Elettrotecnica - Formulario

1 Elettrotecnica - FormularioAlberto Giacalone9 settembre 20191 Introduzione ik= 0 LKC: La somma algebrica delle correnti che attraversano una superficiechiusa `e nulla. vk= 0 LKT: La somma algebrica delle tensioni lungo una sequenza chiusadi nodi `e noti per`o che si ottiene un sistema di equazioni linearmente indipendentisoltanto applicando: La LKC a tutti i nodi del circuito tranne uno qualsiasi. La LKT a tutte le maglie di un circuito pk= 0 Conservazione della potenza istantanea2 Bipoli resistiviResistore:v=RiLegge di OhmBipoli in serie e in parallelo:v1=vR1R1+R2 Partitore di tensione (per bipoli in serie)i1=iR2R1+R2 Partitore di corrente (per bipoli in parallelo)Combinazioni di resistori:Req= RkResistori in serieReq= GkResistori in paralleloSi noti il caso particolare con due soli +R2 Combinazioni di generatori indipendenti:veq= vkGeneratori di tensione (in serie)ieq= ikGeneratori di corrente (in parallelo)v i vGeneratore di tensione e di corrente in parallelov i iGeneratore di tensione e di corrente in serieAltre combinazioni.

2 Logicamente, le connessioni in parallelo di generatori ditensione (o in serie di generatori di corrente) sono lecite se e solo se tali generatorisono tra loro identici (e quindi semplificabili in un solo generatore). Si avrebbealtrimenti una violazione delle leggi di dei generatoriE data l equivalenzav R i R, verificata se e solo seV=RiTeorema di Millmanv= Gkvk GkTeorema di Millman: la tensionev`e la somma pesata delle tensionidei generatori con i pesi uguali alle rispettive di sostituzioneSupponiamo che la tensione fra due conduttori A e B siave la corrente siai,allora, se siamo interessati a studiare solo A: Sostituendo B con un generatore indipendente di tensione di valorev,tutte le tensioni e le correnti in A rimangono invariate.

3 Sostituendo B con un generatore indipendente di corrente di valorei, tuttele correnti e le tensioni in A rimangono Multipoli resistiviTrasformazioni stella-triangolo e triangolo-stellaGa=G2G3G1+G2+G3Y R1=RbRcRa+Rb+Rc YSe le resistenze sono equivalentiRY=R 3 Trasformatore idealev2=nvii2= 1nii4 Metodi di Analisi nodaleCircuiti con resistori e generatori dei due tipi:1. Scegliere un nodo di Applicare la LKC ai super-nodi (relativi ai generatori di tensione nonconnessi con il riferimento) e ai nodi rimanenti, escludendo quello di rife-rimento e quelli connessi al riferimento tramite un generatore di Esprimere le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo. Ag-giungere i vincoli imposti dai generatori di con op-amp ideali:1.

4 Scegliere un nodo di riferimento (conviene utilizzare un nodo collegato aterra).2. Applicare la LKC ai super-nodi e ai nodi rimanenti, escludendo quello diriferimento, quelli connessi al riferimento tramite un generatore di tensionee i nodi connessi direttamente con l uscita di un Esprimere le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo. Ag-giungere i vincoli imposti dai generatori di tensione e degli Analisi delle maglieCircuiti con resistori e generatori dei due tipi:1. Scegliere i versi delle correnti di maglia2. Evidenziare eventuali super-maglie relative ai generatori di corrente co-muni a due Applicare la LKT alle super-maglie e alle maglie rimanenti, escludendoquelle in cui `e presente un generatore di corrente Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle correnti di i vincoli imposti dai generatori di Linearit`a e sovrapposizionePrincipio di sovrapposizione: In un circuito resistivo lineare, qualunquetensione o corrente `e la somma degli effetti dei singoli generatori indipendenti,quando agiscono uno alla con il principio di sovrapposizione:1.

