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EJERCICIOS RESUELTOS DE SUCESOS Y PROBABILIDAD

Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndez EJERCICIOS RESUELTOS SUCESOS Y PROBABILIDAD1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndezFUNDAMENTOS DE PROBABILIDADEn el mundo real hay fen menos regidos por leyes determinadas, es decir, bajocondicionadas dadas. El resultado es previsible, salvo quiz s por errores de medida;estos fen menos denominan fen menos deterministas, un ejemplo de ellos puede serla ca da de un objeto desde determinada a estos fen menos existen otros muchos que no siguen unas leyes fen meno o experimento se dice aleatorio si puede dar lugar a varios resultados, sinque pueda ser posible decir con certeza los resultados del fen menos aleatorios aparecen en muchas disciplinas cient ficas.

2 SUCESOS.- Un suceso asociado a un experimento aleatorio corresponde a la cuestión de que tenga o no tenga respuesta después de realizado el experimento.

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1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndez EJERCICIOS RESUELTOS SUCESOS Y PROBABILIDAD1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndezFUNDAMENTOS DE PROBABILIDADEn el mundo real hay fen menos regidos por leyes determinadas, es decir, bajocondicionadas dadas. El resultado es previsible, salvo quiz s por errores de medida;estos fen menos denominan fen menos deterministas, un ejemplo de ellos puede serla ca da de un objeto desde determinada a estos fen menos existen otros muchos que no siguen unas leyes fen meno o experimento se dice aleatorio si puede dar lugar a varios resultados, sinque pueda ser posible decir con certeza los resultados del fen menos aleatorios aparecen en muchas disciplinas cient ficas.

2 Por ejemplo, enMercadotecnia interesan las cantidades de cierta mercanc a vendidas en d as sucesivos;en F sica se detecta la presencia de ruidos t rmicos en un circuito el ctrico; en Control deCalidad interesa el n mero de tems defectuosos producidos por cierta m quina; enMedicina el n mero de pacientes curados por cierto f rmaco, describir un experimento aleatorio es esencial especificar qu aspecto del resultadointeresa observar, es decir, cu l es el criterio para considerar dos resultados comodiferentes. Esta especificaci n se logra mediante el espacio Dado un experimento aleatorio, el conjunto cuyos elementosson los posibles resultados diferentes (que se desean considerar diferentes) del mismo,se conoce como espacio muestral asociado al experimento aleatorio, se denota por.

3 Se presentan diversos tipos de espacios muestrales:a) En el lanzamiento de un dado se puede tomar como espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) En el experimento aleatorio que describe el n mero de autom viles que cruzan unpuente de peaje en un per odo dado, el espacio muestral es del tipo 1, 2 , 3 , c) En el caso de elegir al azar un n mero real en el intervalo 0, 1, el espacio muestralasociado es precisamente 0, 1 Atendiendo al n mero de resultados posibles de un experimento aleatorio se puedenestablecer los siguientes tipos de espacios muestrales:a) Espacios muestrales finitos: Son aquellos que tienen un n mero finito de elementos,como puede ser la tirada de un ) Espacios muestrales infinitos numerables: Son aquellos en los que tiene unn mero infinito de elementos y puede ponerse en correspondencia biun voca con losn meros naturales, como pude ser el n mero de autom viles que pasan por el puentede ) Espacios muestrales infinitos no numerables: Son aquellos en los que tiene unn mero infinito de elementos y no puede ponerse en correspondencia con los n merosnaturales, como puede ser la elecci n al azar de un n mero en el intervalo 0, Un suceso asociado a un experimento aleatorio corresponde a la cuesti nde que tenga o no tenga respuesta despu s de realizado el el lanzamiento de dos monedas, el espacio muestral asociado, siendo Ccara yXcruz : CC, CX, XC, XX Es el n mero de caras menor o igual que uno?

4 La pregunta tiene respuesta y es, portanto, un suceso. El subconjunto de que responde afirmativamente a la pregunta es ACX, XC, XX Pudiendo definir un suceso de un experimento aleatorio como un subconjunto del espaciomuestral, A , es decir, una colecci n de puntos del espacio CON Para definir algo que mida la aleatoriedad quedentro de s llevan los SUCESOS de un experimento aleatorio es necesario construir unaestructura matem tica. Para ello se definen ciertas operaciones con los SUCESOS . Uni n de SUCESOS : Dados dos SUCESOS A y B, de cierto experimento aleatorio, sedefine la uni n de A y B, que se representa por AB , a otro suceso que se denotapor C, que ocurre siempre que ocurra A o siempre que ocurra B: ABC Intersecci n de SUCESOS : Dados dos SUCESOS A y B, de cierto experimento aleatorio,se define la intersecci n de A y B, que se representa por AB , a otro suceso que sedenota por D, que ocurre siempre que ocurran A y B simult neamente: ABD Suceso complementario: Dado un suceso A, de cierto experimento aleatorio, sedefine el complementario de A, que se representa por CA A, a otro suceso queocurre siempre que no ocurre A.

5 Suceso imposible: Dado el suceso A y su complementario A, junto con la operaci nde intersecci n, se define un suceso que no ocurre nunca, se le conoce como sucesoimposible y se denota por : AA El suceso complementario del suceso imposible es el suceso seguro, que es precisamente el espacio muestral: SUCESOS incompatibles: Dados dos SUCESOS A y B, de cierto experimento aleatorio,se dice que estos SUCESOS son incompatibles si su intersecci n es el suceso imposible. ABAyB incompatibles SUCESOS contenido en otro: Dados dos SUCESOS A y B, de cierto experimentoaleatorio, se dice que A est contenido en B si siempre que ocurre A ocurre B, sedenota por AB .Se observa que dado cualquier suceso A, siempre ocurre A Diferencia de SUCESOS : Dados dos SUCESOS A y B, de cierto experimento aleatorio, sedefine la diferencia de los SUCESOS A y B, y se denota por AB , el suceso C, queocurra A y no ocurra B: CAB.

