ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA I PARTE: VARIABILI ...

1 ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA1 Fulvio De Santis - Marco Perone Pacifico - Luca Tardella - Isabella VerdinelliAnno Accademico 2015-2016I PARTE: VARIABILI ALEATORIE, VEROSIMIGLIANZA E SUFFICIENZAV ariabili aleatorieEsercizio rappresentante percorre frequentemente in automobile il tratto tra New York eBoston. Si ipotizza che il tempo di percorrenza sia una variabile aleatoria con distribuzione normaledi valore atteso ore e varianza pari a Determinare la probabilit`a che un viaggio delrappresentante duria) pi`u di ore;b) meno di 4 quiz `e costituito da dieci domande a risposta multipla. Per ciascuna domandasono previste 3 risposte, di cui solamente una `e esatta. Per superare il test `e necessario rispon-dere correttamente ad almeno sei domande.

2 Supponendo di scegliere a caso le risposte a tutte ledomande,a) determinare la probabilit`a di superare il test;b) stabilire se la probabilit`a di rispondere esattamente a tutte le domande del test `e superiorealla probabilit`a di sbagliare tutte le consideri un campione di 16 persone che soffrono di emicrania. Supponendo diutilizzare su questi pazienti un farmaco che, in base alla ricerca, si ritiene efficace nell 80% dei casi,determinare:a) la probabilit`a che abbia effetto su tutte le unit`a del campione;b) la probabilit`a che il farmaco sia efficace su almeno 14 pazienti del campione;c) il numero medio di pazienti del campione che ci si aspetta trovino giovamento dall uso ) Supponendo di somministrare il farmaco ad una popolazione di 1000 soggetti, determinarela probabilit`a che questo abbia effetto su almeno 750 tasso di guarigione garantito da un farmaco per una determinata malattia `e parial 70%.

3 A) Qual `e la probabilit`a che, su 10 pazienti curati con il farmaco considerato, pi`u di 8 guariscano?b) Qual `e il numero medio di pazienti per i quali ci si aspetta la guarigione?Esercizio 65% dei laureati di una facolt`a viene assunto entro un anno dalla laurea. Suppo-nendo di consideraren= 9 laureati della facolt`a in esame, determinare:a) il numero medio di laureati assunti entro un anno;b) la probabilit`a che almeno cinque di questi trovino lavoro entro un anno;c) la probabilit`a che al pi`u due di questi trovi lavoro entro un variabile statisticaXha distribuzione normale di valore atteso e varianza 2incognite. Determinare il valore di e sapendo che la probabilit`a cheXassuma valori minori di245 `e pari a , e che la probabilit`a cheXassuma valori superiori a 260 `e pari a 2,35 per cento delle persone adulte di un collettivo `e mancina.

4 Determinare laprobabilit`a che, su una scolaresca di 120 studenti, ne siano mancini1 Gli ESERCIZI contrassegnati dall asterisco si riferiscono a prove di esame assegnate negli scorsi anni (a) 3;(b) almeno 3;(c) al massimo 8*.In una indagine del 1994, il Census Bureau degli ha stabilito che il 70%dei cittadini americani aveva stipulato un contratto di assicurazione sanitaria privata. Sulla basedi tale valutazione, qual era in quell anno la probabilit`a che, sun= 5 cittadini scelti casualmente,al pi`u 2 avessero il contratto?Esercizio 9*.In una indagine del 1994, il Census Bureau degli ha stabilito che il 30% deicittadini americani non aveva stipulato un contratto di assicurazione sanitaria privata. Sulla basedi tale valutazione, qual era in quell anno la probabilit`a che, sun= 5 cittadini scelti casualmente,almeno 3 persone non avessero il contratto?

5 Esercizio 10*.Da un indagine demografica condotta dalCensus Bureaustatunitense, risulta cheil % dei cittadini americani di et`a superiore a 18 anni `e di origine ispanica. Si consideri uncampione casuale din= 1200 cittadini americani e determinarea) il numero medio di cittadini ispanici in un campione di tale ampiezza;b) la probabilit`a che di un campione di tale ampiezza facciano parte meno di 100 Casuali, Statistiche Campionarie e Propriet`aEsercizio ,..,Xnun campione casuale da una popolazione di Poisson di parametroincognito . Determinare (in funzione di ) la probabilit`a di osservare il seguente campione didimensionen= 5:xn= (2,3,1,5,5).Che valore assume la probabilit`a considerata se = 2?

