ESTADÍSTICA TEÓRICA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndez ESTAD STICA TE RICA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD 2 DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD 3 DISTRIBUCIONES VARIABLE ALEATORIA DISCRETADISTRIBUCI N UNIFORMELa variable aleatoria discreta X se dice que tiene una distribuci n uniforme si puedetomar los n valores "12nx,x , ,x con PROBABILIDAD == i1P( Xx )in + = = =222XX Xn1n 1n 1212 12 DISTRIBUCI N de BERNOUILLIE xperimento aleatorio que s lo admite dos resultados excluyentes ( xito y fracaso).La variable aleatoria discreta X asociada a este experimento toma el valor 1 cuandoocurre el suceso xito con PROBABILIDAD =P(A ) p y el valor 0 cuando ocurre elsuceso fracaso con PROBABILIDAD =P(A ) qX=iP( Xx )0q1p = = = N BINOMIALC uando se realizan n pruebas de Bernouilli sucesivas e variable aleatoria discreta X se denomina variable binomial cuando:X = "n mero de veces que ocurre el suceso xito en n pruebas" XB(n,p)La funci n de PROBABILIDAD o cuant a: == knknP( X k ).

2 P . qk = = ==2 XXXsqpn. pn. An. (coeficiente asimetr a)La moda de una distribuci n binomial viene dada por el valor (n mero entero) queverifica d(np q Mnp p) +.Generalmente ser un valor (la parte entera de la media) y podr n ser dos valoresmodales cuando (np q) y (np p)+ sea un n mero entero. Si el experimento consiste en extracciones de una urna, stas han de ser conreemplazamiento para mantener la PROBABILIDAD de xito a lo largo de todas de PROBABILIDAD 4 Si XB(n,p) cuando n es grande y ni p ni q son pr ximos a cero, se puedeconsiderar que () , () 5nP( X k ). p . qN n. p ;n. p. qk = = y, por tanto, la variable = (0,1) (Teorema de Moivre) La distribuci n de Poisson es una buena aproximaci n de la distribuci nbinomial cuando el tama o n es grande y la PROBABILIDAD p es peque a.

3 En general, cuando n30 y p0,1 5nB(n, p)p qP( )ek!k < = = con = Las DISTRIBUCIONES binomiales son reproductivas de par metro p, es decir, dadasdos variables aleatorias independientes XB(n,p) e YB(m,p) se verifica queXYB(nm,p)++ .A partir de este resultado es inmediato que una variable aleatoria XB(n,p)puede descomponerse en suma de n variables aleatorias independientes deBernouilli de par metro N de POISSONUna variable X se dice que sigue una distribuci n de PROBABILIDAD de Poisson sipuede tomar todos los valores enteros (0,1, 2, , n)" con las siguientesprobabilidades:kP( X k )ek! == siendo 0 > 2 XXX = = = X = "n mero de ocurrencias de un suceso durante un gran n mero de pruebas"Existen un gran n mero de modelos experimentales que se ajustan a unadistribuci n de Poisson: N mero de piezas defectuosas en una muestra grande, donde la proporci n dedefectuosas es peque a.

4 N mero de llamadas telef nicas recibidas en una centralita durante ciertotiempo. N mero de clientes que llegan a una ventanilla de pagos de un banco durantecierto de PROBABILIDAD 5 La suma de n variables aleatorias de Poisson independientes es otra variablealeatoria de Poisson cuyo par metro es la suma de los par metros iiXP() donde i1,2, ,n=" variables aleatorias independientes de Poisson6 nniii1i1 YXP== = Si para cada valor t0>, que representa el tiempo, el n mero de sucesos de unfen meno aleatorio sigue una distribuci n de Poisson de par metro t , lostiempos transcurridos entre dos sucesos sucesivos sigue una distribuci nexponencial. Cuando 10 la distribuci n de Poisson se aproxima a una distribuci nnormal ()N, DISTRIBUCI N GEOM TRICA o de PASCALLa distribuci n geom trica o de Pascal consiste en la realizaci n sucesiva depruebas de Bernouilli, donde la variable aleatoria discreta:X = "n mero de la prueba en que aparece por primera vez el suceso A", dondeXG(p) Para hallar la funci n de PROBABILIDAD o cuant a P( X k )= hay que notar que laprobabilidad del suceso es.

5 A . A "En consecuencia, k1P( X k ) q . p ==22q1qpp p = = =La distribuci n geom trica es un modelo adecuado para aquellos procesos en losque se repiten pruebas hasta la consecuci n del resultado el experimento consiste en extracciones de una urna, stas han de ser N BINOMIAL NEGATIVALa distribuci n binomial negativa Bn(n, p) es un modelo adecuado para tratarprocesos en los que se repite n veces una prueba determinada o ensayo hastaconseguir un n mero determinado k de resultados favorables (por vez primera). DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD 6Si el n mero de resultados favorables buscados fuera 1 ser a el caso de unadistribuci n geom trica, esto es, la distribuci n binomial negativa puedeconsiderarse una extensi n o ampliaci n de la distribuci n geom = "n mero de pruebas necesarias para lograr k xitos " X Bn(n, p) knkn1P( X n)p . qk1 == p = = =Si el experimento consiste en extracciones de una urna, stas han de ser rtase que si el n mero de resultados favorables fuera 1 (k 1)= la distribuci nbinomial negativa ser a una distribuci n geom trica:n1n1n1P( X n)p.

