F.rmulas, Tablas y Figuras

1 Universidad de Navarra Nafarroako Unibertsitatea Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Mailako Eskola CAMPUS TECNOL GICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA Paseo de Manuel Lardiz bal 13. 20018 Donostia-San Sebasti n. SPAIN Tel.: (34) 943 219 877 Fax: (34) 943 311 442 F RMULAS, Tablas Y Figuras DE transferencia de CALOR Juan Carlos Ramos Gonz lez Doctor Ingeniero Industrial Febrero de 2007 F rmulas, Tablas y Figuras transferencia de Calor 2 transferencia de Calor F rmulas, Tablas y Figuras 1 TEMA 1. INTRODUCCI N A LA transferencia de CALOR Y A LA CONDUCCI N Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W]. Flujo calor fico o de calor: q [W/m2]. Ley de Fourier: dxdTkqx = . Aqqxx =. En condiciones de r gimen estacionario y con una distribuci n lineal de temperaturas: LTkLTTkLTTkdxdTkqx = = = = 2112. Conductividad t rmica: k [W/m K]. Ley de enfriamiento de Newton: )( = TThqsx.

2 Coeficiente de transferencia de calor por convecci n: h [W/m2 K]. Potencia emisiva superficial: E [W/m2]. Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: 4sbTE =. Constante de Stefan-Boltzmann: = 5,67 10-8 W/m2 K4. El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro siempre ser menor y viene dado por: 4sTE =, donde es la emisividad, que puede variar entre 0 y 1. Se llama irradiaci n, G, a la velocidad con la que la radiaci n incide sobre un rea unitaria. La proporci n de la irradiaci n total que es absorbida por la superficie viene dada por la absortividad, (0 1), seg n la siguiente expresi n: GGabs =. Irradiaci n de los alrededores: 4alrTG =. Intercambio de radiaci n para una superficie gris y difusa ( = ): ()44)(alrssbradTTGTEAqq = == . Tambi n se puede expresar como: )(alrsradradTThq = , siendo hrad el coeficiente de transferencia de calor por radiaci n: ()22)(alrsalrsradTTTTh++=.

3 Principio de conservaci n de la energ a en un volumen de control formulado en un instante de tiempo (t): almalmsalgenentEdtdEEEE&&&&== +. Principio de conservaci n de la energ a en un volumen de control formulado en un intervalo de tiempo ( t): almsalgenentEEEE = +. F rmulas, Tablas y Figuras transferencia de Calor 2 Principio de conservaci n de la energ a en una superficie de control: 0= salentEE&&. Ley de Fourier vectorial: zyxqkqjqizTkyTjxTikTkq + + = + + = = rrrrrrr. Capacidad t rmica volum trica: cp [J/m3 K]. Mide la capacidad de un material para almacenar energ a t rmica. Difusividad t rmica: pck = [m2/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energ a t rmica en relaci n con su capacidad para almacenarla. Ecuaci n de difusi n de calor en coordenadas cartesianas: =+ + + 3mW tTcqzTkzyTkyxTkxp &.

4 Ecuaci n de difusi n de calor vectorial: tTcqTkp =+ &) (. En el caso de transmisi n unidimensional en r gimen estacionario y sin generaci n de energ a: 0= dxdTkdxd. Teniendo en cuenta la ley de Fourier (dxdTkqx = ), esta ecuaci n implica que el flujo de calor en la direcci n de transmisi n es una constante ( = xxqdxqd). Ecuaci n de difusi n de calor en coordenadas cil ndricas (r radial, angular o longitud, z axial, elemento diferencial de volumen: dr rd dz): tTcqzTkzTkrrTkrrrp =+ + + &211. Ecuaci n de difusi n de calor en coordenadas esf ricas (r radial, polar, cenital o colatitud, azimutal o longitud, elemento diferencial de volumen: dr rsen d d ): tTcqTksensenrTksenrrTkrrrp =+ + + &222222111. Condici n de contorno de primera clase o de Dirichlet: superficie mantenida a temperatura constante, T(x = 0, t) = Ts.

5 transferencia de Calor F rmulas, Tablas y Figuras 3 Condici n de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la superficie, 0)0(= == xsxTkxq. Un caso especial es la superficie perfectamente aislada o adiab tica, 00= =xxT. Condici n de contorno de tercera clase o de Fourier: corresponde a la transferencia de calor por convecci n en la superficie, convsuperficiecondqq = ,. Si el fluido est en contacto con la superficie de la pared donde est el origen de coordenadas: []),0(0txTThxTkx= = =. Si el fluido est en contacto con la superficie de la pared opuesta al origen de coordenadas: [] = == TtLxThxTkLx),(. TEMA 2. CONDUCCI N UNIDIMENSIONAL EN R GIMEN ESTACIONARIO Resistencia t rmica de conducci n para pared plana: kALqTTRxsscondt= =21,. Resistencia t rmica de convecci n: hAqTTRsconvt1,= = . Resistencia t rmica de radiaci n.

