Factorización CAPÍTULO 4

1 CAP TULO 4 Factorizaci ny fracciones algebraicas4. FACTORIZACI NY fracciones ALGEBRAICASO bjetivoskEstructura del cap tuloAl terminar este cap tulo, el lector podr :3 Ejecutar productos usuales en el m todo adecuado para factorizaruna expresi el m todo para la b squeda de ra cesde un distintos tipos de polinomios degrado fracciones operaciones con Factorizaci nde Factorizaci n con factorcom n, productosnotables ycombinaci n de Factorizaci npor Factorizaci n de una ecuaci n cuadr Descomposici nfactorial Simplificaci n mediante factorizaci Multiplicaci ny divisi nde Suma y resta defracciones Productos notables y factorizaci n n a los ejercicios NESTE CAP TULOse refiere a distintas formas de descomponer un polinomiointegrado por una suma de factores.

2 Ste es el procesodefactorizaci n, til cuando se requiere simplificar. Adem s se ampliar n las operacionesde suma, resta, multiplicaci n y divisi n con fracciones aritm ticas ya estudiadasen cap tulos anteriores,a operaciones con fracciones tratar n tambi n formas de resolver ecuaciones que contengan expresiones convariables en el denominador. Estas ecuaciones se denominanecuacionesconfraccio-nes yson empleadas frecuentemente en el campo de la econom a y la administraci desarrollar la pr ctica necesaria a fin de resolver este tipo de ecuacionescon fracciones ,como tambi n ecuaciones polinomiales no lineales,el lector deberealizar un esfuerzo para manejar con agilidad la forma de factorizar,simplificarexpresiones algebraicas y resolver operaciones con fracciones algebraicas .

3 El re-sultado de todo este esfuerzo se reflejar al final de este cap tulo(tema ) y enel lgebra b FACTORIZACI N DE POLINOMIOSSe ha dicho que cuando se multiplican dos n meros reales ay b, stos se denomi-nan factores del producto(a)(b).Es decir, si se tiene el producto de (3)(8) = 24,entonces 3 y 8 son factores de un polinomio es el producto de otros polinomios , entonces a cada uno de lospolinomios anteriores se le denominafactoresdel polinomio :(x-8)(x+8)=x2-64se deduce que los polinomiosx-8 yx+ 8son factores del polinomiox2 - proceso de hallar los factores de un polinomio se conoce como factori-zaci n o descomposici n del factorizaci n es importante cuando se trabaja con fracciones y se resuelvenecuaciones.

4 Tambi n se puede decir que:La descomposici n de un polinomiop(x) consiste en expresarlo como pro-ducto de otros polinomios , de igual o menor grado que el de comenzar con factorizaci n de polinomios , es necesario especificar elsistema del que se han de elegir los coeficientes de los factores. Generalmente esv lida la regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros, entonces losfactores deber n ser polinomios con coeficientes , si se comienza con un polinomio que contiene coeficientes raciona-les, la regla es que los factores tambi n deben tener coeficientes +x- 6= (x+ 3)(x- 2)u4x2 -9/16=(2x-3/4)(2,r+3/4) Q= (3 + x)(-2 + x)= (-3/4 + 2x)(3/4+ 2x)En general, no es f cil descomponer polinomios con grados altos.

5 Hay diversast cnicas que se pueden utilizar, seg n sea la forma de la expresi n por factorizar:por factor com n, utilizando productos notables, por agrupamiento, por el m todode ensayo y error, completando cuadrados y mediante la obtenci n de ra ces pordivisiones sucesivas, entre otras t cnicas Factorizaci PRODUCTOS NOTABLESLos siguientes productos de polinomios son muy usuales en lgebra, normalmenteidentificablesy ayudanen el proceso de factorizaci n de polinomios . Por tal raz nse denominanproductos dos monomios cualesquiera denominadosA y Y,sum ndolos y rest ndo-los se obtienen los binomios: A + B y A : binomio al cuadrado(A+B)(,4+8)=(A+ 8)1El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero m sel doble producto del primero por el segundo m s el cuadrado del segundo.

6 (A+B)(A+B)=(A)(,4)+(A)(B)+(B)(A)+(B)(B)= A'+(214)(B)+B2 Segundo: binomio al cuadrado(A-B)(,4-B)=(,4-B)2El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primeromenos el doble producto del primero por el segundo m s el cuadrado del segundo.(, -B)(, -B)=(A)(A)-(A)(B)-(B)(A)+(B)(B)=A2-(2A)( B)+B2 Tanto en el primero como en el segundo caso, el producto de un binomio por s mismo da como resultado un binomio al : binomio conjugado(A+B)(A-B)=(A)(A)-(A)(B)+(B)(A) -(B)(B)=A2-B2El producto de la suma de dos monomios por la diferencia de los mismos esigual al cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del este producto tambi n se le conoce como producto de binomios conjugados ya su resultado como diferencia de dos lgebra b sicaLos binomios conjugados difieren del binomio al cuadrado s lo en el signode uno de los estas reglas se pueden escribir directamente los resultados de lassiguientes operaciones:(4x + 3)2= 16x2 + 24x+ 9= 9 + 24x+ 16x2(2x- 5)2= 4x2- 20x+ 25= 25- 20x+ 4x2(2x+ 1)(2x- 1) = 4x2 - 1= -1+ 4x2 Cuarto: binomio al cubo1.

