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Errores y Tipo de Sistema Error din mico: es la diferencia entre las se ales de entrada y salida durante el per odo transitorio, es decir el tiempo que tarda la se al de respuesta en establecerse. La respuesta de un Sistema en r gimen transitorio se analizar al final de este cap tulo; por ahora s lo diremos que para estudiar este tipo de respuesta se utilizan se ales de prueba, el siguiente cuadro muestra las transformadas de Laplace de las mismas: Transformada Funci n del tiempo funci n de s . Impulso 1. Escal n unitario 1/s Rampa unitaria 1/s2. Parab lica 1/s3. Tabla 1. El siguiente gr fico muestra la respuesta de un Sistema ante una entrada escal n y el error as generado: Error din mico 1. c(t). e(t). r(t). 0. 0 1 2 3 4 5. Tiempo t Sistemas de Control 6722 Versi n 2003 P gina 1 de 6.

En definitiva los coeficientes kp, kv y ka son coeficientes de mérito sobre el comportamiento del sistema. Por ejemplo, se ve claramente que disminuir el error de

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1 Errores y Tipo de Sistema Error din mico: es la diferencia entre las se ales de entrada y salida durante el per odo transitorio, es decir el tiempo que tarda la se al de respuesta en establecerse. La respuesta de un Sistema en r gimen transitorio se analizar al final de este cap tulo; por ahora s lo diremos que para estudiar este tipo de respuesta se utilizan se ales de prueba, el siguiente cuadro muestra las transformadas de Laplace de las mismas: Transformada Funci n del tiempo funci n de s . Impulso 1. Escal n unitario 1/s Rampa unitaria 1/s2. Parab lica 1/s3. Tabla 1. El siguiente gr fico muestra la respuesta de un Sistema ante una entrada escal n y el error as generado: Error din mico 1. c(t). e(t). r(t). 0. 0 1 2 3 4 5. Tiempo t Sistemas de Control 6722 Versi n 2003 P gina 1 de 6.

2 Error estacionario: es la diferencia entre las se ales de entrada y salida durante el per odo estacionario o permanente, se lo estudia en el campo complejo ya que se dispone de las transferencias, para ello se utiliza el teorema del valor final. Sea e(t) la funci n error, se define el error estacionario como: ess = lim e(t) = lim s E(s). t s 0. Ahora analizaremos la transferencia de un Sistema de control de lazo cerrado obteniendo una expresi n de la transformada del error E(s); como el error estacionario depende del tipo de funci n de transferencia de lazo abierto , supondremos que posee una forma determinada, por ltimo para distintos tipos de entradas calcularemos el error estacionario (utilizando el teorema del valor final). C G. = ; C = E G.

3 R 1+ G H. E G G E 1. = =. R 1+ G H R 1+ G H. R. E=. 1+ G H. Expresamos la transferencia de lazo abierto en forma de constantes de tiempo: k (Ta s + 1) (Tb s + 1) (Tc s + 1) . G H =. s n (T1 s + 1) (T 2 s + 1) (T 3 s + 1) . Esto presenta la ventaja de relacionar el error estacionario con la ganancia k; pues la expresi n de , sin considerar el t rmino sn, tiende a K cuando s 0 , lo que simplifica el an lisis Sistemas de Control 6722 versi n 2003 P gina 2 de 6. Seg n el teorema del valor final se tiene: ess = lim e(t) = lim s E(s). t s 0. R. ess = lim s . t 1+ G H. R. ess = lim s . t k (Ta s + 1) (Tb s + 1) . 1+ n s (T1 s + 1) (T 2 s + 1) . Luego para distintas entradas R(s) se calcula ess; suponiendo tres entradas tipo de prueba, escal n unitario, rampa unitaria y parab lica.

4 En cuanto al valor del exponente n de la expresi n de ess , se define como Sistema tipo 0, 1, 2, 3, etc., seg n sea n igual a 0, 1, 2, 3, etc., respectivamente. Si bien el t rmino integrador 1/sn disminuye el error estacionario, no se estudian sistemas de mayor tipo que tres (3) ya que el Sistema tiende a tornarse inestable. La siguiente tabla resume los c lculos: Tabla Tipo Entrada 0 1 2 3. Escal n unitario, 1/s 1/(1+k) 0 0 0. Rampa unitaria, 1/s2 1/k 0 0. Parab lica, 1/s3 1/k 0. Si definimos coeficientes de error est tico a los rec procos de ess la tabla anterior queda: Tabla Tipo Entrada Coeficiente de Error 0 1 2 3. Escal n unitario, 1/s De posici n Kp 1+k . Rampa unitaria, 1/s2 De velocidad Kv 0 k . Parab lica, 1/s3 De aceleraci n Ka 0 0 k.

