Esercizi di Algebra Lineare ClarettaCarrara - UniTrento

1 Esercizi di Algebra LineareClaretta CarraraIndiceCapitolo 1. Operazioni tra matrici en-uple11. Soluzioni3 Capitolo 2. Rette e piani151. Suggerimenti192. Soluzioni21 Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali471. Suggerimenti482. Soluzioni48 Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senzail concetto di rango)551. Suggerimenti562. Soluzioni57 Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza Lineare (senza il concetto di rango)671. Suggerimenti692. Soluzioni69 Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice831. Suggerimenti842. Soluzioni85 Capitolo 7. Rango: Rouch`e-Capelli, dimensione e basi di spazi Suggerimenti1062. Soluzioni107 Capitolo 8. Applicazioni lineari1791. Suggerimenti1862.

2 Soluzioni188 Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari2431. Suggerimenti2472. Soluzioni249 Capitolo 10. Prodotto scalare, ortogonalit a e basi ortonormali2871. Suggerimenti2892. Soluzioni290 Capitolo 11. Endomorfismi e matrici simmetriche3031. Suggerimenti3052. Soluzioni305 Capitolo 12. Rette e piani con le matrici e i determinanti3211. Suggerimenti3222. Soluzioni324 Capitolo 13. Coniche3371. Suggerimenti3392. Soluzioni342 Capitolo 14. Quadriche3811. Suggerimenti3822. Soluzioni385iiiivINDICEC apitolo 15. Coordiante omogenee e proiezioni4071. Suggerimenti4082. Soluzioni408 INDICEvAvvertenze importanti. L eserciziario `e scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta diesercizi.

3 Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro). Quasi ogni capitolo `e cos` strutturato: Testo degli Esercizi , Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione, Soluzione di tutti gli Esercizi proposti. L eserciziario contiene sostanzialmente: iFogli di eserciziassegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazioneper i corsi: Geometria, in Ingegneria Edile / Architettura, dall 2002/03all 2009/2010. Geometria e Algebra , in Ingegneria e Scienze dell Informazione e dell Organiz-zazione - Rovereto, dall 2002/03, all 2006/2007. Geometria e Algebra , Ingegneria a-l, 2010 corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione diGeometria e Algebra , Ingegneria e Scienze dell Informazione e dell Organizzazione - Rovereto, 2006/2007,tenuto dal Prof.

4 Gianluca Esercizi (segnalati) sono presi dal libro di Manara - A. Perotti - , Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed Esercizi ), ed. Esculapio, 2002. La maggior parte degli Esercizi degli appelli d esame e delle provette dei precedenti 1 Operazioni tra matrici en-upleEsercizio le matriciA= 1 23 1 B= 3 0 1 4 e dati = 5, = 2,si calcoliAB, BA, A+B, B A, A+ ognuna delle seguenti coppie di matriciA, Be scalari , R, calcolareA+B, B A, A+ B, AB, BA, A2:A= 1 12 2 B= 3 2 1 4 =12, = 0A= 1 0 13 1 12 0 1 B= 3 0 2 1 4 5 1 0 0 = 2, = 1 Esercizio le seguenti matrici:A1= 1 2 5 33 1 0 24 0 0 2 ;A2= 0 2 54 3 2 ;A3= 5 0 1 24 55 1 ;A4= 3 5 1 10 2 0 ;A5= 2 4 1 4 4 40 0 0 ;A6= 3 1 1 8 5 3.

5 Calcolare, quando possibile, i prodottiAi Ajperi, j= 1,2,3,4,5, le matriciA= 1 2 3 4 I4= 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 calcolare i le matriciA= 2123 1 B= 1 3231 calcolare3A la potenzaA3della matrice 1 1 20 3 11 0 1 Esercizio la matriceA= 1 1 3 2 calcolare, se esiste, l inversa diA(cio`e determinare se esiste la matriceBtale cheAB=BA=I).Esercizio le seguenti matriciA, calcolare, se esiste, l inversa diA(cio`e determinare seesiste la matriceBtale cheAB=BA=I).A= 1 13 3 A= 1 1 3 2 121. OPERAZIONI TRA MATRICI En-UPLEE sercizio le matriciA= 2 00 3 B= 1 20 3 C= 3 00 3 calcolareAB,BA, consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori diM2 2(R))I= a b0c |a, b, c R Si verifichi cheI`e chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementidiIanche il loro prodotto e la loro somma sono elementi attraverso un esempio che esistono matriciA, Bnon nulle tali cheAB= 1 10 1 eBuna matrice tale cheAB=BA.

6 Si dimostri cheB= I2+ 0x0 0 dove , x le matriciA= 1 2 30 5 62 1 4 eC= 1 2 0 1 5 22 1 3 determinare la matriceBtale cheA+B= le matriciA= 1 2 1 3 , B= 2 11 1 , C= 1 12 3 , D= 0 1 1 2 stabilire seD`e combinazione Lineare diA, B, le matriciA= 1k0 1 , B= 2 31 2 , C= 3 61 3 stabilire se esistono valori dikper cuiC`e combinazione Lineare diA, B. In caso positivo esprimere talecombinazione considerino le seguentin-uple di numeri reali, conn= 2,3o4:u1= (1,0)u2= 12, 2 u3= 3,14, 5 u4= 0, 12, 2 u5= ( 1,1,2, 2)u6= 0,0, 13, 3 Si calcoli quando possibileui+uj,ui uTj, ui,con = 0,2, 2,i, j= 1, ..6 Esercizio che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato `e neces-sariamente risolva il sistemaAx=bdoveA= 1 32 4 ,x= x1x2 b= 2 2 Esercizio 3tali cheAB=BA B M3 3Si dimostri che deve necessariamente essere:A= I3per qualche R1.

