Esercizi di Statistica - UNISA

1 Esercizi di StatisticaSelezione di Esercizi proposti durante le esercitazionidei corsi di Statistica tenute pressola Facolt`a di Economia dell Universit`a di SalernoVersione del 17 ottobre 20062 Per fornire un contributo al miglioramento del presente volume, segnalare eventuali errori in essocontenuti a: Marcella Niglio, Statistica Distribuzioni di frequenza e rappresentazioni grafiche .. Indici statistici descrittivi .. Concentrazione .. Distribuzioni Doppie .. Numeri Indici .. Interpolazione .. 412 Calcolo delle Probabilit` Calcolo delle probabilit`a .. Variabili Casuali Discrete .. Variabili Casuali Continue .. 623 Inferenza Stime puntuali .. Test delle ipotesi .. Intervalli di confidenza .. 814 Il Modello di Modello di Regressione Lineare Semplice .. 843 Capitolo 1 Statistica Distribuzioni di frequenza e rappresentazioni graficheEsercizio 1La societ`a Gamma , dopo aver effettuato una ricerca dipersonale qualificato per coprire laposizione di responsabile delle relazioni con l estero, haricevuto 20 curriculum vitae da cittadinisia italiani che stranieri.

2 Alcune informazioni, ritenuteparticolarmente rilevanti dalla societ`a,sono sintetizzate nella seguente tabella:Livello minimounit`agenereet`acittadinanzadi reddito mensileAnni di : Dati raccolti su 20 candidati a seguito di una ricerca di personale DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE51. Definire quali sono le l unit`a statistiche oggetto di Identificare quali sono le variabili e le mutabili Costruire, per tutte le variabili e mutabili, le corrispondenti distribuzioni di frequenza (per levariabili continue costruire distribuzioni di frequenza con quattro classi di modalit`a di ugualeampiezza).4.`E possibile calcolare le frequenze relative cumulate per tutte le variabili e mutabili oppure `enecessario che si disponga solo di dati quantitativi?2 Soluzione1. Le unit`a statistiche della rilevazione sono gli individui rispondenti alla ricerca di personalequalificato effettuata dalla societ`a Le mutabili sono:genereecittadinanza; le variabili sono:et`a,livello minimo di redditomensile desiderato,anni di esperienza Le distribuzioni di frequenza delle due mutabili sono:GenerexiniM8F12 Totale20 Cittadinanzaxiniitaliana8inglese2belga2s pagnola3francese3tedesca2 Totale20 Per le restanti variabiliet`a,livello minimo di reddito mensile desideratoedanni di esperienzalavorativa, sono costruite tre distribuzioni di frequenza con quattro classi di modalit`a.

3 Inparticolare, dopo aver calcolato l ampiezza della classe per le tre variabili:h=max(x) min(x)4si ottiene:Et`a(h= )classini23| | | | |583 Totale20 Livello min. reddito (h= ) | | | | | esperienza(h= 8)classini0| |888 |16316 |24624 |323 Totale206 CAPITOLO 1. Statistica DESCRITTIVA4. Le frequenze relative cumulate possono essere calcolate sia quando si hanno in esame levariabili che le mutabili in quanto hanno ad oggetto le sole frequenze. Esercizio 2 Utilizzando le distribuzioni di frequenza costruite nell esercizio 1 per le variabiliet`a,livello minimodi reddito mensile desideratoe per la mutabilecittadinanza:1. Calcolare le rispettive frequenze relative e frequenze relative Valutare se pi`u del70%delle unit`a statistiche ha un et`a inferiore a 40 Valutare se almeno il20%accetterebbe l impiego qualora gli venisse offerto un reddito mensilepari a `E possibile affermare che pi`u del30%dei curriculum ricevuti proviene da candidati inglesi?2 Soluzione1.

