Exercices de Thermodynamique - ac-bordeaux.fr

1 Exercices de Thermodynamique Ce fut la grande t che et la grande gloire de la physique du XIXe si cle d'avoir ainsi consid rablement pr cis et tendu en tous sens notre connais- sance des ph nom nes qui se jouent notre chelle. Non seulement elle a continu d velopper la M canique, l'Acoustique, l'Optique, toutes ces grandes disciplines de la science classique, mais elle a aussi cr de toutes pi ces des sciences nouvelles aux aspects innombrables : la Thermodynamique et la science de l' lectricit .. Louis De Broglie (1892-1987) Mati re et Lumi re, expos s g n raux sur la physique contemporaine, 1 (1937). Syste mes thermodynamiques .. Grandeurs intensives et extensives ( Sol. p. 2). T1. Soit une mole d'un gaz occupant une volume Vm sous la pression P et a la tempe rature T . a 1) On suppose que ces grandeurs sont lie es par l'e quation : P + 2 (Vm b) = RT , ou a, b Vm et R sont des constantes.

2 Utiliser les proprie te s d'intensivite ou d'extensivite des grandeurs pour e tablir l'e quation correspondante relative a n moles.. a 2) Me me question pour l'e quation : P (Vm b) exp = RT . RT Vm . Pour donner du sens au nombre d'Avogadro ( Sol. p. 2). On conside re du sable fin dont chaque grain occupe un volume V0 = 0, 1 mm3 . Quel est le volume V occupe par N = grains ? Si on e tendait uniforme ment ce sable sur la France (d'aire S = 550 000 km2 ) quelle serait la hauteur de la couche de sable ? Conside rations a l'e chelle microscopique .. Vitesse de libe ration et vitesse quadratique moyenne T1. 1) Calculer nume riquement a la surface de la Terre et de la Lune, pour une tempe rature T = 300 K, la vitesse de libe ration vl et la vitesse quadratique moyenne pour du dihydroge ne et du diazote.

3 Commenter. Donne es : Constante de gravitation G = 6, 11 uSI. Rayon terrestre RT = 6, m ; masse de la Terre MT = kg. Rayon lunaire RL = 1, m ; masse de la Lune ML = 7, kg. Masses molaires : M (H2 ) = 2 1 et M (N2 ) = 28 1 . Constante des GP : R = 8, 314 1 .mol 1 . 2) Quel devrait e tre l'ordre de grandeur de la tempe rature T pour que le diazote, constituant majoritaire de l'atmosphe re terrestre, e chappe quantitativement a l'attraction terrestre ? Re p : 1) Pour l'expression de la vitesse de libe ration Cf Cours de Me canique et DSn0 5 : vl,T ' 11, 2 1 et vl,L ' 2, 3 1 . de plus : vq (H2 ) ' 1, 9 1 et vq (N2 ) ' 0, 5 1 . 2) Il faudrait TT 100 000 K ( !).. Densite particulaire et volume molaire ( Sol. p. 2). 1) calculer le nombre de mole cules par cm3 dans un gaz parfait a 27 C sous une pression de 10 6 atmosphe re.

4 2) Calculer le volume occupe par une mole d'un gaz parfait a la tempe rature de 0 C sous la pression atmosphe rique normale. En de duire l'ordre de grandeur de la distance moyenne entre mole cules. Exercices de Thermodynamique 2008-2009. Solution V. 1) Comme Vm = , on a : n . a n2 a V n2 a P + 2 (Vm b) = RT P + 2 b = RT P + 2 (V nb) = nRT. Vm V n V.. A. Rq : on peut e crire l'e quation d'e tat sous la forme P + 2 (V B) = nRT en posant B = nb V. et A = n2 a. B est une grandeur extensive puisqu'elle est additive, si n = n1 + n2 , B = nb = n1 n + n2 b =. B1 + B2 . A est aussi une grandeur extensive, mais elle n'est pas additive car si n2 a 6= n21 a + n22 a. na 2) P (V nb) exp = nRT . RT V. Solution Le volume occupe est V = = m3 = L (60 millions de milliards de litres !) . Ce V. sable e tale sur S = 5, km2 = 5, m2 formerait une couche de hauteur h = ' 110 m S.

5 ( !). Solution 1) D'apre s l'e quation d'e tat du gaz parfait, le nombre de mole cules par unite de volume est N P 10 6 .1, n = = ' ' 2, mole cules par me tre cube soit n ' 2, V kB T 1, 23 300. mole cules par cm3 ou encore n ' 11 3 . RT 8, 314 273, 15. 2) Le volume molaire cherche est : Vm = = = 22, 3 m3 = 22, 4 L. V 1, Mode lisations de gaz re els T1 . Dioxyde de carbone Pour le dioxyde de carbone ( gaz carbonique ), les c fficients a et b de l' quation d' tat de Van der Waals ont pour valeurs respectives 0, 366 .s 2 .mol 2 et 4, 5 m3 .mol 1 . On place deux moles de ce gaz dans une enceinte de volume V = 1 L la temp rature de T = 300 K. Q : Comparer les pressions donn es par les quations d' tat du gaz parfait et du gaz de Van der Waals, la valeur exacte tant P = 38, 5 bars. nRT P PGP. R p : PGP = ' 4, P a, soit une erreur relative de 30% ; PVdW =.

