ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI

1 ONDE. ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI . 1. Tipi di Onde Exercise 1. Un'onda viaggia lungo una corda tesa. La distanza verticale dalla cresta al ventre `e di 13 cm e la distanza orizzontale dalla cresta al ventre `e 28 cm. Calcola la lunghezza d'onda e l'ampiezza. Soluzione: La lunghezza d'onda `e la distanza, misurata in orizzontale, tra due creste o tra due ventri. La distanza tra cresta e ventre `e pertanto met`a lunghezza d'onda; per cui = 56 cm. L'ampiezza `e invece la met`. a distanza in verticale tra la cresta e il ventre dell'onda, per cui A = 6, 5 cm. 2. Velocita ` di un'onda in moto Exercise 2. Un surfista che fluttua al di l`. a dei frangiflutti nota che passano per la sua posizione 14 onde al minuto. Se la lunghezza d'onda di queste onde `e 34 m, trovare la loro velocit`a di propagazione.

2 Soluzione: Il surfista osserva la grandezza detta frequenza, cio`e il numero di oscillazioni complete in un intervallo di tempo definito. In questo caso, se vogliamo determinare la frequenza in Herz, cio`e stabilendo come unit`a di tempo il secondo, si avr`a 14. f= = Hz 60. La velocit`. a di un'onda `e data dal rapporto tra la lunghezza d'onda (distanza percorsa nella propagazione). e il tempo impiegato, periodo che `e l'inverso della frequenza; pertanto m v = f = 34 m s 1 = 7, 8. s Exercise 3. La velocit` a delle onde di superficie nell'acqua diminuisce con il diminuire della profondit`a. Sup- poniamo che delle onde viaggino lungo la superficie di un lago con una velocit`a di m/s e una lunghezza d'onda di m. Quando queste onde si muovono verso la parte del lago meno profonda la loro velocit`a diminuisce fino a m/s, sebbene la loro frequenza rimanga la stessa.

3 Calcolare la lunghezza d'onda nell'acqua bassa. Soluzione: Nota la relazione v = f , se la frequenza rimane costante, allora velocit`a e lunghezza d'onda risultano direttamente proporzionali. Pertanto valta vbassa =. alta bassa da cui vbassa bassa = alta = = m valta Exercise 4. Un'onda di frequenza Hz con un'ampiezza di 12 cm e una lunghezza d'onda di 27 cm viaggia lungo una corda tesa. Calcolare lo spazio percorso da una cresta della corda in un intervallo di tempo s. Soluzione: La frequenza indica quante onde complete si propagano in un secondo. In mezzo secondo si avranno, quindi, oscillazioni complete. Pertanto la cresta percorre una distanza s = s 1 m = m Exercise 5. La q velocit`a di un'onda di lunghezza d'onda , che si propaga in acque profonde, `e approssimati- g . vamente v = 2.

4 Calcolare la velocit` a e la frequenza di un'onda che si propaga in acque profonde con una lunghezza d'onda di m. 1. ONDE 2. Soluzione: Applicando la relazione che descrive la velocit`a, si ottiene r sm2 m m v= = 2 s Note velocit`. a e lunghezza d'onda `e possibile calcolare la frequenza v ms f= = = Hz m Exercise 6. Le onde su una particolare corda viaggiano con una velocit`a di 16 m/s. Di quale fattore dovrebbe essere cambiata la tensione nella corda per produrre onde con velocit`a doppia? Soluzione: Il legame che esprime la velocit`a di un'onda su di una corda in funzione della tensione alla quale `e sottoposta `e s T. v=.. dove `e la densit`. a lineare, cio`e come la massa `e distribuita mediamente lungo la corda (intesa avente una sola dimensione). Affinch e la velocit`a raddoppi `e necessario, quindi, che la tensione quadruplichi (essendo sotto la radice quadrata).

5 Exercise 7. Un bambino e sua sorella cercano di comunicare attraverso una cordicella legata tra due lattine. Se la corda `e lunga m, ha una massa di 32 g ed `e tesa con una tensione di N , trovare il tempo impiegato da un'onda per viaggiare da un estremo all'altro. Soluzione: La velocit` a di propagazione `e supposta costante e quindi il tempo impiegato, dalle leggi della cinematica, `e espresso da l l t= = q v T.. kg Possiamo calcolare = massa lunghezza = = 10 3 kg m , pertanto m m t= q = 0, 18 s N. kg 10 3 m Exercise 8. Un'onda ha una velocit`. a di 240 m/s e una lunghezza d'onda di m. Determinare la frequenza e il periodo dell'onda. Soluzione: La velocit`a di una perturbazione che si propaga come un'onda, `e espressa da . v=. T. dove `e la lunghezza d'onda e T il periodo, cio`e l'intervallo di tempo per un'oscillazione completa.

