Equation de Navier-Stokes

1 Grenoble Sciences - L'air et l'eau - Ren Moreau 1 Niveau Licence Chap. 2, et Retour vers le site web Equation de Navier-Stokes 1. La loi de Newton Partons d une exp rience simple. Consid rons la couche de fluide visqueux d paisseur , comme repr sent sur la figure 1 ci-dessous. Figure 1. Illustration sch matique d une exp rience de cisaillement simple qui met en vidence la relation lin aire entre la contrainte tangentielle et la d riv e de la vitesse du/dy. Cette couche est limit e par deux parois planes parall les, et soumise un cisaillement par l interm diaire de forces F et F. Celles-ci sont exerc es de l ext rieur sur une surface d aire S, respectivement sur la paroi sup rieure et sur la paroi inf rieure, elle-m me maintenue immobile.

2 En r gime stationnaire, on observe que la distribution de vitesse dans la direction Ox, celle de la force F, varie lin airement de u=0 sur la paroi situ e en y=0, u=U sur la paroi sup rieure mobile situ e en y=!. Si l on fait varier ces param tres, on remarque que la force par unit de surface F/S est proportionnelle au gradient de vitesse uniforme du/dy=U/! et que le rapport entre ces deux quantit s ne d pend que du fluide. Pour tre un peu plus pr cis, consid rons un plan (P) quelconque une distance y entre les deux parois, et notons !=F/S la contrainte tangentielle exerc e par le fluide situ au-dessus de (P) sur le fluide situ au-dessous. L exp rience r v le que : !

3 = dudy (1) o est une propri t physique du fluide, l une de ses variables d tat, appel e la viscosit dynamique. En pratique, cette exp rience n est pas r alis e entre deux plans, mais entre deux cylindres coaxiaux, en prenant les pr cautions n cessaires pour que les efforts sur les extr mit s du domaine fluide annulaire demeurent n gligeables par rapport au couple exerc sur chaque cylindre. Lorsque l entrefer est tr s petit par rapport au rayon moyen de ces cylindres, leur courbure est n gligeable, et cette exp rience devient quivalente la situation entre deux plans parall les imagin e ci-dessus. La valeur de ! peut se d duire du couple exerc sur chaque cylindre, et la vitesse U peut tre mesur e directement.

4 F+ Flu(y)Ux = FS(P)y Grenoble Sciences - L'air et l'eau - Ren Moreau 2 Niveau Licence Chap. 2, et Retour vers le site web Cet appareil est un viscosim tre, qui donne acc s la valeur de la viscosit dynamique , et l on obtient des valeurs de l ordre de 10!3 pour l eau et de 10!5 pour l air. Lorsque l on s int resse l influence de la viscosit sur les distributions de vitesse plut t qu aux efforts de frottement, il est classique de substituer la quantit != /", appel e la viscosit cin matique. Ici d signe la masse volumique du fluide. Pour mettre la loi pr c dente (1) sous une forme adapt e aux distributions de vitesse r elles, souvent tridimensionnelles, il faut franchir une tape suppl mentaire en la g n ralisant.

5 Consid rons une coupe plane au sein du fluide, dont l orientation est caract ris e par sa normale unit ni et travers laquelle les composantes de la contrainte sont not es Ti en utilisant la notation indicielle i=(1,2,3) et la convention de l indice muet (on convient que, dans tout mon me comme mjj o un indice est r p t deux fois, on fait la somme par rapport aux trois valeurs possibles de cet indice : mjj=m11+m22+m33). La contrainte Ti d signe la force par unit de surface, exerc e par le fluide situ du c t de la normale positive sur le fluide situ de l autre c t . On introduit alors les composantes !ij du tenseur de contrainte, qui d pendent de l orientation de la normale ni conform ment la relation lin aire Ti=!