6 AhqTTRrradalrsradt1,= =. Coeficiente global de transferencia de calor, U: TUAqx =. UAqTRRttot1 = ==. Ley de Fourier expresada en forma integral para un sistema general en condiciones de r gimen estacionario sin generaci n de calor y con conducci n unidimensional (en este caso, la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): =xxTTxdTTkxAdxq00)()(. Resistencia t rmica de conducci n para una pared cil ndrica: LkrrqTTRrsscondt 2)/ln()(1221,= =. Resistencia t rmica de convecci n para una pared cil ndrica: rLhAhRconvt 211,==. Resistencia t rmica de conducci n para una pared esf rica: = =2121,1141)(rrkqTTRrsscondt . F rmulas, Tablas y Figuras transferencia de Calor 4 Resistencia t rmica de convecci n para una pared esf rica: hrAhRconvt2,411 ==. El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cil ndrica o esf rica depende del rea en funci n de la cual se exprese: () =====tiiRAUAUAUAU.

7 Generaci n de energ a t rmica por unidad de volumen: ==3mWVolEeqgengen&&&. Ecuaci n de calor para una aleta: 0)(1122= + TTdxdAkhAdxdTdxdAAdxTdsccc. Distribuci n de temperaturas y transferencia de calor para aletas de rea de secci n transversal uniforme: Caso A, con transferencia de calor por convecci n desde el extremo de la aleta ([]LxccdxdTkATLThA= = )(): mLmkhmLxLmmkhxLmxbsenh )/(cosh)(senh )/()(cosh)(+ + = mLmkhmLmLmkhmLMqfsenh )/(coshcosh)/(senh ++= siendo =TxTx)()( , =TTbb , ckAhPm=2, bchPkAM =, P el per metro y Ac el rea transversal. Caso B, extremo adiab tico (0==Lxdxd ): mLxLmxbcosh)(cosh)( = mLMqftanh= Caso C, extremo con temperatura establecida ( (x = L) = L): mLxLmmxxbLbsenh )(senh senh )/()( += ()mLmLMqbLfsenh /cosh = Caso D, aleta muy larga (L y L 0, aplicable si m L > 2,65): mxbex = )( bcfhPkAMq == La efectividad de una aleta se define como la raz n entre la transferencia de calor de la aleta y la transferencia de calor que existir a sin la aleta: bbcffhAq ,=, siendo Ac,b el rea de la secci n transversal de la base de la aleta.

8 El uso de aletas s lo se justifica cuando f 2. transferencia de Calor F rmulas, Tablas y Figuras 5 Resistencia t rmica de una aleta: fbftqR =,. Teniendo en cuenta la resistencia t rmica de convecci n de la base de la aleta, Rt,b = 1/hAc,b, se puede expresar la efectividad como: ftbtfRR,,= . La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la raz n entre el calor real transferido por la aleta y el calor que transferir a si estuviera toda ella a la temperatura de la base: bffm xffhAqqq ==, siendo Af la superficie total de la aleta. Teniendo en cuenta la ecuaci n que define la resistencia t rmica de una aleta, se puede expresar sta en funci n de su eficiencia: fffthAR 1,=. Para el caso de una aleta recta de secci n transversal uniforme y con su extremo adiab tico se tiene: mLmLhPLmLMbftanhtanh== . Se puede emplear la expresi n de la aleta con extremo adiab tico para una aleta con extremo activo, empleando una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L+(t/2) para aleta rectangular y Lc = L+(D/4) para aleta de aguja.

9 Esta aproximaci n es v lida cuando (ht/k) o (hD/2k) < 0,0625. Aletas de secci n transversal no uniforme. En las expresiones de la distribuci n de temperaturas, la transferencia de calor y el rendimiento o eficiencia de este tipo de aletas aparecen las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y orden 1 (I0, I1, K0 y K1) cuyos valores est n tabulados en la Tabla H. En la Tabla se muestran las expresiones del rendimiento para distintos tipos de aletas de secci n transversal no uniforme. Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: bttm xtohAqqq ==, siendo qt la transferencia total de calor de la superficie total, At, que es la asociada a la superficie de las aletas, Af, m s la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, bftANAA+=, siendo N el n mero total de aletas. Este rendimiento tambi n se puede expresar en funci n del rendimiento de una sola aleta: bbbffbfthAhANqNqq +=+= btothAq = )1(1ftfoANA =.

10 F rmulas, Tablas y Figuras transferencia de Calor 6 Resistencia t rmica efectiva del dispositivo de aletas: ottbothAqR 1,==. TEMA 3. CONDUCCI N BIDIMENSIONAL EN R GIMEN ESTACIONARIO Factor de forma de conducci n para sistemas bidimensionales, S: )(21 TTSkq =. Se obtiene de la Tabla Resistencia de conducci n bidimensional: SkRcondt1)D2(,=. MDF: Para obtener la ecuaci n de diferencias finitas de un nodo aplicando el principio de conservaci n de la energ a a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en r gimen permanente la ecuaci n a emplear es: 0=+genentEE&&. El t rmino de energ a entrante puede incluir calores de conducci n o de convecci n que se eval an con la ley de Fourier (xTTykqnmnmnmnm = ,,1),(),1()1 () o la ley de enfriamiento de Newton (())(1 ,),()(nmnmTTxhq = . TEMA 4. CONDUCCI N EN R GIMEN TRANSITORIO N mero de Biot: convtcondtcRRkhLBi,,==.)