6 Se observa que CABAB SUCESOS elementales: Dado un suceso puede ocurrir que ste pueda serdescompuesto en SUCESOS m s simples, de forma que la uni n de stos seaprecisamente el suceso considerado. A estos SUCESOS se les llama sucesoscompuestos. Por otra parte, existen otros SUCESOS que no pueden ser descompuestos en SUCESOS m s simples, estos SUCESOS reciben el nombre de SUCESOS DE LA UNI N e INTERSECCI N DE SUCESOS : Conmutativas ABB AABB A Asociativas A(BC) (AB) CA(BC) (AB) C Distributivas A(B C) (A B) (A C)A(B C) (A B) (A C) Elemento neutro para la uni n : AApara la intersecci n : AA LGEBRA DE BOOLE: Sea M un conjunto cualquiera, la clase de sus subconjuntos queverifica las condiciones de contener a M, estabilidad para las operaciones de uni n ycomplementaci n de subconjuntos de M, recibe el nombre de lgebra de Boole.

7 Sea C (M) una clase de subconjuntos de M, se dice que C (M) es un lgebra de Boolesi verifica:a) M C (M) b) SiA,BC(M)ABC(M) c) Si A C (M)A C (M) Sea el conjunto que es el espacio muestral y una clase formada por los SUCESOS queson subconjuntos de , verificando:a) C ( ), ya que es un suceso, el suceso segurob) Si A, B C ( )A B C ( ) es otro sucesoc) SiAC() AC() es otro sucesoLa clase formada por los SUCESOS de un experimento aleatorio tiene estructura de lgebrade Boole, a sta se la llama lgebra de Boole de SUCESOS y se denota por En el caso de que el espacio muestral sea infinito (numerable o no numerable), seconsidera una estructura m s amplia, que es la - lgebra de SUCESOS , y en la que ladiferencia esencial con el lgebra de SUCESOS es que la uni n infinita numerable desucesos es otro decir, la clase de SUCESOS es un - lgebras a) b) Si AA c) iiii1Si AA A la terna ( , , P)

8 Se le llama espacio probabil stico asociado a un variable aleatoria es una funci n definida sobre el espacio muestral (conjuntode resultados de un experimento aleatorio) que toma valores en el cuerpo de los n merosreales , es decir: :() Una variable aleatoria puede ser discreta o continua seg n sea el rango de esta funci t rminos matem ticos con rigor, dado un espacio probabil stico ( , , P) asociado aun experimento aleatorio, una funci n : es una variable aleatoria si x el conjunto /() x FRECUENCIA DE UN SUCESO: El objetivo es definir sobre el lgebra de Boole desucesos una funci n que indique una medida de la certeza o incertidumbre en laocurrencia de los SUCESOS del experimento un suceso A , esto es, un suceso perteneciente al lgebra de SUCESOS de unexperimento aleatorio, la frecuencia absoluta del suceso A en una serie de n repeticionessimilares del experimento, se denota por frecuencia relativa del suceso A es la frecuencia absoluta dividida por el n mero deveces que se realiza el experimento, denot ndose por Af.

9 AAA0f 1nff1nf0 para cualquier sucesosuceso segurosuceso imposibleSi dos SUCESOS A y B son incompatibles, AB , siendo An la frecuencia absoluta de Ay Bn la frecuencia absoluta de B, se tiene que la frecuencia absoluta de AB esABABnnn , teniendo: ABABABABAB nnnnnfffnnnn Es decir, ABAB fffsiAB PROBABILIDAD : Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral y lgebra desucesos asociada , la PROBABILIDAD se define como una aplicaci n del lgebra desucesos en el intervalo 0, 1, que verifica los tres axiomas siguientes: P:0,1 P( A ) 0AP( ) 1P(AB) P(A ) P(B) A, Bcon AB Consecuencias de los Axiomas: P( A ) 1 P( A )A AAP( AA ) P( ) P( A ) P( A ) 1P( A ) 1 P( A )f1f 5 P( ) 0 P( ) 1 P( ) 1 1 0 Si ABP(A ) P(B) Si ABBA(B A ) con A(B A ) P(B) P( A ) P(B A ) con P( A ) 0 y P(B A ) 0 con lo cual, P(B) P(A) P(AB) P(A) P(B) P(A B)A, B A(A B) (A B)P(A) P(A B) P(A B) B(AB)(AB)P(B)P(AB)P(AB) AB(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB) P( AB) P( AB) P( AB) P( AB) Siendo BAP(A B) P(A) P(A B)ABP(A B) P(B) P(A B) resulta, P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B)P(A) P(A B)P(B) P(AB) obteniendo, P(AB)

10 P(A) P(B) P(A B)A, B Cuando los SUCESOS A y B son incompatibles, AB , P(AB) P(A) P(B) Leyes de Morgan (A B) A B(A B) A B PROBABILIDAD CONDICIONADA: Dado un suceso A con P(A) 0 , paracualquier otro suceso B , se define la PROBABILIDAD del suceso B condicionado alsuceso A: P( AB)P(B / A )P( A ) 6 INDEPENDENCIA: Los SUCESOS A, B son independientes s P(B / A) P(B) Es decir, P( AB)P(B / A )P(B)P(AB) P(A ) . P(B)P( A ) La expresi n P(AB) P(A) . P(B) se toma como definici n de tres SUCESOS A, B, C la definici n anal tica es que sean independientes dos ados y luego los tres juntos, esto es, que se verifiquen las relaciones:P( AB) P( A ) . P(B) P( AC) P( A ).


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