6 Ijnj. La loi de frottement sugg r e par l exp rience requiert que les composantes !ij soient des fonctions lin aires des d riv es partielles des composantes de vitesse ui par rapport aux coordonn es xj. D une fa on tr s g n rale on peut donc crire !ij=Gij+Kijkl"uk"xl (2) Dans un fluide au repos, on doit retrouver la loi de l hydrostatique !ij="p#ij, o p est la pression qui v rifie l quation d tat, et o !ij est le symbole de Kronecker (!ij=1 si i=j, 0 si i!j). Par ailleurs, d autres conditions, que nous nous contenterons ici de r sumer, permettent de simplifier cette relation en r duisant un seul les 81 coefficients de Kijkl. Ces conditions sont les suivantes : le fluide est isotrope, ce qui impose la relation (2) d tre invariante par rapport au syst me d axes dans lequel elle est crite, le tenseur de contrainte est sym trique, ce qui impose !

7 Ij=!ji, et, parmi toutes les combinaisons des d riv es !uk/!xl, les seules pouvoir intervenir sont celles li es la d formation pure de la particule fluide, caract ris e par les combinaisons sym triques des d riv es !uk/!xl, dont l expression g n rale est ekl=12!uk!xl+!ul!xk"#$%&'. Finalement, la loi constitutive des fluides visqueux, appel e loi de Newton, a pour expression : !ij="p+23 emm#$%&'()ij+2 eij. (3) On remarque que emm=!"u et que ce terme doit donc s annuler d s que le fluide peut tre suppos incompressible (voir sur ce site le texte Principe de conservation de la masse situ dans l item Les bases de la partie Pour les scientifiques ), circonstance souvent bien v rifi e dans l air vitesse mod r e et dans l eau.

8 Dans un tel fluide incompressible, la loi (3) se ram ne donc !ij="p#ij+2 eij. (4) Grenoble Sciences - L'air et l'eau - Ren Moreau 3 Niveau Licence Chap. 2, et Retour vers le site web On remarque aussi que les composantes hors de la diagonale du tableau des !ij (lorsque les indices i et j sont diff rents) ignorent la pression et se ram nent la relation (1) dans les situations de cisaillement simple. Quant aux composantes de la diagonale, o i=j et o !ij=1, nous verrons plus loin que, si le nombre de Reynolds est beaucoup plus grand que l unit , ce qui est presque toujours vrai dans les coulements naturels, le terme proportionnel la viscosit est n gligeable, de sorte qu elles se r duisent alors la pression p.

9 Sauf conditions exceptionnelles, les deux termes du second membre de (4) conduisent donc, l un la contrainte normale qui se ram ne la pression, l autre la contrainte tangentielle proportionnelle la viscosit et au gradient de vitesse. 2. Equation locale du mouvement Dans le texte Loi fondamentale de la m canique et premi res applications (situ dans l item Les bases de la partie Pour les scientifiques sur ce site), il est tabli que dans un fluide en mouvement les composantes de vitesse ui doivent satisfaire l quation g n rale !!t"ui()+"uj!ui!xj#"Fi#!$ij!xj=0. (5) Maintenant que l on dispose d une loi constitutive (3), ou (4), pour exprimer le comportement d un fluide comme l air ou l eau, il suffit de la substituer dans (5) pour obtenir l quation du mouvement d un tel fluide.

10 Nous allons toutefois nous limiter des conditions simplifi es, mais tout fait r alistes, en supposant la viscosit invariante et en ne consid rant que les fluides incompressibles. On obtient alors l quation de Navier-Stokes , la fois tr s connue et tout fait redoutable en raison de ses difficult s d ordre math matique, li es sa non-lin arit . Avec les notations indicielle et vectorielle, successivement, elle s crit : !"ui"t+uj"ui"xj#$%&'(=!Fi)"p"xi+ "2ui"xi2. (6) !"u"t+u#$()u%&'()*=!F+$p+ $,$,u(). (7) Dans plusieurs chapitres du livre, notamment dans les encadr s et du Chapitre 2, relatifs la couche limite atmosph rique, et dans le Chapitre 4 relatif au vol des avions, il a t not que la viscosit n est significative que dans une mince couche limite proche des parois.