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EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES

CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 6. Matrices, determinantes y SISTEMAS de ecuaciones LINEALES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 1 EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES 1. Dado el sistema de ecuaciones LINEALES : 2x + 3y = 3 4x +5y = 6 a) Escribir la expresi n matricial del sistema. b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por el m todo de Gauss. d) Estudiar si el sistema es de Cramer, y en caso afirmativo, calcular su soluci n matricialmente y por la regla de Cramer. Soluci n a) 2345 xy = 36 b) Escribimos la matriz ampliada del sistema dado y la escalonamos mediante operaciones elementales por filas.

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

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1 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 6. Matrices, determinantes y SISTEMAS de ecuaciones LINEALES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 1 EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES 1. Dado el sistema de ecuaciones LINEALES : 2x + 3y = 3 4x +5y = 6 a) Escribir la expresi n matricial del sistema. b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por el m todo de Gauss. d) Estudiar si el sistema es de Cramer, y en caso afirmativo, calcular su soluci n matricialmente y por la regla de Cramer. Soluci n a) 2345 xy = 36 b) Escribimos la matriz ampliada del sistema dado y la escalonamos mediante operaciones elementales por filas.

2 Observar que en este proceso tambi n se escalona A. (A|B) = 23|345|6 F2 F2 - 2 F1 23|301|0 rg A = 2 = rg(A|B) = n de inc gnitas Aplicando el teorema de Rouche-Frobenius se deduce que el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una nica soluci n. c) Teniendo en cuenta que (A|B) 23|301|0 , el sistema 2x+3y = 3 -y = 0 es equivalente al inicial. De la segunda ecuaci n se obtiene y = 0, y sustituyendo en la primera 2x + = 3, por tanto, x = 32 Luego la soluci n del sistema es x = 32 , y = 0 d) Como A es cuadrada y A=10 12 = -2 0, el sistema dado es un sistema de Cramer y lo podemos resolver bien por c lculo matricial o bien por la regla de Cramer.

3 C lculo matricial X = A-1B, es decir, xy = 2345 -136 Hallamos A-1 mediante operaciones elementales: CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 6. Matrices, determinantes y SISTEMAS de ecuaciones LINEALES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 2 23|1045|01 F2 F2 - 2 F1 23|1001|21 F1 F1+3 F2 20|5301|21 F1 1/2 F1 10| 5/23/201| 2 1 F2 -F2 10| 5/23/201| 21 Entonces A-1 = 5/2 3/221 y por tanto xy = 5/2 3/221 36 = (-5/2).3+(3/2).6 + (-1).6 = 3/2 0 La soluci n del sistema es x = 32 , y = 0.

4 Regla de Cramer x = 3365 -2 = -3-2 = 32 , y = 23 462 = 0-2 = 0 2. Discutir y resolver el sistema homog neo: 02020xyzxyzxy+ = += = Soluci n Por ser un sistema homog neo es compatible. Calculamos el rango de A para determinar el n mero de soluciones que posee. A = 111121210 F2 F2 - F1 , F3 F3 - 2 F1 111032032 F3 F3 + F2 111032000 As , rgA = 2, por tanto el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. El grado de indeterminaci n de sistema es 3 rgA = 3 - 2 = 1, por lo que la soluci n depender de un par metro . Para calcular la soluci n del sistema dado se resuelve el sistema equivalente asociado a la matriz escalonada que es 032 0xyzyz+ = + = De la ltima ecuaci n se obtiene 3y = 2z , luego, y = 23z Sustituyendo en la primera, x + 23z - z = x - 3z = 0, luego 3zx= Por lo tanto, las soluciones del sistema es 3zx= , y = 23z , z un n mero real cualquiera.

5 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 6. Matrices, determinantes y SISTEMAS de ecuaciones LINEALES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 3 3. Dado el sistema lineal 23 123402357122462xy z txyztxyztxy zt++ + = = +++= +++= , indicar si tiene soluci n y calcularla en este caso. Soluci n Escalonamos la matriz ampliada para determinar el rango de A y de (A|B) (A|B) = 1123|11234|02357|12246|2 F2 F2 + F1 , F3 F3 - 2 F1 , F4 F4 -2 F1 1123|10111|10111|30000|4 F3 F3 + F2 11 2 3| 10111|100 0 0|200 0 0|4 F4 F4 -2 F3 1123|10111|10000|20000|0 rgA = 2 rg (A|B) = 3 el sistema es incompatible, es decir, no tiene soluci n.

