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Exercices supplémentaires – Dérivation

Exercices suppl mentaires D rivation Partie A : Lecture graphique et trac de tangente Exercice 1. Lire graphiquement le coefficient directeur s'il existe de chacune des droites repr sent es ci-dessous. 5. 4. 3. 2. 1. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7. -1. -2. -3. -4. -5. -6. Tracer dans chaque cas, la droite passant par et de coefficient directeur . D terminer une quation de chacune Exercice 2. 1) 2; 1 et 2. de ces droites. 2) 3; 4 et 3. 3) 1; 1 et . 4) 3; 2 et 0. On a repr sent la courbe d'une fonction et certaines de ses tangentes. Exercice 3. 1) Donner l'interpr tation graphique de 3 puis lire graphiquement sa valeur.

Exercice 1 1) Déterminer le sommet 6 de la parabole 7 d’équation '2 4 ˇ3. 2) Déterminer la tangente à 7 en 6. 3) Démontrer que la tangente au sommet 6 à une parabole 7 d’équation ' ˇ8 ˇ9 avec ,8 et 9 trois réels :0 est toujours horizontale.

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1 Exercices suppl mentaires D rivation Partie A : Lecture graphique et trac de tangente Exercice 1. Lire graphiquement le coefficient directeur s'il existe de chacune des droites repr sent es ci-dessous. 5. 4. 3. 2. 1. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7. -1. -2. -3. -4. -5. -6. Tracer dans chaque cas, la droite passant par et de coefficient directeur . D terminer une quation de chacune Exercice 2. 1) 2; 1 et 2. de ces droites. 2) 3; 4 et 3. 3) 1; 1 et . 4) 3; 2 et 0. On a repr sent la courbe d'une fonction et certaines de ses tangentes. Exercice 3. 1) Donner l'interpr tation graphique de 3 puis lire graphiquement sa valeur.

2 2) Lire de m me 5 ; 3 et 0 . On consid re la fonction d finie sur par 3. Exercice 4. 1) Tracer la courbe de dans un rep re orthonorm . 2) On donne 2 4. Tracer la tangente la courbe de au point d'abscisse 2. Exercice 5. On consid re le tableau de valeurs suivant : 4 2 0 2 6. 2 1 3,5 5 5. 1 0 1 0,5 1. 1) Dans un rep re orthonorm , placer les points de la courbe de connus. 2) Tracer les tangentes en ces points. 3) Tracer une allure possible de la courbe de . Partie B : Taux de variations On consid re la fonction carr e . Exercice 1. 1) Calculer 5 et 5 o est un r el. pour non nul.. 3) D terminer le nombre d riv de en 5.

3 2) En d duire une expression simplifi e de Un v hicule d crit un mouvement rectiligne. La distance parcourue, en m tres, depuis le temps 0 jusqu'au Exercice 2. temps en secondes, est ! 5 . pour $ 0. " " # .. 2) D terminer la vitesse instantan e ! 0 de ce v hicule au temps 0. 1) Calculer 3) D terminer sa vitesse instantan e 10 &. 1) Etablir la relation ' ' ' ' pour tous r els et '. Exercice 3. 2) En d duire une factorisation de 2 8. 3) D terminer le nombre d riv e de la fonction cube en 2. On consid re la fonction racine carr e d finie sur )0; ). Exercice 4. 1) V rifier que pour $ 0, 1 1 1.. 1 1. 2) En d duire l'existence et la valeur de 1.

4 On consid re la fonction d finie sur ,3- par Exercice 5. 1.. 3. D montrer que est d rivable en 2 et d terminer 2 . On consid re la fonction d finie sur ) 2; ) par 2. Exercice 6. D montrer que est d rivable en 1 et d terminer 1 . Partie C : Calcul de d riv es Calculer dans chacun des cas suivants : Exercice 1. : / et 5. : / et 2. 1). : / et 4. 2). : / et 3. 3). 0. 4). Dans chaque cas, tracer la courbe de la fonction , d terminer l' quation de la tangente au point d'abscisse et Exercice 2. 1) : / et 2. tracer cette tangente. 2) : / et 3. 3) : / 0 et 3. 4) : / et 4. Dans chaque cas, justifier que est d rivable en pr cisant l'ensemble de d rivabilit puis calculer.

