ESERCIZIARIO DI ANALISI MATEMATICA I - Univr

1 MichelaEleuteriESERCIZIARIODIANALISIMATE MATICAIU niversit degliStudidiVerona,Facolt Giuliacon la speranza che almeno nella matematicanon assomigli al pap , :eserciziprop :eserciziprop erioreeinferiore/massimoeminimo:esercizi prop :eserciziprop oste:eserciziprop osteeinverse:testarisp :eserciziprop nizionedilimitedifunzioni:testarisp :testarisp !.. :testarisp :testarisp ederivabilit :testarisp :esercizidiricapitolazioneprop ,derivabilit ,massimieminimi:domandeditip erioreeinferiore,massimieminimi, :eserciziprop codiunafunzioneattornoall'origine:eserci ziprop opiccoli .. ' 'usodip osti(disecondolivello).. nitep nitep e disequazioni:esercizi prop )x2 15x+ 16>02)(x+ 2)(x 2)(x 3)<03)(x 1)(x+ 2)(x2 x 6) 04)x 1x+ 1 x+ 1x 1<25)3x+ 5 86)6 x4 3x 427)3(2 x)<2(3 +x)8)x+ 1x 29)x2 1 +4x10)3x 1<2x+ 111)|3x 7|<212)|2x+ 5|<113) x2 1 114) 2 x2 <1215)|x+ 1|>|x 3|16)|x 3|<2|x|17)(ex 5)2+ 5(ex 5) + 2> 218)|x(x 3)| 219) |x|+ x 1 220) x|x 1|+ 1 221)|x(x 3)|> x2 )x <15 1612 x >15 + 16122)x < 2 2< x <33)4)x < 1 2 1< x < 1 + 2 x >15)6)7)8)9)10)11)53< x <312) 3< x < 213)14)15)x >116)x < 3 x >117)18)19)20)21)15)Lasoluzione x > :x < 1, 1 x 3,x > : x < 1 x 1> x+ 3 1 x 3x+ 1> x+ 3 x >3x+ 1> x 3quindi x < 1imp ossibile 1 x 3x >1 x > )Lasoluzione x < 3 x > :x <0,0 x 3,x >.

2 X <0 x+ 3< 2x 0 x 3 x+ 3<2x x >3x 3<2xquindi x <0x < 3 0 x 3x >1 x >3x > ) x2 4 x 2 = (x 2) x+ 223)2 x 2 = 4 x24) 3x 2 x= 2 x25)|x+ 1|=|x 3|26)10x= 10027)7x= 128)4x= 329)4x= 2 3x30)10x= 3x+131)32x 3x 5 = 032) log3x= 333) log3x= log32 log3(x+ 1)34) log2x+ log4x= 335)4 log4x log2(1 +x) = 036) logxe+ logx 2 = 037) log x= )x 223)x= 6 2 324)x= 125)x= 126)27)28)x= log43 oppure equivalentementex=log 3log 429)30)x=log 3log 10 log 331)x=log(1+ 22)log 332)x= 2733)x= 234)x= 435)36)x=e37)22)Lasoluzione x orrel'esistenzadelleradici,quindibisogna mettereasistemax2 4 0,x 2 0ex+ 2 0ched x canoamb oimembrip ercuil'equazionedatadiventaun'identit ,ragionp ercuiognixcheso ddisfalecondizionidiesistenzadelleradici vab )Lasoluzione x= 6 2 orrel'esistenzadellaradice,quindix 'altraparte,siccomestouguagliandounsecon domembroaunaradice,che semprep ositiva(onulla),devop orrel'ulteriorecondizionecheancheilsecon domembrosianonnegativo,altrimentiavreiun assurdo,quindip ongoanche4 x 0cio x x oimembrieottengo,dop osemplicicalcoli,lesoluzionix= 6 2 3;scartolasoluzionex= 6 + 2 3p erch nonrientranell'intervalloindividuatoprim aeholasoluzioneprop )Lasoluzione x= orrel'esistenzadellaradiceadestracio x 2.

