F. Mannewitz Komplexe Toleranzanalysen einfach …

1 AbstractInhaltF. Mannewitz Komplexe Toleranzanalysen einfach durchf hren Complex Tolerance Analyses ma es einer Baugruppe in der Worst-case-Be-trachtung. Basierend auf diesem Informationsstand kann dann unter einer weiteren Zuordnung der Fertigungsqualit ten der einzelnen Ma ket-tenglieder in Form der Fertigungsverteilung, Prozessf higkeit und -kennwertes eine statisti-sche Analyse durchgef hrt werden. Dieses Er-gebnis liefert dann eine realit ts- und praxis-nahe Aussage ber die Anzahl der prozesssicher eingehaltenen funktions- bzw. kundenrelevan-ten Kriterien der Baugruppen. Leider ist die Durchf hrung solcher not-wendigen Toleranzanalysen in der Regel eine relativ komplizierte Aufgabenstellung, da die meisten technischen Funktionszusammen-h nge nicht linear bzw. eindimensional abzu-bilden sind. So leisten auch die gegenw rtig am Markt erh ltlichen Programmsysteme keine bzw. eine nur sehr unzureichende Hilfestellung zur Ermittlung des Funktionszusammenhangs.

2 Dieser Beitrag soll einen graphischen L -sungsansatz aufzeigen, mit dem unter Varia-tion der Geometrieparameter nichtlineare Funktionszusammenh nge schnell und einfach zu ermitteln sind, um damit Komplexe Toler-anzanalysen einfach durchzuf hren. 2 Berechnung von Ma ketten Eine Ma kette l sst sich im allgemeinen durch die Funktion Gl.(1) beschreiben. Vor dem Hintergrund steigender Qualit tsanforderungen an technische Produkte, k rzerer Entwicklungszyklen sowie paralleler Entwicklungsprozesse wird es zunehmend wichtiger, fr hzeitig eine Aussage ber kritische Einfl sse und Risiken in den Baugruppenfunktionen zu erhalten, um eine eventuelle Fehler-beseitigung m glichst kostenneutral zu gestalten. Eine Methode neben den bereits etablierten Simulationsverfahren in der Ent-wicklung ist in der Toleranzanalyse gegeben, wo durch die Best tigung der Funktionsma konzepte gleichzeitig ein Bench-marking hinsichtlich der Fertigungs-, Funktions- und Montagef -higkeit von Baugruppen sichergestellt ist.

3 Against the background of increasing demands for quality in technical products, shorter cycles of development as well as parallel development processes it becomes more and more important to receive statements about critical influences and risks in the component functions at an early stage in order to make a potential fault clearance as cost neutral as possible. One method besides the already established simulation pro-cesses in development exists in tolerance analysis. Thereby the confirmation of the function measurement concept ist se-cured. This also is a benchmark for production, function and assembly features of components. 1 Einleitung In den letzten Jahren hat im Maschinen- und Fahrzeugbau die Berechnung von Toler-anzauswirkungen zunehmend an Bedeutung ge-wonnen. Insbesondere in der Automobil- und Zuliefererindustrie hat man erkannt, dass neben den bereits etablierten Methoden wie der Fini-ten-Element-Methode (FEM), dem Digital Mock up (DMU) und anderen Simulationsverfahren, die Toleranzanalyse an funktions- und kunden-relevanten Kriterien w hrend des Produktent-stehungsprozesses von entscheidener Bedeu-tung im heutigen Wettbewerb sein kann.

4 Dieses dr ckt sich auch durch die Forde-rungen innerhalb der VDA6, QS9000 sowie TS16949 aus, welche den Fokus verst rkt auf statistische Methoden richten. Im Rahmen der Toleranzanalyse gilt es, vor allem innerhalb eines fach bergreifenden Si-multaneous Engineering-Teams, kurz SE-Team, Funktionszusammenh nge so zu interpretie-ren, dass sie dem sp teren Anbau- und Mon-tagekonzept realit tsnah entsprechen. Unter Anwendung dieser Zusammenh nge, welche neben den Bauteiltoleranzen auch die Vorrichtungs- und Montagetoleranzen ber ck-sichtigen sollten, wird dann die Ma ketten-struktur generiert. Diese erm glicht dann unter Zuordnung der jeweiligen Fertigungstoleranzen eine Aus-sage hinsichtlich des zu erf llenden Funktions-Autor Frank Mannewitz Gesch ftsf hrer der casim Ingenieurleistungen GmbH & Co. KG Heinrich-Hertz-Stra e 3b 34123 Kassel Tel.: 05 61/8 79 97 0 Fax: 05 61/8 79 97 2 50 E-Mail: M0 = f(M1,M2,..,Mk) (1) Wenn sich die Ma kette in der Ebene oder im Raum als geschlossener Vektorzug darstellt, spricht man von einer mehrdimensionalen, bzw.