5 Exercice 3. 1) : / 2 3 . 2) : / 2 1. 3) : / 4 6. 4) : / 3 2 . 5) : / 2 4 . 6) : / 2 4 . 7) : / . 8) : / 2 4 . 9) : / 4 5 . 10) : / 1 2. 11) : / 0 . 12) : / 0 3 . 13) : / 0 4.. 14) : /.. 03 . 15) : /. 0 . 0 . 16) : /. 0 3. 0 . 17) : /. 0 3 0 . 03 . 18) : /. 0 . 0. 19) : / 2 1 . 20) : / 3 . 21) : / 3 3. 05 0. 4 . Partie D : Tangente avec conditions et Exercices bilan 1) D terminer le sommet 6 de la parabole 7 d' quation ' 2 4 3. Exercice 1. 2) D terminer la tangente 7 en 6. 3) D montrer que la tangente au sommet 6 une parabole 7 d' quation ' 8 9 avec , 8 et 9 trois r els : 0 est toujours horizontale. On consid re les deux courbes : ' 2 et : ' 6 2.

6 Exercice 2. 1) Tracer et dans un rep re orthonorm . 2) Montrer qu'elles n'ont qu'un point commun que l'on notera . 3) Montrer que et ont la m me tangente en . On consid re la fonction d finie sur ,1- par Exercice 3.. 3 6.. 1. Et on note sa courbe repr sentative dans un rep re orthonorm . 1) D terminer les coordonn es du point o coupe l'axe des ordonn es. 2) D terminer une quation de la tangente ; en . 3) Etudier la position relative de et ;. On consid re la fonction d finie sur par 2 . Exercice 4. 1) D terminer une quation de la tangente ; la courbe de au point d'abscisse 1. 2) D terminer trois r els , 8 et 9 tels que 3 2 1 8 9 pour tout r el.

7 3) Etudier les positions relatives de et ;. On consid re trois fonctions : / 1 ; <: / et : / 4 1 de courbes respectives , Exercice 5. = et . 1) Dresser les tableaux de variations de , < et . 2) Montrer que le point 1; 2 est commun aux trois courbes , = et . 3) Montrer que les trois courbes admettent la m me tangente ; en . 4) Etudier les positions relatives de ; par rapport chacune des trois courbes. 5) Tracer , = , et ;. 6) Chacune des courbes , = et admet-elle une tangente parall le la droite d' quation ' ? Si oui, pr ciser en quel point et crire leur quation. On consid re la parabole d' quation ' et le point 6 2; 1.

8 On voudrait savoir s'il existe une ou plusieurs Exercice 6. tangentes passant par 6. 1) Tracer et mettre une conjecture. 2) On consid re un r el . Ecrire une quation de la tangente ;> au point d'abscisse . 3) D terminer le ou les r els tels que ;> passe par 6. On consid re la fonction d finie sur 3 4 sur ? ; ?. 4. Exercice 7. 1) Etudier le sens de variations de sur ? ; ?. 4. 2) Tracer la courbe de dans un rep re orthonorm . 3) On admet que est d rivable sur @ ; ?. On consid re la fonction A d finie par A B . 4. a. Justifier que A est d rivable sur @ ; ? et d terminer une expression de A en fonction de 4. et . b.

9 Exprimer A en fonction de puis calculer A . c. En d duire . 4) D terminer une quation de la tangente la courbe de au point d'abscisse 0 et tracer cette tangente. On cherche une courbe passant par 0; 0 , C 3; 3 et qui admet pour tangentes en et C respectivement les Exercice 8. droites D et CE o D 1; 5 et E 5; 1 . On consid re pour cela une fonction d rivable sur dont serait la courbe repr sentative. Est-il possible de trouver sous la forme 8 9 ! o , 8, 9 et ! sont des r els ? 1) Dans un rep re, tracer la courbe repr sentative de la fonction : / et placer 5; 4 . Exercice 9. 2) Montrer que la tangente au point F d'abscisse 0,5 passe par.

10 3) Nous allons chercher s'il existe d'autres tangentes qui passe par . Pour cela, on consid re un point F de d'abscisse . a. Montrer qu'une quation de la tangente en F est 2 3 ' 0. b. De quelle quation le nombre doit-il tre solution pour que la tangente en F passe par ? c. Montrer que pour tout r el , 2 15 4 2 1 8 4 . d. R soudre dans l' quation 2 15 4 0. e. En quels points de , la tangente passe-t-elle par ? 4) Nous allons maintenant chercher par quels points du plan on ne peut pas tracer de tangente . Pour cela, on consid re la droite parall le l'axe des ordonn es et passant par . a. Montrer que les coordonn es d'un point C de sont 5; 8 avec 8 un r el.


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