6 E se invece = 3?Esercizio ,..,Xnun campione casuale da una popolazione di esponenziale di parametroincognito . Determinare la funzione di densit`a congiunta (in funzione di ) in corrispondenza delseguente campione di dimensionen= 5:xn= ( , , , , ).Che valore assume la densit`a congiunta se si assume = E se invece si assume = 1?Esercizio temperatura alla quale un termostato scatta ha distribuzione normale con varianza 2. Supponendo di effettuaren= 5 controlli di qualit`a, calcolarea)P(S2n 2 );b)P( S2n 2 ),doveS2nreppresenta la varianza campionaria corretta del campione relativo alle 5 prove tempo di vita di un certo componente elettrico `e una con valore atteso = 100 e deviazione standard = 20.

7 Se si provanon= 16 componenti di questo tipo (tra loroindipendenti), quanto vale approssimativamente la probabilit`a che la media campionaria delle lorodurate di vita siaa) minore di 104;b) compresa tra 98 e una azienda, si suppone che il numero di ore di straordinario degli impiegati inun mese sia una con valore atteso = ore e deviazione standard = ore. Se si2considera un campione casuale din= 36 impiegati, qual `e la probabilit`a che le ore complessive delloro lavoro straordinario sia compreso tra 202 e 210 ore?Esercizio discreta con la seguente distribuzione:P(X= 0) = , P(X= 1) = , P(X= 2) = determini, nel caso di un campione casuale di dimensionen= 2, la distribuzione della mediacampionaria, X.

8 Si calcoli quindi il valore atteso e la varianza della 7*.Si suppone che il numero di telefonate che un operatore di un grande centralinoriceve in un ora del giorno sia una variabile aleatoria di Poisson di parametro = 12. Consideratoun campione casualeX1,..,Xndin= 100 operatori, determinare la probabilit`a (approssimazione)che il numero complessivoY= 100i=1 Xidi telefonate a cui rispondono i 100 operatori in un ora siacompreso tra 1150 e 1280 telefonate.(Sugg.: ricordare che per una distribuzione di Poisson di parametro , si ha cheE(X) = V(X) = ).Esercizio 8*.Si suppone che il numero di clienti che si presentano a uno sportello di una grandebanca in un giorno dell anno sia una variabile aleatoria di Poisson di parametro = 30.

9 Consideratoun campione casualeX1,..,Xndin= 40 sportelli, determinare la probabilit`a (approssimazione)che il numero complessivoY= 40i=1 Xidi clienti serviti dai 40 sportelli in un giorno sia compresotra 1180 e 1270.(Sugg.: ricordare che per una distribuzione di Poisson di parametro , si ha cheE(X) = V(X) = ).Esercizio 9*.Si consideri un campione casuale din= 4 osservazioni provenienti da unadistribuzione normale di parametri = 8 e 2= 8. Date le tre statistiche campionarie:T1(Xn) = Xn, T2(Xn) =S2n=1n 1n i=1(Xi Xn)2, T3(Xn) =14 Xn+34S2n,calcolarne il valore atteso e la varianza.( che se una 2 , si ha cheE[Y] = e cheV[Y] = 2 )Esercizio 10*SiaX1,..,Xnun campione casuale tale che, i= 1.

10 ,n,E[Xi] = eV[Xi] =12 2a) Determinare valore atteso e varianza delle VARIABILI aleatorie12 Xne 2X1+ 2Xn ) Determinare l approssimazione asintotica per la distribuzione di ) Supponendo che = 2 en= 25, determinare la probabilit`a (approssimazione) che la Xnassuma valori nell intervallo (2, ).Esercizio 11*.SiaX1,..,Xnun campione casuale tale che, i= 1,..,n,E[Xi] = + 1eV[Xi] = 2( + 2).a) Determinare valore atteso e varianza delle VARIABILI aleatorie Xne 2 ni=1Xi ) Determinare l approssimazione asintotica per la distribuzione di ) Supponendo che = en= 25, determinare la probabilit`a (approssimazione) che la Xnassuma valori nell intervallo (1/2,1).3 Esercizio 12*.SiaX1,X2,..,Xnun campione casuale proveniente da una popolazione di Poissondi parametro = ) Determinare la distribuzione esatta e l approssimazione normale per la STATISTICA campionariaUn= 2Yn 3, doveYn= ni= ) Determinare la probabilit`a cheUnassuma valori positivi, considerandon= e SufficienzaEsercizio consideri un campione casuale dinosservazioni da una popolazione N(0, ) (qui rappresenta la varianza incognita della ).