5 Nichtlinearen Ma kette. MMiiik01= = (2) So werden in Gl.(2) die nichtlinearen Ein-fl sse der jeweiligen tolerierten Einzelma e Mi auf das Schlie ma M0 durch die Linearit ts-koeffizienten ai ber cksichtigt, beim tri-gonometrischen oder Hebelwirkungseinfluss von Einzelma en. Sind die Linearit tskoeffizienten einer Ma kette ausschlie lich 1, dann spricht man von einer eindimensionalen bzw. linearen Ma -kette. Eine klassische lineare zweigliedrige Ma -kette ist die Welle/Nabe-Verbindung zur Er-mittlung des radialen Funktionsma es Spiel-, Press- oder bergangspassung. Sowohl bei den linearen wie auch nicht-linearen Ma ketten ist ein Ma positiv, wenn sich bei einer Vergr erung des Ma es Mi das Funktionsma M0 ebenfalls vergr ert. Und anderenfalls negativ, wenn sich bei einer Ver-gr erung des Ma es Mi das Funktionsma M0 verkleinert [6]. 3 Toleranzanalyse an einem Axial-Ventilator Ein Beispiel der Kombination einer ein- und mehrdimensionalen Ma kette ist in Bild 1 gegeben.

6 Hierbei handelt es sich um einen Axial-Ventilator an dem das Funktionsma M0 umlaufender Luftspalt zwischen Wandring und Schleuderrad sichergestellt sein muss. Der Spalt darf zum einen nicht zu klein sein, da sonst wom glich ein Schleifger usch auftritt und zum anderen nicht zu gro , da sonst der Wirkungsgrad des Ventilators abf llt. Daher ist zur Sicherstellung der Funktion M0 mit 2 1 mm festgelegt. Die einflussnehmenden Einzelma e auf den Luftspalt M0 sind hier die H he des Wand-rings M2, die H he der Motoranbindung im Wandring M3, die H he der Motoreinheit M5, der Abstand Anlagefl che des Rotors zum u- eren Kranz am Schleuderrad M7 sowie die zu-geh rigen Lagetoleranzen M1, M4, M6 und M8. Basierend auf dem hier zugrunde gelegten Tolerierungsgrundsatz des Unabh ngigkeits-prinzips nach DIN ISO 8015 [8] sind die Form-abweichungen M1, M4, M6 und M8 als eigenst n-dige Ma kettenglieder zu ber cksichtigen. So ist beispielsweise f r die Lauftoleranz M1 das Nennma N1 = 0, f r dass obere Abma es1 = 0,2 und f r das untere Abma ei1 = 0 mm anzu-geben.

7 Somit ergibt sich die Ma kettengleichung unter Anwendung der Gl.(2) und der Zuordnung positiver und negativer Ma e zu: M0 = -a1M1 a2M2 + a3M3 + a4M4 + a5M5 + a6M6 a7M7 a8M8 (3) Hierin sind die Linearit tskoeffizienten f r a1 = a2 = a7 = a8 = 1 und a3 = a5 = 1. Dies be-deutet, dass sich bei nderung der Ma e M1, M2, M3, M5, M7 und M8 das Schlie ma M0 je nach Richtung um denselben Betrag ndert. Anders verhalten sich hier die Lagetoleran-zen M4 und M6; diese wirken sich ungleich 1 auf M0 aus. Damit steht der Konstrukteur vor der Aufgabe, die hierf r notwendigen Lineari-t tskoeffizienten a4 und a6 zu ermitteln. F r die Ermittlung von Linearit tskoeffi-zienten steht ein allgemein g ltiger L sungs-weg zur Verf gung, n mlich die Linearisierung von Funktionen mittels dem totalen Differen-tial [10]. Hierbei wird die Funktion y = f(x1, x2,.., xk) in der unmittelbaren Umgebung des Fl chenschwerpunktes P(x0, y0, z0) durch eine lineare Funktion ersetzt, n mlich das totale Differential der Funktion Gl.