6 Essendo per`o 1. T =. f ONDE 3. dove f `e la frequenza, cio`e il numero di oscillazioni complete in un tempo fissato (se il tempo `e di 1 s, la frequenza si misura in Hertz), la velocit`a si pu`o esprimere come v = f Conoscendo la velocit`. a `e la lunghezza d'onda, possiamo calcolare il periodo e la frequenza: m T = = = s v 240 m s da cui 1 1. f= = = 75 Hz T s Exercise 9. Un'onda ha una pulsazione di 110 rad/s e una lunghezza d'onda di m. Calcolare il numero d'onda angolare e la velocit`. a dell'onda. Soluzione: La pulsazione di un'onda sinusoidale rappresenta la frequenza angolare, cio`e il numero di radianti spazzati nell'unit` ` definita come = 2 , mentre il a di tempo (nel nostro caso il secondo). E T. 2 . numero d'onda angolare `e definito come k = . Pertanto, 2 . k= = m 1. m e la velocit`.

7 A `e data da 110 rad s m v= = 1 = k m s Exercise 10. La velocit` a delle onde elettromagnetiche nel vuoto `e di 108 m/s. Le lunghezze d'onda delle onde del visibile vanno da circa 400 nm nel violetto fino a circa 700 nm nel rosso. a)Trovare il corrispettivo intervallo nelle frequenze. L'intervallo per le frequenze radio in onde corte (la radio FM e la televisione in VHS). va da a 300 M Hz. b) Trovare il corrispettivo intervallo per le lunghezze d'onda. Anche i raggi X sono onde elettromagnetiche. L'intervallo per le loro lunghezze d'onda si estende da circa nm fino a circa 10 2 nm. c)Trovare il corrispettivo intervallo tra le frequenze. Soluzione: Tutte le domande si riferiscono alla relazione esistente tra lunghezza d'onda, frequenza e velocit`. a di propagazione di un'onda: v = f Caso a) Nota la velocit`.

8 A di propagazione e la lunghezza d'onda, risolviamo rispetto alla frequenza v 108 m f1 = = s = 1014 Hz 1 10 7 m v 108 m f2 = = s = 1014 Hz 2 10 7 m Caso b) questa volta `e nota la frequenza, per cui v 108 ms 1 = = = 200 m f1 106 s 1. v 108 ms 2 = = = m f2 108 m Caso c) per i raggi X `e nota la lunghezza d'onda, per cui v 108 m f1 = = s = 1016 Hz 1 10 9 m v 108 m f2 = = s = 1019 Hz 2 10 11 m Nota: L'esercizio `e abbastanza ripetitivo, ma ha il pregio di fissare gli ordini di grandezza di fenomeni con i quali abbiamo continuamente a che fare nell'esperienza quotidiana (a parte i raggi X). Exercise 11. Un'onda sinusoidale si muove lungo una corda. Il tempo impiegato in un certo punto per oscillare dallo spostamento massimo a zero `e di s. Trovare a) il periodo, b) la frequenza. La lunghezza d'onda `e di m; c) trovare la velocit`.

9 A dell'onda. ONDE 4. Soluzione: Il tempo di oscillazione dal massimo a zero equivale a un quarto di periodo, per cui caso a). T = 4 = s. Caso b): la frequenza `e 1 1. f= = = Hz T s Caso c) la velocit`. a `e m v = f = m s 1 = s Exercise 12. Scrivere l'equazione di un'onda in moto lungo la direzione negativa dell'asse X e avente un'ampiezza di m, una frequenza di 550 Hz e una velocit`a di 330 m/s. Soluzione: Questo esercizio chiede solo di saper riconoscere le grandezze che compaiono nell'equazione generale di un'onda sinusoidale dipendente dalla posizione e dal tempo: y (x, t) = A sin (kx t). dove A `e l'ampiezza dell'onda, `e la pulsazione e k il numero d'onda angolare (ovviamente, x e t rappresentano la posizione e il tempo). Basta ricordare che = 2 e il periodo, e k = 2 . T , dove T `.

10 Nel nostro caso A = ; per trovare ricordiamo che 1. f= per cui = 2 f = 2 550. T. per trovare k dalla velocit`. a, ricordiamo che v = f , e pertanto v 330. = = = f 550. da cui 2 . k=. L'equazione sar`. a quindi . 2 . y (x, t) = sin x 2 550t e raccogliendo si ha, y (x, t) = sin [ ( 1100t)]. Exercise 13. Scrivere l'equazione che descrive un'onda armonica con un'ampiezza di m, una lunghezza d'onda di m e un periodo di s. L'onda `e trasversale e viaggia verso destra e a t = 0 e x = 0, ha uno spostamento y = m. Soluzione: L'equazione generale di un'onda del tipo descritto `e y (x, t) = A sin (kx t) dove A `e l'ampiezza, k il numero d'onda, cio`e 2 , la pulsazione, cio` e 2 . T . Sostituendo i valori assegnati si ha . 2 2 . y (x, t) = sin x t Inoltre, tenendo conto delle condizioni iniziali, l'onda risulta spostata di un valore pari all'ampiezza, per cui `e sfasata di 90.