6 Qp. q0 === DISTRIBUCI N POLINOMIAL o MULTINOMIALEs una generalizaci n de la distribuci n binomial cuando en cada prueba seconsideran k sucesos excluyentes 12k(A , A ,, A )" con probabilidades respectivas12k(p , p ,, p )", siendo 12kppp 1+++="Suponiendo que se realizan n pruebas independientes de este tipo y considerandolas variables iX= "n mero de veces que ocurre el suceso iA en las n pruebas"12knnn112 2k k12k12kn!P(X n ;Xn ; ;Xn )p ppn!n !n !== =="""DISTRIBUCI N HIPERGEOM TRICAEs una variante de la distribuci n binomial (experiencias independientes oextracciones con reemplazamiento).La distribuci n hipergeom trica corresponde a extracciones sin las dem s cuestiones presenta el mismo marco de consideraciones, es decir, dossituaciones excluyentes ( xito y fracaso) que se realizan en n N elementos, con la PROBABILIDAD de xito p en la primera extracci n.

7 Los Nelementos se distribuyen en ( ) xitos y (N. q) variable aleatoria X = "n mero de xitos k en n extracciones" dondeAXHn,N,N DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD ( X k )Nn == = = = Cuando N es grande respecto a n, es decir, n0,1N<, se puede decir que la variablehipergeom trica sigue aproximadamente una distribuci n binomial. Esto es, knkn0, ( X k )p . qNkn < = = En general, de forma an loga a la distribuci n polinomial, en una poblaci n con Nelementos repartidos en k clases excluyentes 12k(A , A ,, A )" con elementosrespectivos de cada clase 12k(N , N ,, N )", 12kNNN N+++=", al tomarconsecutivamente n elementos sin reemplazamiento y denotando por:iX= "n mero de elementos que hay de la clase iA en la muestra de tama o n" 12k12k112 2k ( Xn ; Xn ;; Xn )Nn == == ""siendo 12k12kNNN Nnnn n+++= +++= "" DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD 8 DISTRIBUCIONES VARIABLE ALEATORIA CONTINUALa ley de PROBABILIDAD de una variable aleatoria continua X est definida, bien si seconoce su funci n de densidad f(x), bien si se conoce su funci n de distribuci nF( x), verificando:baF(x) P(X x)P(a X b)f(x) dxf(x) dx 1 = <<== La funci n de densidad f(x) y la funci n de distribuci n F( x) se encuentranrelacionadas por la expresi n:xdF(x)F(x)f(x) dxf(x)dx == DISTRIBUCI N UNIFORMEUna variable aleatoria continua X sigue una distribuci n uniforme en el intervalo [a,b], y se denota como XU(a,b) , cuando su funci n de densidad es:0xa1f(x)a x bba0xb< = > Funci n de distribuci n.

8 0xaxaF( x)ax bba1xb< = > 22 XXXab(ba)ba21212+ = = = DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD 9 DISTRIBUCI N NORMAL o de LAPLACE GAUSSUna variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribuci n normal o deLaplace Gauss de media y desviaci n t pica si su funci n de densidad es: 22(x)21f(x). = < < > Funci n de distribuci n:22(x)x21F( x). = Si una variable 1X es 11N( ,) y otra 2X es 22N( ,) independientes entre s ,entonces la nueva variable 12XX X= sigue tambi n una distribuci n normal()22121 2N, + . Propiedad que se puede generalizar a n variables aleatoriasindependientes. Si una variable X sigue una distribuci n normal N( , ) , la nueva variableXz = sigue tambi n una distribuci n normal N(0,1).La variable z se le denomina variable tipificada de X y a la curva de su funci n dedensidad curva normal funci n de densidad ser , 2z21f(z).

9 Ez2 = << Funci n de distribuci n: 2tz21F(z).edt2 = Si X es una variable binomial B(n, p) con n grande y ni p ni q son pr ximos acero, podemos considerar que X sigue aproximadamente una distribuci nN , y, en consecuencia, la variable (0,1)n. p . q = (Teorema de Moivre)En general, la transformaci n es aceptable cuando p0, >Para utilizar correctamente la transformaci n de una variable discreta X (conDistribuciones de PROBABILIDAD 10distribuci n binomial) en una variable continua z (con distribuci n normal) esnecesario realizar una correcci n de ( X a) P( X a 0,5)<= P( X a) P( X a 0,5) = +P( X a) P(a 0,5X a 0,5)== +P(aX b) P(a 0,5X b 0,5)<<= + P(aX b) P(a 0,5X b 0,5) = +DISTRIBUCI N CHI CUADRADO (2 ) de PEARSONSean n variables aleatorias ()12nX,X ,,X" independientes entre s , con leyN(0,1)La variable 2222n12nXXX = + + +" recibe el nombre de 2 (chi cuadrado) dePearson con n grados de funci n de densidad es 2x2(n2) (n2)f(x)0x0 << = La funci n gamma se define p1x0(p)

10 Xe dx = Algunas f rmulas de inter s para el c lculo de (p) : 1(p) (p 1)! (p 1) (p 1)(p) . (p 1)2senp = = = = DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD 11 Media, varianza y desviaci n t pica: 222nnn2n2n 2n = = = Si 1222nny son dos 2 de Pearson, respectivamente con 12nyn grados delibertad, independientes entre s , entonces la suma de las dos 1212222nnnn+ = + estambi n una 2 de Pearson con 12nn+ grados de libertad. Esta propiedad sepuede generalizar a n variables aleatorias independientes. Al aumentar el n mero de grados de libertad, la distribuci n 2 se aproximaasint ticamente a la distribuci n normal. ()2nn302N2n1,1> En el muestreo, al tomar muestras de media x y desviaci n t pica x de unapoblaci n N( , ) , la variable 22xn12(n 1).s = es una 2 de Pearson con (n 1) grados de libertad, donde 2xs es la cuasivarianza muestral, 22xxn(n1)s = Esta propiedad es muy utilizada en la estimaci n y en el contraste de hip tesissobre la varianza poblacional 2.