8 (4). yfxxixiik0i= = 1 (4) Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung wer-den f r den Fl chenschwerpunkt P, auch Ar-beitspunkt genannt, gebildet. Und die Dxi sind die kleinen Abweichungen gegen ber dem Arbeitspunkt. Dementsprechend gilt f r die Li-nearisierung der Zielgr e M0 = f(M1, M2,.., Mk) nach Gl.(4): dMMxdxiN ,..,Niik1k001= = . (5) Hiernach resultiert die nderung von M0 aus dem Produkt des jeweiligen Linearit ts-koeffizienten und der Einzeltoleranz. Somit k nnen die Linearit tskoeffizienten wie folgt nach Gl.(6) berechnet werden: iiN ,..,NMM1k= 0. (6) In den Ableitungen werden die jeweiligen Nennma e ber cksichtigt. Unter Anwendung der Gl. (6) ergeben sich folgende Ableitungen und damit Linearit ts-koeffizienten: 44N ,..,NMMld1k= ===011110601 833, (7) und 66N ,..,N22 MMld1k= ===096323. (8) Hierbei wird unterstellt, dass die Durch-messer d1 und d2 sowie die L ngen l1 und l2 in ihren Nennma en konstant bleiben, siehe Bild 2.

9 Die Linearisierung als allgemeiner L -sungsansatz setzt jedoch immer die Kenntnis der Zielfunktion f r M0 voraus. Ohne sie ist keine Ermittlung der Koeffizienten m glich. Wenn wie im Beispiel des Ventilators die Aufgabenstellung noch relativ anschaulich ist, k nnen die Linearit tskoeffizienten auch ohne Linearisierung direkt ermittelt werden. So er-geben sich unter Anwendung des Strahlensat-zes, siehe Bild 2, die Koeffizienten ebenfalls zu xltdX11a41= = =10 2 11060, (9) mm= ==41100 3660 3660 21 833,,,, und xltdXmm22a62= = = 20 3 96320 9,, (10) ==60 90 33,,. Bild 1 Prinzipdarstellung eines Axial-Ventilators Bild 2 Geometrische Ermittlung der Linearit ts- koeffizienten a4 und a6 Das Nennschlie ma N0 berechnet sich f r den Axial-Ventilator gem Bild 1 und 2 wie folgt NNNNldNN0123114= ++ ++5 (11) NldNNN22+ 5678 Das Nennschlie ma ergibt sich hier zu N0 = 2,0 mm. Jetzt, wo der Funktionszusammenhang ber die Linearit tskoeffizienten gekl rt ist, kann die eigentliche Toleranzanalyse durch-gef hrt werden.

10 PGGOiOinjUjmposinegj= == 11 (12) PGGUiUinjOjmposinegj= == 11 (13) Unter Anwendung der Gln.(12) und (13) kann das arithmetische H chstschlie ma PO = 4,117 mm und Mindestschlie ma PU = 0,75 mm berechnet werden. Die Differenz entspricht einer arithmetischen Schlie ma -toleranz Ta = 3,367 mm. Diese kann auch mit-tels der Gl.(14) direkt berechnet werden. Ttaiaiki= = 1 (14) Dieses Ergebnis erfasst jedoch nur die ein-seitige Betrachtung des resultierenden Luftspal-tes. In dem hier besonderen Beispiel Axial-Ven-tilator wirken sich die Lagetoleranzen M4 und M6 umlaufend auf den Luftspalt aus. Dementspre-chend w rden sich bei der Luftspaltermittlung auf der gegen berliegenden Wandringseite die Lagetoleranzen M4 und M6 mit negativen Vorzei-chen auswirken. Wenn wie im Beispiel gefordert der Luftspalt umlaufend sichergestellt werden muss, gilt es hier eine beidseitige Betrachtung des Luftspaltes durchzuf hren. Dies w rde erreicht, wenn die beiden Ma -kettenglieder M4 und M6 zweimal, jedoch mit unterschiedlichen Vorzeichen in der Ma ket-tengleichung ber cksichtigt werden.