6 V P. nRT n2 a P PVdW. 2 ' 3, P a, soit une erreur relative de 4%. Le mod le du gaz V nb V P. parfait est donc inacceptable, tandis que le mod le du gaz de Van der Waals montre une bien meilleure pr cision.. Deux re cipients Un r cipient (A) de volume VA = 1 L, contient de l'air tA = 15 C sous une pression PA =. 72 cmHg. Un autre r cipient (B) de volume VB = 1 L, contient galement de l'air tB = 20 C sous une pression PB = 45 atm. On r unit (A) et (B) par un tuyau de volume n gligeable et on laisse l' quilibre se r aliser . t = 15 C. On mod lise l'air par un gaz parfait de masse molaire M = 29 1 . Donn es : le centim tre de mercure est d fini par la relation 1 atm = 76 cmHg = 1, P a. Q : Quelle est la pression finale de l'air dans les r cipients ? Quelle est la masse d'air qui a t . transf r e d'un r cipient dans l'autre ?

7 Indications : Exprimer, initialement, les quantit s de mati re nA et nB dans les r cipients. En d duire la quantit de mati re totale. L' tat final tant un tat d' quilibre Thermodynamique , 2 http 2008-2009 Exercices de Thermodynamique les variables intensives sont uniformes, dont la densit mol culaire et la pression. En d duire les quantit s de mati re finales nAF et nBF . R p : mB A = 26, 1 g et P ' 22, 5 bars ' 22, 2 atm.. Point critique et e quation re duite d'un gaz de Van der Waals (*). a 1) Une mole de gaz de Van der Waals a pour quation d' tat : P + (V b) = RT. 2 . V 2 . P P. Exprimer P en fonction de T et V et calculer les d riv es partielles : et . V V 2 T. 2 T. P P. 2) Montrer qu'il existe un unique tat C tel que : = 0 et = 0. V T V 2 T. D terminer son volume molaire VC , sa temp rature TC et sa pression PC.

8 T V P. 3) On pose = , = et $ = . TC VC PC. Montrer que l' quation d' tat liant , et $ est universelle, c'est dire qu'elle ne fait plus intervenir aucune constante d pendant du gaz. 2 . P RT 2a P 2RT 6a R p : 1) = + et = 4. V T (V b)2 V 3 V 2 T (V b)3 V. n 8a a o 3. 2) C VC = 3b ; TC = ; PC = 3) $ + 2 ( 1) = 8 . 27Rb 27b2 .. Mode lisations d'un gaz re el (*). 1) Le tableau ci-dessous donne avec trois chiffres significatifs exacts le volume molaire V (en m3 .mol 1 ) et l' nergie interne molaire U (en 1 ) de la vapeur d'eau la temp rature t = 500 C pour diff rentes valeurs de la pression P (en bars). On donne en outre la constante des GP : R = 8, 314 1 .mol 1 . P 1 10 20 40 70 100. V 6, 2 6, 3 3, 3 1, 3 8, 4 5, 4. U 56, 33 56, 23 56, 08 55, 77 55, 47 54, 78. Justifier sans calcul que la vapeur d'eau ne se comporte pas comme un GP.

9 On se propose d'adopter le mod le de Van der Waals pour lequel on a, pour une mole de gaz : a a P + 2 (V b) = RT et U = UGP (T ) . V V. Calculer le coefficient a en utilisant les nergies internes des tats P = 1 bar et P = 100 bars. Calculer b en utilisant l' quation d' tat de l' tat P = 100 bars. Quelle valeur obtient-on alors pour U P = 40 bars ? Quelle temp rature obtient-on alors en utilisant l' quation d' tat avec P = 40 bars et V = 1, 3 m3 .mol 1 ? Conclure sur la validit de ce mod le. 2) On r alise une d tente isochore (ie volume constant) d'une mole de vapeur d'eau de l' tat initial I {tI = 500 C; PI = 100 bars} jusqu' l' tat final F {TF =?; PF = 70 bars}. Le tableau ci-dessous donne le volume molaire V (en m3 .mol 1 ) et l' nergie interne molaire U. (en 1 ) de la vapeur d'eau sous P = 70 bars pour diff rentes valeurs de la temp rature t (en C).

10 T 300 320 340 360 380 400. V 5, 4 5, 4 6, 4 6, 4 6, 4 7, 4. U 47, 30 48, 38 49, 32 50, 17 50, 96 51, 73. D terminer la temp rature finale TF et la variation d' nergie interne U = UF UI . http 3. Exercices de Thermodynamique 2008-2009. R p : 1) UH2 O(g) ne v rifie pas la premi re loi de Joule : H2 O(g) ne se comporte pas comme un gaz parfait. Mod lisation de VdW : a = 9, 1 3 .mol 1 et b = 8, 5 m3 .mol 1 . 2) TF = 599 K et U = UF UI = 6, 1 1 . C fficients thermoe lastiques et phases condense es T1 .. Gaz de Van der Waals a . Une mole de dioxyde de carbone CO2 ob it l' quation de Van der Waals : P + 2 (V b) =. V. RT , o V est le volume molaire du gaz. D terminer le c fficient de dilatation pression constante en fonction des variables ind pen- dantes T et V , des constantes a, b et de R. Retrouver son expression GP dans le cas d'un gaz parfait.