7 (A+B)(,4+8)(,4+8)= (A+8)3_(,4 2+ 2AB+ g2)(,4+ B)=,43 + 2,42E+.4B2 +A28+ 2,4B2 + B3=,43 + 3429+3,4, 2 +B32. (4-B)(4-B)(A-B)=(,^-B)3=A3-3,42E+34B2-B3 Quinto: suma y diferencia de dos cubos1. (,4+8)(,42 -A,9+ 92) =A3 +B32. (,4-B)(,42+,4B+B2) =A3 -B3 Sexto: binomio con t rmino com n1. (Ax+B)(Cx+D)=~4Cx2+(4D+BC)x+BD2. (,4x + By)(Cx + Dy) = ACx2 + (AD + BC)xy + BDy23. (x+A)(x+B) =x2+ (A+B)x+,4 BLas letrasA,B, CDpueden ser n meros reales o expresiones Factorizaci nyfraccionesalgebraicas173 Ejemplos de (2a+ 5b)2 9 Soluci n:Mediante la aplicaci n del producto notable del caso primero, dondeAes2a, Bes 5b, se tiene:(2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2(2a)(5b) + (5b)2= 4a2 + 20ab + 25b22.

8 (t2+7)(12-2) 9 Soluci n:Mediante la aplicaci n 3 del caso sexto de productos notables, donde x es t2.(t2 + 7)(t2 -2) = (12)2 +(7-2)12 +7(-2)=t4+5t2-14=-14+512+t43. (3u3+4v2)(3u3-4v2) p,Soluci n:Mediante la aplicaci n del producto notable del caso tercero, dondeAes 3 u3 yBes 4v2.(3u3+ 4v2)(3-4 V2) = (3u3)2 - (4v2)2= 9u6- 16v44. (5x2-2y)(3x2+ 6y)Soluci n:Mediante la aplicaci n del producto notable 2 del binomio con t rmino com n,dondexesx2, yesy, Aes5, Bes -2, Ces 3 y Des 6.(5x2- 2y)(3x2+ 6y)= (5)(3)(x2)2+ [(5)(6)+ (- 2)3]x2y+(- 2)6y2= 15x4 +24x2y -12y2174 lgebra b sicaEjercicios de las reglas mencionadas para encontrar los siguientes (x- 7)(x+(2x+ 4y)(4 )6x- 7y)5.

9 (2x- 3y)26. + y) +2y2x-3yJ7. (2-Tx+4y2)(21x-4y2)4. (a2 +4)( a2-3)8.(a + b + c)(a + b - c) FACTORIZACI N CON FACTOR COM N,PRODUCTOS NOTABLES Y COMBINACI NDE I. Factorizaci n con factor com nEsta forma de descomposici n de un polinomio es una de las m s tiles, ya quepermite factorizar casi todas las expresiones. Como su nombre lo indica, se factorizala expresi n dada, buscando un factor com n a todos los t rminos o, en su defecto,se obtiene el m ximo com n pasos por seguir son los siguientes:De acuerdo con la expresi nabx+ cdr+ efx Buscar un factor que aparezca en todos los t rminos. En este caso el factorcom n es x. Al encontrar el factor com n se debe multiplicar por los factores no comunes:x(ab+cd+ef)Ejemplos de 71.

10 Observar la factorizaci n de los polinomios en los que se han obtenido losfactores comunes 5x2, 6x2 y 6x3, n:25x4 -30x3+ 5x2 =5x2(5x2- 6x+ 1)4. Factorizaci nyfraccionesalgebraicas17512x3- 6x2 = 6x2(2x- 1) Q30x6 - 18x3 = 6x3(5x3 - 3) Q2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios . En el inciso b), n es un ) -lOr3s2t4-20r3S211+5 rIS414-P b) x2n+ xn+2 qSoluci n:a)-1Or3S2t4- 20r 3S2 t3+5r2S4t4= -5r2S2t3(2rt+ 4r- S2 t)b)x2n+ xn+2 = xn( +x2) Factorizaci n con productos notablesCon la aplicaci n de los productos notables, pero en sentido contrario, se puedendescomponer algunos polinomios en producto de otros dos m s puede aplicar el cuadrado de una suma o de una diferencia, un binomio alcuadrado,como es el ejemplo del siguiente trinomiodadop(x):p(x) = x4 +10x2+25 Considerando que x4 es el cuadrado de x225 es el cuadrado de 510x2 es el doble del producto de x2 por 5entonces.