4 Le frequenze relative e relative cumulate delle tre distribuzioni sono:Et`aclassinifiFi23| | | | | minimo di | | | | | Dalla distribzione di frequenzaEt`a, si osserva che in corrispondenza della classe | frequenza relativa cumulataFi= , ovvero il 55% delle unit`a statistiche ha un et`a anni. Quindi dalla verifica risulta che meno del 70% delle unit`a statistiche ha un et`ainferiore a 40 anni e quindi l affermazione `e DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE73. Dalla prima frequenza relativa cumulata della distribuzioneLivello minimo di redditosiosserva che il 30% accetterebbe l impiego con un reddito 1525 Euro. Quindi `e possibilesolo affermare che pi`u del 20% accoglierebbe la proposta di impiego se venisse offerto unreddito 1525 Euro mentre non si `e in grado di individuare la percentuale di coloro cheaccetterebbero l impiego con un reddito minimo pari a L affermazione `e falsa in quanto, osservando le frequenze relative della distribuzioneCittadi-nanza, solo il 10% dei curriculum ricevuti proviene da candidati di cittadinanza inglese.

5 Esercizio 3 Utilizzando i dati e le distribuzioni di frequenza dell Esercizio 1:1. Rappresentare graficamente i caratteriCittadinanzaeLivello minimo di reddito desideratoutilizzando rispettivamente un diagramma a nastri ed un istogramma di Rappresentare la funzione di ripartizione della variabileLivello minimo di reddito desiderato2 Soluzione1. Il diagramma a nastri della mutabileCittadinanza`e rappresentato nel seguente grafico:italiana inglesebelga spagnola francese tedescacittadinanza02468nFigura : Diagramma a nastri della mutabileCittadinanzamentre per rappresentare l istogramma della variabileLivello minimo di reddito desiderato`enecessario il preliminare calcolo dell intensit`a associata a ciascuna classe:hi=ni(xi xi 1)i= 1, .. , kconkil numero di classi, ed i cui valori sono riportati in tabella:8 CAPITOLO 1. Statistica DESCRITTIVAL ivello minimo di | | | | | rappresentazione grafica dell istogramma `e : Istogramma della variabileLivello minimo di reddito2.

6 La funzione di ripartizione richiede l utilizzo delle informazioni contenute nelladistribuzionedi frequenzeLivello minimo di redditodi cui all esercizio 2, da cui segue la : Funzione di ripartizione empirica della variabileLivello minimo di reddito Esercizio 4La societ` ha effettuato un indagine su una popolazione di 15 famiglie sulle quali harilevato tre caratteri: la zona di residenza, il reddito medio mensile familiare ed il numero dicomponenti in et`a lavorativa, i cui dati sono riportati nella Tabella DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE91. Costruire le distribuzioni di frequenza dei tre caratteri osservati (si costruisca la distribuzionedella variabile RM con quattro classi di modalit`a di ugualeampiezza).2. Rappresentare graficamente le medioN. componenti in et`aUnit`aResidenza( 1000 Euro)lavorativa(Res)(RM)(NL) : Dati relativi alla zona di residenza, al reddito medio mensile familiare ed al numerodi componenti in et`a lavorativa di 15 famiglie intervistate2 Soluzione1.

7 Le tre distribuzioni richieste per le variabili in esame sono le seguenti:ResidenzaxiniNord5 Centro4 Sud6 Totale15 reddito medio (h= ) | | | | | et`a lavorativaxini0214243342 Totale152. Le rappresentazioni grafiche opportune per i dati in esame sono il diagramma anastri per lavariabileNLe l istogramma per la variabileRMpresentate in Figura 1. Statistica : Diagramma a nastri della variabileNLed istogramma della variabileRM Indici statistici descrittiviEsercizio 5 Utilizzando le distribuzioni di frequenza costruite nell esercizio 1:1. Calcolare la media di tutte le variabili L et`a media delle unit`a statistiche `e maggiore di 30?3. La media degliAnni di esperienza lavorativamaturata dalle unit`a statistiche `e almeno paria 10?4. Calcolare il valore mediano delLivello minimo di reddito mensile Calcolare la mediana dell Et`adelle unit`a Calcolare la moda della variabileAnni di esperienza lavorativa7. Assumendo di aver creato per la variabileAnni di esperienza lavorativala seguente dis-tribuzione di frequenze con 4 classi di modalit`a di differente ampiezza:classini0| |989 |17317 |23623 |323definire la classe modale e calcolare la INDICI STATISTICI DESCRITTIVI11 Soluzione1.

