndefunci ncontinua:Unafunci nescontinuaenunpuntoasiexisteelvalordela funci nendichopunto,ell mitedelafunci ncuandoxtiendeaayamb osvaloressoniguales,esdecir:f(a) = l mx af(x)Unafunci continuaenelintervalocerradosiloesenelin tervaloabiertoyescontinuap orladerechaenayp :Sif(x)esunafunci ncontinuaenelintervalocerrado[a,b]ytomae nsusextremosvaloresdesignocontrario,ento ncesexistealmenosunc (a,b)talquef(c) = (TeoremadeDarb oux):Sif(x)esunafunci ncontinuaenelintervalocerrado[a,b]ykescu alquiern merotalquef(a)< k < f(b),entoncesexistealmenosunn meroc (a,b)talquef(c) = :Sif(x)esunafunci ncontinuaenelintervalocerrado[a,b],lafun ci ntomaunvalorqueesm ximoabsolutoyotrovalorqueesm nimoabsolutoen[a,b],esdecir,existendosva lorescyden[a,b]talquef(d) =m f(x) M=f(c)parato dox [a,b].

6 Nici ndederivada:Seaf(x)unafunci nde nidaenunintervalo[a,b]yseax0 (a,b).Sedicequefesderivableenx0,siexiste ell mite:f (x0) = l mx x0f(x) f(x0)x x0 Sihacemosh=x x0esevidentequecuandox x0tenemosqueh miteanteriorquedar a:f (x0) = l mh 0f(x0+h) f(x0)hPo demosutilizarcualquieradelosdosl ngeom tricadeladerivada:Laderivadadelafunci nenunpunto(a,f(a))eslap endientedelarectatangentealacurvaendicho punto:mtg=f (a)Usandolaecuaci npuntop endientetendr amosquelaecuaci ndelarectatangentesecal-cular a:y f(a) =f (a) (x a) :Siunafunci nf(x)esderivableenx=a,entoncesf(x)escont inuaenx= p edirle algom salafunci :Laregladelacadenaesunaf :(g f) (x) =g (f(x)) f (x) :Sif(x)esunafunci ncontinuaen[a,b]yderivableen(a,b)yf(a) =f(b),entoncesexistealmenosunc (a,b)talquef (c) = lculodiferencialodeLagrange:Sif(x)esunaf unci ncontinuaen[a,b]yderivableen(a,b),entonc esexisteunc (a,b)talquef (c) =f(b) f(a)b aPuedesverlogr camenteenla a:Estudiarlamonoton adeunafunci nesestudiarenqu intervaloslafunci :Vistagr cadelteoremadelvalormedioa)Funci ncreciente:Unafunci nfescrecienteenunintervalo(a,b)siparacua lquierparden merosx1,x2delintervalo(a,b),x1< x2= f(x1)6f(x2).

7 Sifesunafunci ncontinuaen[a,b],derivableen(a,b)yf (x)>0ento doelintervalo,entonceslafunci nescrecienteen[a,b].b)Funci ndecreciente:Unafunci nfesdecrecienteenunintervalo(a,b)siparac ualquierparden merosx1,x2delintervalo(a,b),x1< x2= f(x1)>f(x2).Sifesunafunci ncontinuaen[a,b],derivableen(a,b)yf (x)<0ento doelintervalo,entonceslafunci nesdecrecienteen[a,b]. ximosym nimosrelativos:a)M ximorelativo:Unafunci nftieneunm ximorelativoenx=csiexisteunintervaloabierto(a,b)talquec (a,b)yf(c)> f(x)parato dox (a,b);x6= ,f (c) = 0yf (c)<0habr unm ximorelativoenx= )M nimorelativo:Unafunci nftieneunm nimorelativoenx=csiexisteunintervaloabierto(a,b)talquec (a,b)yf(c)< f(x)parato dox (a,b);x6= ,f (c) = 0yf (c)>0habr unm nimorelativoenx= exi n:Unpuntodein exi nesunpuntoenelquelagr cacambiadetip (x) = 0yf (x)6=0,entonceslafunci ntieneunpuntodein exi 'H mx af(x) = 0yell mx ag(x) = 0,yexisteell mx af (x)g (x),entonces:l mx af(x)g(x)= l mx af (x)g (x)Tambi nesaplicable,comosemencionaantes,alainde terminaci ndeltip o.