5 Los coeficientes de error est tico son factores de m rito , cuanto mayores son mejor es el Sistema respecto del error estacionario. Sistemas de Control 6722 Versi n 2003 P gina 3 de 6. La definici n de coeficiente de error as presentada es un tanto descolgada, pero un r pido an lisis quiz s arroje un poco de luz (de lo contrario preguntar a los docentes, que sin duda le alcanzar n una antorcha!!!). Si la entrada es escal n: R 1/s ess = lim s E(s) = lim s = lim s . s 0 s 0 1 + G H s 0 1 + G H. 1. ess = lim s 0 1 + G H. El coeficiente de error estacionario ser (#): 1. kp = lim G H ess =. s 0 1 + kp Se llama error est tico de posici n al valor kp. Si la entrada es una rampa unitaria: 1/s 2 1 1. ess = lim s = lim = lim s 0 1 + G H s 0 s (1 + G H ) s 0 s + s G H.

6 Siendo : kv = lim s G H ; el error est tico de velocidad, por lo tanto : s 0. 1. ess =. kv Si la entrada es parab lica: 1/s 3 1 1. ess = lim s = lim 2 = lim 2 2. s 0 1 + G H s 0 s (1 + G H ) s 0 s + s G H. Siendo : ka = lim s 2 G H ; el error est tico de aceleraci n, por lo tanto : s 0. 1. ess =. ka Sistemas de Control 6722 versi n 2003 P gina 4 de 6. En definitiva los coeficientes kp, kv y ka son coeficientes de m rito sobre el comportamiento del Sistema . Por ejemplo, se ve claramente que disminuir el error de un Sistema tipo cero realimentado y bajo una entrada escal n se debe aumentar la ganancia kp. Cabe aclarar que ese aumento se ver en general limitado por la p rdida en cuanto a estabilidad del Sistema . Para sistemas tipo uno superiores es decir con la introducci n de integradores en ess resulta nulo.

7 Se puede efectuar un an lisis similar con respecto a otros sistemas sometidos a distintas entradas de prueba, el lector puede realizar este tipo de an lisis utilizando las tablas y ;. reemplazando el valor de k por kp, kv ka seg n corresponda. Criterios de Error Vamos a presentar algunos de los criterios de desempe o que permiten evaluar el comportamiento de los sistemas y son la base para optimizarlos respecto del comportamiento de su error en el transitorio. Criterio integral de error cuadr tico,(CIEC). La cantidad a evaluar es la siguiente: . e (t )2. dt 0. El objetivo ser entonces minimizar el valor de esta integral (criterio v lido para los siguientes ndices). Las principales caracter sticas son: Se da mayor importancia a los Errores grandes.

8 No es un criterio muy selectivo. Respuesta r pida pero oscilatoria, estabilidad relativa pobre. Criterio integral de error absoluto, (CIEA). Se eval a la siguiente integral: . e(t ) dt 0. Sus caracter sticas son: Sistemas de Control 6722 Versi n 2003 P gina 5 de 6. De muy f cil aplicaci n. No se pueden optimizar sistemas altamente sub ni altamente sobre amortiguados. Dif cil de evaluar anal ticamente. Criterio de error cuadr tico integral por el tiempo, (CECIT). La integral es: . t e (t ) dt 2. 0. Se caracteriza por: Los grandes Errores iniciales tienen poco peso pero los que se producen m s tarde son fuertemente penados. Mejor selectividad con respecto a CECI. Criterio integral del producto de error absoluto por tiempo, (CIEAT). La integral es.

9 E(t ) t dt 0. Se distingue por: Los Errores tard os son m s castigados. Buena selectividad. Dif cil de evaluar anal ticamente. Nota : Los criterios se utilizan en la optimizaci n de sistemas para lo que hay que considerar alg n par metro respecto del cual se pueda operar. Por ejemplo si como resultado de la integral del correspondiente criterio aparece el valor del factor de amortiguamiento o bien algo que influya sobre l como por ej. la ganancia, derivaremos respecto del mismo hallando el m nimo para disminuir el error seg n ese criterio hasta el ptimo. Sistemas de Control 6722 versi n 2003 P gina 6 de 6.


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