3 P oidevop orrel'esistenzadellaradiceasinistra,cio 3x 2 x 'ultimaprimap ongox 0p oielevoaquadratoeottengo9x2 4x 0cherisoltad x 0 x 4 2,x 0ex 0 x 4/9siottienelacondizione4/9 x ossoelevareaquadratonellamiaequazionedip artenzaeottengo3x 2 x= 2 xchep ortaa x= 2x ,primadielevaredinuovoalquadrato,o ccorrep orreunanuovacondizionedicompatibilit ,cio 2x 1 0(ilsecondomembrodeveesserenonnegativop erch uguagliatoaunaradice)chemessaasistemacon laprecedentep ortaa1/2 x ossoelevare nalmenteaquadratoamb oimembrieottengol'equazione4x2 5x+ 1 = 0cherisoltad :x= 1accettabileex= 1/4nonaccettabilep )Lasoluzione :x= ,sidistinguonoitrecasi:x < 1chenond soluzioni, 1 x 3ched comesoluzionex= 1ein nex >3chenond )L'unicasoluzioneaccettabile :x=log(1+ 22)log one3x=t;notarechedeveesseret >0,quindisetrover tnonp ositividovr t 5 = 0cheforniscelesoluzionit1=1+ 22accettabileet2=1 22nonaccettabilep erch negativa,dacuilasoluzioneprop )x= = log33dacuilog3x= 3 log33 = log333quindix= )x= oimembri,siottienex=2x+1dacuix= 2oppurex= 1;lasoluzionex= 1non accettabileacausadellecondizionidiesiste nzadellogaritmo(x >0ex > 1,dacuidevenecessariamenteesserex >0)34)x= (ab) = loga+ logb.

4 Quindil'equazionedipartenzasiriducealog2 x+log2xlog24= 32 log2x+ log2x= 6log2(x2x) = 63 log2x= 6x= 436)x= 'equazionedipartenzasiriducea1logex+ logex 2 = :esercizipropostiSip onep oilogex=tdacuit2 2t+ 1 = 0quindit= 1equindix= ,alvariaredik R,ilnumerodisoluzionidelleequazioni:38)| |x2 4| 1| 2 =k39) |3x2 2| 1 + 2 =k40) x2 4|x 1| = ercuisiha:41) sinx= 3/242) cosx 1/243) 3 sinx+ cosx= 244) sinx cosx= )x= 3+ 2k ex=2 3+ 2k ,k Z42) 3+ 2k x 53 + 2k ,k Z44)x= 2ex= .Infattibastaop erarelasostituzionesinx=Yecosx=Zmettendo asistemal'equazionedatachediventaY Z= 1conlaformulaY2+Z2= 1erisolverep op erarelasostituzionet:= tanx2dacuisinx=2t1 +t2cosx=1 t21 + osta:45)((1 +a2)2/3)3/4= 1 +a246)((1 +a)2/3)3/4= 1 +a47)| a|= :esercizi prop erqualivalorihasensocalcolareleseguentie spressioni50) cos2x 151) sin((2x log(1 x))52) log(sinx+ cosx) )2k 4< x <34 + 2k ,k Zoppureequivalentemente2k < x <34 + 2k 2k +74 < x <2 + 2k ,dovexrisolvel'equazionesin2x 6 cos2x sinxcosx= 'equazionesinx+ 7 cosx+ 5 = erioreeinferiore/massimoeminimo:es-erciz i prop {1n:n N\{0}}.

5 DeterminateinfAesupAediresesonominimoe/o massimodiArisp :n crescenteinn,quindi1/n decrescenteinn,cio 1n+1< 1raggiuntop ern= 1quindi 'infA= ,devofarvedereche:(i)l= 0 minorante,cio n N\{0}siha0<1nilche semprevero;(ii)l= 0 : ssato >0,devodeterminare :esercizipropostitaleche0 + nonsiapi minorante,cio e'trovounelementodiApi piccolodi ,ossia0 + >1 n n >1 che sempreveropropriet 0eilminimononesiste(0nonappartieneadA). {1 1n:n N\{0}}.DeterminateinfAesupAediresesonomi nimoe/omassimodiArisp :analogamenteall'esercizioprecedente,sid imostracheinfA= minA= 0;supA= {2nn2+ 1:n Z}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp :A limitatosup p ossibiledimostrare(ri-solvendoesplicitam enteledisequazioni)che n Z 1 2nn2+ 1 1 Eventualiestremantisonop ertanto 1,chesonoraggiuntirisp ettivamentep ern= minA= 1;supA= maxA= {n+2n:n N\{0}}.

