Exercices de Michel Quercia Table des matières

1 Exo7. Exercices de Michel Quercia Les Exercices suivants ont t recueillis par mes tudiants (Maths-Sup, puis Maths-Sp ) aux oraux des concours d'entr e aux grandes coles. Ils sont class s par th mes correspondant grosso-modo aux diff rents chapitres des programmes de Maths des CPGE, mais certains Exercices anciens sont toutefois devenus hors programme. Pour la plupart, les Exercices sont accompagn s d'une solution plus ou moins succinte allant de la simple r ponse au calcul demand une r daction compl te pour les questions non imm diates. Michel Quercia Table des mati res I Alg bre g n rale 6.

2 1 applications 6. 2 Coefficients du bin me 8. 3 Ensembles finis 10. 4 Nombres complexes 12. 5 Op rations 16. 6 Groupes 17. 7 Anneaux 23. 8 Relations d' quivalence 28. 9 Relations d'ordre 29. 10 Propri t s de N 32. 11 Propri t s de R 34. 12 Suites r currentes lin aires 35. 13 Permutations 36. II Arithm tique 38. 14 Congruences 38. 15 Pgcd 40. 16 Relation de B zout 42. 17 Factorisation en nombres premiers 43. 1. 18 Propri t s de Q 44. 19 Propri t s de Z/nZ 45. III Polyn mes 47. 20 Polyn mes 47. 21 Division euclidienne 51. 22 Racines de polyn mes 54. 23 Polyn mes irr ductibles 58.

3 24 Fonctions sym triques 59. 25 Fractions rationnelles 61. 26 D compositions de fractions rationnelles 62. 27 D composition en l ments simples 64. 28 Division suivant les puissances croissantes 66. IV Alg bre lin aire 66. 29 Espaces vectoriels 66. 30 applications lin aires 68. 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69. 32 applications lin aires en dimension finie 71. 33 Matrices 76. 34 Calcul matriciel 82. 35 quations lin aires 85. 36 D terminants 88. 37 Calculs de d terminants 91. 38 Rang de matrices 94. 39 Projections 98. 40 R ductions des endomorphismes 99.

4 Diagonalisation .. 99. Calculs .. 101. Espaces fonctionnels .. 104. Polyn mes caract ristique .. 105. Polyn mes annulateur .. 107. Endomorphismes de composition .. 111. Similitude .. 112. 2. Usage de la r duction .. 113. R duction par blocs .. 115. et noyau .. 116. stables .. 117.. 118. 41 Dualit 119. 42 Sommes directes 123. V Alg bre bilin aire 124. 43 Produit scalaire 124. 44 Espace vectoriel euclidien orient de dimension 3 130. 45 Formes quadratiques 133. 46 Transformations orthogonales 136. 47 Endomorphismes auto-adjoints 140. 48 Probl mes matriciels 146.

5 49 Espaces vectoriels hermitiens 149. VI Fonctions d'une variable 152. 50 Fonctions continues 152. 51 Fonctions monotones 155. 52 Fonctions usuelles 157. 53 Fonctions circulaires inverses 161. VII Calcul diff rentiel 163. 54 D rivation 163. 55 Fonctions convexes 169. 56 formules de taylor 172. 57 Calculs de d veloppements limit s 174. 58 Calculs de limites par d veloppements limit s 176. 59 D veloppements limit s th oriques 179. 60 D veloppements limit s implicites 180. 61 quivalents 181. 62 quations diff rentielles lin aires (I) 182. 3. 63 quations diff rentielles lin aires (II) 188.

6 64 quations diff rentielles non lin aires (I) 192. 65 quations diff rentielles non lin aires (II) 193. 66 D riv es partielles 196. 67 tude d'extr mums 205. 68 quations aux d riv es partielles 207. VIII Calcul int gral 209. 69 Int grale de Riemann 209. 70 Primitives 215. 71 Int grale g n ralis e 217. 72 Int grale d pendant d'un param tre 223. 73 Int grale multiple 232. IX S ries 236. 74 Fonction exponentielle complexe 236. 75 S ries num rique 237. 76 Familles sommables 247. 77 Suites et s ries de fonctions 249. 78 S ries enti res 258. Rayon de convergence.

7 258. D veloppement, sommation .. 260. tude au bord .. 263. quations diff rentielles .. 264. Int grales .. 266. Analycit .. 266. Divers .. 267. 79 S ries de Fourier 268. D veloppements .. 268. Calcul de s ries .. 270. Coefficients de Fourier .. 271. Relation de Parseval .. 272. Convergence .. 273. Int grale de Fourier .. 274. Divers .. 274. X Topologie 275. 4. 80 Suites convergentes 276. 81 Suites un+1 = f (un ) 280. 82 Topologie de R 282. 83 Topologie dans les espaces m triques 284. 84 Topologie dans les espaces vectoriels norm s 285. G om trie.

8 285. Suites .. 286. Normes .. 287. Topologie .. 290. Fonctions continues .. 292. applications lin aires continues .. 294. Connexit .. 297. 85 Compacit 298. 86 Connexit 300. 87 Espaces complets 300. 88 Fonctions vectorielles 301. XI G om trie 302. 89 Sous-espaces affines 302. 90 applications affines 304. 91 Barycentres 306. 92 Propri t s des triangles 307. 93 Coniques 309. Parabole .. 310. Ellipse .. 311. Hyperbole .. 312. 94 Quadriques 313. 95 Torseurs 315. 96 G om trie euclidienne en dimension 2 316. 97 G om trie euclidienne en dimension 3 318. 98 Courbes param tr es 321.

9 99 Courbes en polaires 323. 100 Courbes d finies par une condition 323. 101 Branches infinies 325. 102 Points de rebroussement 326. 5. 103 Enveloppes 326. 104 Rectification, courbure 328. 105 Courbes dans l'espace 331. 106 Surfaces param tr es 332. Premi re partie Alg bre g n rale 1 applications Exercice 2889 Images directes et r ciproques Soit f : E F une application, A, A0 E et B, B0 F. 1. Simplifier f ( f 1 ( f (A))) et f 1 ( f ( f 1 (B))). 2. Montrer que f (A f 1 (B)) = f (A) B. 3. Comparer f (A A0 ) et f (A) f (A0 ). 4. Comparer f 1 (B B0 ) et f 1 (B) f 1 (B0 ).

10 5. A quelle condition sur f a-t-on : A E, f (E \ A) = F \ f (A) ? [002889]. Exercice 2890 (X A, X B). Soit E un ensemble, et A, B deux parties fix es de E. Soit : P(E) P(A) P(B), X 7 (X A, X B). 1. Qu'est-ce que ( ) ? (E \ (A B)) ? 2. A quelle condition sur A et B, est-elle injective ? 3. Est-ce que le couple ( , B) poss de un ant c dent par ? 4. A quelle condition sur A et B, est-elle surjective ? [002890]. Exercice 2891 Partie stable par une application Soit f : E E. Pour n N , on note f n = f f f , et f 0 = idE . | {z }. n fois Soit A E, An = f n (A), et B =.