8 Il calcolo delle medie delle distribuzioni di frequenza in classi richiede il preliminare calcolodel valore centrale di ciascuna classe come riportato nel seguito:Et`aclassinicici ni23| | | | | =1Nk i=1ci ni= minimo di redditoclassinicici | | | | | =1Nk i=1ci ni= di esperienza lavorativaclassinicici ni0| |884328 |163123616 |2462012024 |3232884 Totale20272 =1Nk i=1ci ni= La media dell Et`adelle unit`a statistiche `e pari a , quindi risulta maggiore di Il numero diAnni di esperienza lavorativa`e pari a quindi supera gli almeno 10 annirichiesti dal Il valore della mediana delLivello minimo di reddito `e approssimato utilizzando la seguenteformula:M e xi 1+ (xi xi 1) Fi 1Fi Fi 1 Quindi identificata la classe mediana,xi 1 |xi:Fi , data da | , il valoreapprossimato della mediana `e:M e + ( ) Per il calcolo della mediana della variabileEt`avalgono le stesse considerazioni fatte al puntoprecedente, quindi:M e + ( ) 1.

9 Statistica DESCRITTIVA6. La moda della variabileAnni di esperienza lavorativa`e pari al valore centrale della classemodale 0| |8, ovveroM o= 47. Per individuare la classe modale in presenza di classi di diversa ampiezza, `e necessario cal-colare l intensit`a associata a ciascuna classexi 1 |xi, data da:hi=ni(xi xi 1)i= 1, .. , kquindiAnni di esperienza lavorativaclassinihi0| | | | | cui emerge che la classe modale `e 17 |23 perch`e ad essa `e associata la massima intensit`a,ed il valore approssimato della moda `e:M o (xi i+xi)2=17 + 232= 20 Esercizio 6 Utilizzando i dati in Tabella relativi alla variabileLivello minimo di redditoe la corrispondentedistribuzione di frequenze nell esercizio 1:1. Calcolare i quartili della variabile in Rappresentarne il Sono presenti valori eccezionali nei dati?4. Assumendo che la societ`a Gamma in occasione di un altra ricerca di personale qualifi-cato abbia rilevato i seguenti livelli minimi di reddito desiderati da ulteriori 20 candidati:V2 : i box-plot paralleli della variabileLivello minimo di reddito desideratoinTabella (V1) e della nuova variabile riportata (V2).

10 INDICI STATISTICI DESCRITTIVI13 Soluzione1. Il calcolo dei quartili in presenza di una distribuzione di frequenze per classi di modalit`arichiede nuovamente l impiego di formule di approssimazione:Q1 xi 1+ (xi xi 1) Fi 1Fi Fi 1Q3 xi 1+ (xi xi 1) Fi 1Fi Fi 1 Segue quindi che i quartili richiesti assumono i seguenti valori:Q1= M e= La rappresentazione grafica, mediante box-plot, della variabileLivello minimo di redditodesideratorichiede l impiego dei quartili appena calcolati e di ulteriori informazioni riportatenel seguito:min(x) = max(x) = (Q3 Q1) = + (Q3 Q1) = cui segue il grafico in Figura : Box plot delReddito Desiderato3. Dal grafico in Figura emerge che non sono presenti valori eccezionali nella serie osservata,infattih1<min(x) edH2>max(x).4. La rappresentazione mediante box-plot paralleli delle due variabili richiede il preliminarecalcolo dei quartili e dei valori cardine della variabileV2, nonch`e la conoscenza del minimo14 CAPITOLO 1.