7 SOLUZIONI3 Esercizio risolva il sistemaAx=bnei seguenti casia)A= 1 3 20 3 60 0 2 ,x= x1x2x3 b= 2 34 b)A= 4 33 20 1 60 0 0 ,x= x1x2x3 b= 34 4 c)A= 1 3 10 1 10 0 0 ,x= x1x2x3 b= 340 Esercizio dica per quali valori dik Ril sistemaAx=bdoveA= 1 1 20 110 0k+ 1 ,x= x1x2x3 b= 01 1 ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni. -1. SoluzioniEsercizio le matriciA= 1 23 1 B= 3 0 1 4 e dati = 5, = 2,calcolareAB, BA, A+B, B A, A+ :AB= 1 3 + 2 ( 1)1 0 + 2 43 3 + ( 1) ( 1) 3 0 + ( 1) 4 = 1 810 4 BA= 3 1 + 0 3 3 2 + 0 ( 1) 1 1 + 4 3 1 2 + 4 ( 1) = 3 611 6 A+B= 1 + 32 + 03 + ( 1) 1 + 4 = 4 22 3 B A= 3 10 2 1 3 4 ( 1) = 2 2 4 5 5A+ 2B= 5 1015 5 + 6 0 2 8 = 11 1013 3 Esercizio ognuna delle seguenti coppie di matriciA, Be scalari , R, calcolareA+B, B A, A+ B, AB, BA, A2:A= 1 12 2 B= 3 2 1 4 =12, = 0A= 1 0 13 1 12 0 1 B= 3 0 2 1 4 5 1 0 0 = 2, = 1 Soluzione:41.

8 OPERAZIONI TRA MATRICI En-UPLEC omiciamo dalla prima coppia di matrici:A+B= 4 31 6 B A= 2 1 3 2 A+ B=12 A+ 0 B=12A= 12121 1 AB= 2 64 12 BA= 7 77 7 A2=A A= 3 36 6 Analogamente per la seconda coppia di matrici:A+B= 4 0 32 3 41 0 1 B A= 2 0 1 4 5 6 3 0 1 A+ B= 2A B= 1 0 07 6 75 0 2 AB= 2 0 211 4 17 0 4 BA= 7 0121 4 10 1 0 1 A2=A A= 3 0 0 2 1 50 0 3 Esercizio le seguenti matrici:A1= 1 2 5 33 1 0 24 0 0 2 ;A2= 0 2 54 3 2 ;A3= 5 0 1 24 55 1 ;A4= 3 5 1 10 2 0 ;A5= 2 4 1 4 4 40 0 0 ;A6= 3 1 1 8 5 3 ;calcolare, quando possibile, i prodottiAi Ajperi, j= 1,2,3,4,5, :Ricordiamo che una matrice `e dettan mse hanrighe emcolonne.

9 Inoltre `e possibile moltiplicare duematriciAeBsolamente se A`e del tipon m B`e del tipom k(cio`e se il numero delle colonne diA`e uguale al numero delle righe diB). Il risultato `e una matriceCdeltipon solo i prodotti che `e possibile effettuare:A1 A3= 2 3226 410 2 A2 A1= 14 2 0 14 5 11 20 22 A2 A4= 8 2011 10 A2 A5= 8 8 84 4 8 A3 A2= 0 10 258 4 120 23 30 4 7 23 A3 A6= 15 5 5 13 9 7 52 29 11 7 0 8 A4 A2= 20 21 2540 28 150 4 10 A4 A6= 49 28 12 77 49 316 2 2 A5 A1= 18 8 10 1232 12 20 120 00 0 A5 A4= 12 30 24 200 0 A5 A5= 12 8 14 8 0 120 0 0 A6 A1= 2 7 15 1335 21 40 28 A6 A4= 8 5 35 10 A6 A5= 2 8 1 4 12 12 1. SOLUZIONI5 Esercizio le matriciA= 1 2 3 4 I4= 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 calcolare i :Notiamo che la matrice quadrataI4`e dettamatrice identicadi ordine 4.

10 In generale le matrici identiche(dei differenti ordini) vengono 1 2 3 4 =AI4AT=I4 1234 = 1234 =AT Esercizio le matriciA= 2123 1 B= 1 3231 calcolare3A :3A 2B= 6329 3 2 6432 = 81522331 ABT= 2123 1 1 3231 = 12 Notiamo che la matrice 12 `e detta matrice scalare. Esercizio la potenzaA3della matrice 1 1 20 3 11 0 1 Soluzione:Si tratta di eseguire due prodotti:A3=A A A= 3 4 31 9 42 1 3 1 1 20 3 11 0 1 = 6 15 55 26 155 5 6 Esercizio la matriceA= 1 1 3 2 calcolare, se esiste, l inversa diA(cio`e determinare se esiste la matriceBtale cheAB=BA=I).Soluzione:SiaBla matrice cercata. Per potere effettuare i prodottiABeBA, la matriceBdeve essere 2 2. SiaquindiB= x yz w 61.