8 Conciertasmo di cacionespuedenresolverseelrestodelostip osdeindeterminaci nprimitiva:Unaprimitivadeunafunci nf(x)esotrafunci nF(x)talqueF (x) =f(x). nida:Laintegralinde nidadeunafunci nf(x)eselconjuntoF(x) +Kdeto or: f(x)dx=F(x) +KtalqueF (x) =f(x)yK Rxi np orpartes:Elm to dodeintegraci np orpartessebasaenladerivadadeunpro ductoyseutilizapararesolveralgunasintegr alesdepro onerlaintegralendospartes, rmula: udv=u v v lculointegral:Sifesunafunci ncontinuaen[a,b],entoncesexisteunc [a,b]talque: baf(x)dx=f(c) (b a)Puedesverlogr camenteenla :Sifesunafunci ncontinuaen[a,b]yGesunaprimitivasuya,ent onces: baf(x)dx=G(b) G(a) nici ndematriz:Unamatrizesunatabladen merosdistribuidosen or:A= (aij)mxn= a11a12 a1na21a22 amn Sedicequeesdedimensi nmxn,esdecir,quetienem :Dadaunamatrizdedimensi nmxnsellamamatriztraspuestaalamatrizdeor dennxmqueseobtienealintercambiarlas lasp ductodematrices.

9 DadasdosmatricesAyB,talesqueeln merodecolumnasdelamatrizAesigualaln merode lasdelamatrizB,esdecir,A MmxnyB Mnxpsepuederealizarelpro ductoA B,resultandounamatrizCquetieneelmismon merode lasqueAyelmismon merodecolumnasqueB,esdecir,C ladeAp orto i :Unamatrizcuadradadeordennsedicequeesreg ularoinvertible,siexisteotramatrizcuadra dadelmismoorden,alaquedenominamosA 1,detalformaque:A A 1=A 1 A=IsiendoIlamatrizunidaddeordenn,estoes, I= 1 0 00 1 0 1 Paraqueunamatriztengainversatienequecump lirque|A| 6= :A 1=1|A| [Adj(A)]tdondeAdj(A)eslamatrizadjuntadeA ,cuyoelementoij- simoeselmenordeordenn-1obtenidoquitandoa lamatrizAla laylacolumnaenlasqueest :a)L neanula:Siunal )L neaigualoproporcional:Sitenemosdosl neasigualesoprop )L neacombinaci nlinealdelasdem s:Sihayunal neaqueescombinaci nlinealdelasdem )Cambiardosl neasparalelas:Siintercambiamosdosl neasparalelas,sudeterminantecambiadesign o.

10 1 2 34 5 67 8 0 = 27 = 1 2 37 8 04 5 6 = 27e)Cambiarunal neaporunacombinaci nlineal:Sienunamatrizsecambiaunal neap orunacombinaci nlinealdeella(sinmultiplicarlanidividirl ap orning nn mero)conlasrestantes,sudeterminantenovar ermitehacercerosaplicandoGausssiempreque nomultipliquemosp ornadalal neaquevamosacambiar. 1 2 34 5 67 8 0 F2=F2 2F1= 1 2 32 1 07 8 0 f )Determinantedelamatriztraspuesta:Eldete rminantedeunamatrizysutraspuestacoincide n.|A|= At g)Determinantedelamatrizinversa:Eldeterm inantedelamatrizinversaesigualalinversod eldeterminantedelamatriz. A 1 =1|A|xivh)Multiplicaci nporunn mero:Simultiplicamosunal neadeunamatrizp orunn mero,elvalordeldeterminantededichamatriz quedamultiplicadop ordichon mero.