6 DeterminateinfAesupAediresesonominimoe/o massimodiArisp :ncrescementre1/ndecrescemaall'in nitonhacomp ortamentopredominante(considerandolerisp ettivesuccessioniasso ciate,n unin nitodiordinesup eriorea1/n;quindisupA= + 'altraparte,osservochep ern= 1en= 2siha131 Numerin+ 2/n= 3;p ern >2sihan+ 2/n > n 3;quindiinfA= minA= {n 1n+ 1:n N}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp :Vogliofarvederechelasuccessionen 1n+1 ,devomostrarechen 1n+ 1<n+ 1 1n+ 1 + 1 n 1n+ 1<nn+ 2 n2+ 2n n 2< n2+n 2<0dovehop otutoeliminareidenominatorip erch stiamolavorandoinNequindin 'estremoinferiore quelloraggiuntop ern= 0,quindiinfA= minA= 1(equindimaxAnonesiste).Dobbiamoprimadituttomostrareche1 unmaggiorante,quindio ccorrefarvederechen 1n+ 1<1 n 1< n+ 1 1<1che ilminimodeimaggioranti,cio chep erogni ,1 non unmaggiorante,ossia >0, n N: 1 < n 1 n+ 'altraparte1 < n 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1< 2 n+ 1< n >2 1chedinuovo verop erlapropriet {n2+ ( 1)nnn2:n N\{0}}.)

7 DeterminateinfAesupAediresesonominimoe/o massimodiArisp :innanzituttop ossiamoriscriverel'insiemeAnelseguentemo do:A= 1 +1nnpari1 :esercizipropostiQuindiragionoseparatame nteneiduecasi, dosemplicesipu farvederechesen pari,supA= maxA=32mentreinfA= 1eilminimononesiste;sen disparisifavederechesupA= 1mailmassimononesiste,mentreinfA= minA= (diimmediatadimostrazione):sup(E F) = max{supE,supF}inf(E F) = min{infE,infF}quindip ossiamoconcluderechequalunquesian,infA= minA= 0supA= maxA= {x R: 9x+ 3x+1 4 0}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp :bastarisolvereladisequazione32x+ 3 3x 4 0dacuisostituendot= 3xsihat2+ 3t 4 0 t 4 t 1 3x 4 3x 1 3x 1 x 0 QuindiinfA= minA= 0;supA= + {x >0 : cos(1x)= 0}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp :siosservachecos(1x)= 0 1x= 2+k , k Np erch sichiedechex > (1 + 2k), k maxA=2 raggiuntop erk= ilmassimodeiminorantip erch ssato >0, non pi unminorante,infatti >0, k N: >2 (1 +k) k >1 12che p {[ 1 + ( 1)n]n+1n2+ 2, n N}.

8 DeterminareinfAesupAeditesesonominimoe/o massimodiArisp {n 2n+ 2:n N}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp {n2+ 2[n+ ( 1)n]n2+ 1:n 2}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp {n ncos(n ) + 1n+ncos(n ) + 1:n 1}.DeterminateinfAesupAediresesonominimo e/omassimodiArisp {2n+ 1:n 1} [1,2).DeterminateinfAesupAediresesonomin imoe/omassimodiArisp (2 i) (1 + 3i)Siha(2 i) (1 + 3i) = 2 + 6i i+ ( i)(3i) = 2 5i+ 3 = 5 + (2 i) + (1 + 3i)Siha(2 i) + (1 + 3i) = 2 i+ 1 + 3i= 3 + i(2 i) + (3 i)(i+ 2)Siha i(2 i) + (3 i)(i+ 2) = 2i 1 + 3i+ 6 + 1 2i= 6 ,parteimmaginariaeilconiugatodelnumeroi( 2i 3) + (i 1)(3 + 4i)Sihai(2i 3) + (i 1)(3 + 4i) = 2 3i+ (i 1)(3 4i) = 2 3i+ 3i+ 4 3 + 4i= 1 + 4idacui<(z) = 1,=(z) = 4,z= 1 (z) = 46= 4i!!! i3 +iSiha2 i3 +i=6 2i 3i 19 + 1=5 5i10=1 3iSiha12 3i2 + 3i2 + 3i=2 + +i (3 i)3i+ +i (3 i)3i+ 1=2 +i 3 i3i+ 11 3i1 3i=3i estatomoltiplicareamb oimembrip er3i 1enonp er1 + 1 1 3ienon3i 2zi+zsez= 3 +iSihai(3 +i) 2(3 i)3 + 2i3 2i3 2i=( 7 + 5i)(3 2i)13= 11 + i|z|2 (2 i)z2<(z) =(z)sez= 2 +iSiha3(2 +i) i(4 + 1) (2 i)(2 i)4 1=6 + 3i 4i i 4 + 4i+ 13= 1 + (izz+|z|2z)sez= 1 + 3iSihaizz+|z|2z=i10 +101 + 3i1 3i1 3i= 10i+10 30i10= 1 + 7idacui=(izz+|z|2z)= <(|z|2 2ziz)sez= 2 +iSihainnanzituttoz= 2 +i,z= 2 i|z|2= 5iz= 2i 1dacui<(|z|2 2ziz)=<(5 4 + 2i2i 1 1 2i 1 2i)=<(1 + 2i 1 + 2i 1 2i 1 2i)=<( 1 4i+ 45)=<(3 4i5)= 1 = 1 2i6= 2i+ 1!]