6 4. Hallar para qu valores de a el siguiente sistema es compatible determinado y calcular su soluci n para esos valores: x + y - z = 1 x - y + z = 7 -x + y + z = 3 2x + ay - 4z = a Soluci n Estudiamos los rangos de A y de (A|B), escalonando la matriz ampliada . (A|B) = 111|1111|7111|324|aa F2 F2 - F1 , F3 F3 + F1 , F4 F4 - 2 F1 11 1|1022|602 0|4022|2aa F3 F3 + F2 , F4 2 F 4 + (a - 2) F2 111 | 102 2 | 6002 | 10002( 4)|8( 2)aa F4 F4 - (a - 4) F3 11 1| 1022| 600 2| 1000 0| 2 24a + CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 6.

7 Matrices, determinantes y SISTEMAS de ecuaciones LINEALES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 4 En este caso rgA = 3 independientemente del valor de a y como el n mero de inc gnitas es tambi n 3 para que el sistema sea compatible determinado debe ocurrir que rg(A|B) sea 3. rg (A|B) = 3 si 2a + 24 = 0 a = 242 = 12 Resolvamos el sistema para a = 12 por el m todo de Gauss. (A|B) 111|1022|6002|10000|0 luego el sistema a resolver es 122 6210xyzyzz+ = + = = despejando 2z = 10 z = 5 -2 y + 2z = 6 -2y = 6 2z = 6 = - 4 y = 2 x + y z = 1 x = 1 y + z = 1 2 + 5 = 4 x = 4 Por tanto, la soluci n para a = 12 es x = 4, y = 2, z = 5.

8 5. Determinar los valores reales de a, para que el siguiente sistema tenga: soluci n nica, infinitas soluciones y ninguna. Resolverlo en los casos en que sea posible. x + ay + 3z = 2 x + y - z = 1 2x +3y + az = 3 Soluci n Para estudiar los rangos de A y (A|B), escalonamos la matriz ampliada (A|B) = 13|211 1|123|3aa F1 F2 11 1|113|223|3aa F2 F2 - F1, F3 F3 - 2F1 11 1|1014|1012|1aa + F2 F3 11 1|1012|1014|1aa + F3 F3 + (1-a) F2 2111| 1012 | 1006|2aaaa + + La primera operaci n elemental ( F1 F2 ) tiene por objeto que el par metro a figure en una fila inferior lo que facilita los c lculos.

9 El rango de A depende de si es nula o no la expresi n -a2- a + 6 -a2 - a + 6 = 0 a2+ a - 6 = 0 a = 1252 a = 2 y a = -3 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 6. Matrices, determinantes y SISTEMAS de ecuaciones LINEALES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 5 Casos: a 2, -3 -a2- a + 6 0 rgA = rg (A|B) = 3 = n de inc gnitas el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una nica soluci n para cada valor de a distinto de 2 y de -3. Vamos a hallar la soluci n resolviendo el sistema asociado a la matriz escalonada comenzando a despejar z en la ltima ecuaci n y sustituyendo en las anteriores.

10 (-a2-a+6) z = 2-a z = 222123 36a(a)(a)(a)a-a - a == + ++ y + (a+2) z = 1 y = 1 (a+2)z23211333(a) aa(a)aa++ = ==+++ x + y z = 1 x = 1 y + z = 1 -11133aa+=++ La soluci n es x = 1, y = 13a+ , z = 13a+ a = 2, en este caso, (A|B) 11 1|101 4|100 0|0 rgA = rg (A|B) = 2 < n de inc gnitas el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones que vamos a calcular resolviendo el sistema asociado a la matriz escalonada y + 4z = 1 y = 1 4z x + y z = 1 x = 1 1 + 4z + z = 5z Las soluciones son x = 5z, y = 1 4z, z a = -3, en este caso, (A|B) 11 1|101 1|100 0|5 rgA = 2 rg (A|B) = 3 el sistema es incompatible, es decir, no tiene soluci n.


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