5 Inserire un generatore alla volta, con gli altri spenti, e ricavare la grandezzadesiderata (di corrente corto circuito, di tensione circuito aperto).2. Sommare algebricamente i risultati ottenuti al punto di Thevenin: Circuito vT RTLa tensionevT`e la tensione tra i terminali quando sono di Norton: Circuito iN RNLa correnteiN`e la tensione tra i terminali quando sono in un corto : Le resistenze equivalenti sono sempre calcolate con i generatori indipen-denti : Tali teoremi non si possono applicare se i due bipoli interagiscono anche permezzo di elementi di accoppiamento o se un bipolo `e un generatore di corrente(non vale Thenevin) o tensione (non vale Norton).36 Condensatore e induttoreCondensatore:i(t) =Cdv(t)dtv(t) =v(t0) +1C tt0i(x) sua grandezza fisica `e la Capacit`a C [F].

6 Quando la tensione `e costante, il condensatore equivale ad un circuitoaperto. La tensione tra i morsetti di un condensatore `e una funzione continua. w(v) =12Cv2 Energia immagazzinata in un condensatore. Condensatori in parallelo si :v(t) =Ldi(t)dti(t) =i(t0) +1L tt0v(x) sua grandezza fisica `e l Induttanza L [H]. Quando la corrente `e costante, l induttore equivale ad un corto cirucuito. La corrente nell induttore `e una funzione continua. w(i) =12Li2 Energia immagazzinata in un induttore. Induttori in serie si Circuiti del primo ordineCircuiti RC ed RL in evoluzione liberadx(t)dt+1 x(t) = 0dove =RCnei circuiti RC o =LRnei circuiti RL. Lasoluzione `ex(t) =x(0)e t/ .Circuiti RC ed RL con un generatore costantedx(t)dt+1 x(t) =xp dovexp=vnei circuiti RC oxp=inei circuiti RL.

7 Lasoluzione `ex(t) = [x(0) x( )]e t/ +x( ).Circuiti del primo ordine autonomiTutti i circuiti con un condensatore (o induttore) e un numero arbitrario di ele-menti resistivi o di generatori indipendenti pu`o essere ricondotto alle casisticheprecedenti grazie ai teoremi di Thevenin e di osserva che il valore finale dix(t) pu`o essere ricvato sostituendo il condensa-tore con un circuito aperto o l induttore con un corto sistematico1. Sevc(0 )iL(0 ) non `e nota, ricavarla dal circuito int= 0 sostituendoil condensatore induttore con un circuito aperto Nel circuito all istantet= 0+sostituire il condensatore induttore conun generatore indipendente di tensione corrente di valorevc(0)iL(0) ericavare il valore dix(0+).

8 3. Sostituire il condensatore induttore con un CA CC, ricavandox( ).4. Determinare la resistenza equivalenteReq vista dal condensatore Sinusoidi e fasorix(t) =Acos( t+ ) X=Aej Fasore di ampiezzaAe fase V=ZIeI=YVLegge di Ohm simbolicaDominio del tempoDominio dei fasoriImpedenza [ ]Ammettenza [S]Resistorev(t) =Ri(t)V=RIZ=RY=GInduttorev(t) =Ldi(t)dtV=j LIZ=j LY=1j LCondensatorei(t) =Cdv(t)dtI=j CVZ=1j CY=j in serie e in paralleloL impedenza di bipoli in serie si ammettenza di bipoli in parallelo si i concetti prima applicati ai circuiti passivi (Teorema di Millman, tra-sformazioni triangolo-stella, analisi nodale, etc) si possono applicare ai simbolico dei Fasori1. Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione con un generatoredi valore costante, pari al fasore Sostituire ogni variabile (tensione o corrente) con il fasore Sostituire ogni condensatore di capacit`aCinduttore di induttanzaLconun bipolo di impedenza1j Cj Analizzare il circuito cos` ottenuto alla stregua di un circuito resistivo,ricavando i fasori delle grandezze Ricavare le grandezze sinusoidali con la legge di antitrasformazione deifasorix(t) =Acos( t+ ) X=Aej 10 Potenza in regime sinusoidale12VI=12Z|I|2=P+jQPotenza complessaS= P2+Q2 Potenza apparenteP=Scos Potenza attivaQ=Ssin Potenza reattivaI resistori assorbono soltanto potenza attiva.

9 Induttori e condensatori, invece,non assorbono potenza