9 !! (z,w)conz,w Cdelseguentesistema{zw=i|z|2w+z= 0,altrimentisiavrebb el'assurdo0 = delconiugio,siottiene|z|2w+z=|z|2w+z=|z| 2w+z= 1vistoche|z|2 (ok,vistocheabbiamovistochez6= 0)|z|2iz+z= ,soche|z|2=z zquindizziz+z= +z= oniamoz=a+ibdacuiz=a ibequindil'equazionedarisolverediventa(a ib)(i+ 1) = 1dacuiai+a+b ib= {a b= 0a+b= +i2=i+ 12,w=iz=2i1 +i1 i1 i=2i+ 22=i+ 1, w= 1 ,facciamolaprovap erveri carechee ettivamentelasoluzionetrovataso +i2(i+ 1) =12(1 +i)2=12(1 + ( 1) + 2i) =ieinoltre|z|2w+z=(14+14)(1 i) +1 +i2=12(1 i+ 1 +i) = (z,w)conz,w Cdelseguentesistema{z+w= 1 +i|w|2+z= 1 1 +i w,dacuiz= 1 i wquindisostituendonellasecondaequaziones iottiene|w|2+ 1 iw= 1 idacuiw(w 1) = 0211 Numerichep ortaaduecasi:w= 0dacuisideducew= 0ew= (1 +i,0)e(i,1). (z,w)conz,w Cdelseguentesistema{z2 z2= 4i(1 +i)z= (1 i) +ibsihaz=a ibez2= (a+ib)2=a2+ 2abi b2edunquez=a2 2abi (doveaebstavoltasononumerireali!)}}}}

10 !!){4abi= 4i(1 +i)(a+ib) = (1 i)(a ib) {ab= 12(a+b)i= bcheinseritonellaprimanond alcunasoluzione(vistochea,bp erde nizionesononumerireali). duloeargomentodeiseguentinumericomplessi escrivereznellaformatrigonometrica1)z= 1 +i2)z= 3i+ 13)z= 2 'insiemedeipuntizcheso ddisfano4)|z|= 25)|z| 26)arg(z) = 37)|z 2i| 38)|z 3 + 4i| 59) arg(z) 74 . )|z|=|z+i|11)<(z)>212)=(z) = 413)z= 8 +i14)z=3 2 2i15)|z|<1e|z 1 i|<116)|z i|=|z 1|e|z 1 i| 117)|z|<|z+ 1|e|z+ 1 i|<118)|z|>|z+ 1|e|z+ 1 i|<119)|z|<|z+ 1|e|z+ 1 i|>120)|z+ 1|<1e<z==z21)|z+ 1|<1e<z >=z22)|z+ 1|= 1e<z <=z23)|z+ 1|<1e<z <=z24)|z|>1e|z 1 i|<125)|z|<1e|z 1 i|>126)|z+ 2|<|z+i|27)|z+ 1|=|z+i|28)|z|>|z+i|29)|z+ 1|>|z+i|30)|z i|<|z+ 1 2i|e|z+ 1 i|<131)|z i|>|z+ 1 2i|e|z+ 1 i|<132)|z+ 1 i|>|z|e|z+ 1|<133)|z+ 1 i|<|z|e|z+ 1|<134)|z+ 1 i|>|z|e|z+ 1|>135)|z+ 1 i|<|z|e|z+ 1|> )z2+z z 4 + 4i= 037)( z i1 i)3= 2 2i38)z2+i 3z+i= 039)5 z z=z z+ 6i40)( z 2z+ 6i)=z= 1 9i41)(2z+ z 3)<z= 6 i42)5z+ z=z z+ 4i43)(2z z+ 2)<z= 3 3i44)(z+ 2) z=iz45)( z 2)z=iz46)(z 2) z=i z47)( z+ 2)z=i z48)z+1 iz= 2 +i49)z 1 iz= 1 + 2i50)z 1+iz= 1 2i51)z+1+iz= 2 +i52)z(4 z) = 4 3i53)}}