Feuille d’exercices «Dérivées Partielles»

1 27 janvier 2020 Feuille d exercices D riv es Partielles Exercice 1 : Fonctions exponentiellesOn consid re la fonctionf:R2 Rd finie par(x, y)7 x2+y2xpour(x, y)6= (0,0)etf(0,0) = 1. Poury0fix , calculer la limite dex7 f(x, y0)en0. Pourx0fix , calculer la limite dey7 f(x0, y)en0. Calculer les d riv es partielles defen tout point deR2\(0,0). Poury0fix ,limx 0+x2+y20x={0siy0= 0+ siy06= 0. Pourx0fix et diff rent de0limy 0+x20+y2x0=x0. Les d riv es partielles sont donn es en d rivants les fonctions partielles, comme vu en a donc f x(x, y) =d(x2+y2x)dx= 2x y2x2 f y(x, y) =d(x2+y2x)dy=2yxExercice 2 : Compos esSoitf:R3 Rune fonction de classeC1(c est dire dont toutes les d riv es partielles existent etsont continues).}

2 On consid re la fonctiong:R3 Rd finie parg(x, y, z) =f(x y, y z, z x)Montrer que g x+ g y+ g z= 0On va calculer les d riv es partielles deg partiel des diff rentielles totales en identifiant les poseu= (x y),v=y zetw=z x. On alorsdg=df= f udu+ f vdv+ f wdw= f u[ u xdx+ u ydy+ u zdz]+ f v[ v xdx+ v ydy+ v zdz]+ f w[ w xdx+ w ydy+ u wdz]= f u[dx dy] + f v[dy dz] + f w[dz dx]=[ f u f w]dx+[ f v f u]dy+[ f w f v]dz1 Par identification g x= f u f w g y= f v f w g z= f w f ud o on d duit le r 3 :D riv e d ordre 2 Calculer les d riv es partielles aux ordres 1 et 2 de la fonctionfd finie surR2\{(0,0)}parf(x, y) =x3y3x2+y2 Exercice 4.

3 D riv e d ordre 2 Soitfune fonction de classeC2(c est dire dont les d riv es secondes existent et sont continues)telle que pour tout(x, y) R2, on af(x, y) = f(y, x). Donner un exemple de telle fonction Montrer que la fonctionfv rifie 2f y x(a, a) = 0pour touta fonctions suivantesf(x, y) =x y,f(x, y) =x2 y2,f(x, y) = ln(|x/y|)pourx6= 0ety6= 0v rifient toute l galit .La difficult principale de l exercice consiste ne pas confondre lexde x(d riv e partielle parrapport la premi re coordonn e) et lexcomme variable muette qui d signe un nombre r el.

4 Pour viter de se tromper, on va consid rer quefest une fonction deuetv(avecu=xetv=y) et r serverles notations xet ypour les d riv es partielles par rapport aux premi re et deuxi me coordonn sait que pour tout(u, v) R2, on af(u, v) = f(v, u). En d rivant cette relation par rapport vet en se ramenant la d finition des d riv es partielles on obtient :f(u, v) = f(v, u) d[f(u, v)]dv= d[f(v, u)]dv f y(u, v) = f x(v, u)En d rivant la relation ainsi obtenu par rapport uon obtient f y(u, v) = f x(v, u) d[ f y(u, v)]du= d[ f x(v, u)]du 2f x y(u, v) = 2f y x(v, u)D apr s le th or me de Schwarz, 2f y x(v, u) = 2f x y(v, u).

5 On a donc 2f x y(u, v) = 2f x y(v, u)En particulier, pouru=v=a, on a 2f x y(a, a) = 2f x y(a, a)qui ne peut tre vrai que si 2f x y(a, a) = 0 Exercice 5 :ContrainteOn consid re une casserole de rayonRet de hauteurh. On noteVle volume de la casserole etSsasurface. ExprimerVetSen fonction deReth. Calculer les diff rentielles On suppose que le volume est fixe (V=V0). Trouver une relation entredhetdR. En d duire une expression simple dedSen fonction dedhoudR(un seul des deux, celui quivous semble le plus simple) En d duire les couples(h, R)qui diff rentes tapes de l exercice pr c dent permettent de minimiser la surface volume constantsans jamais donner la forme explicite deSen fonction deR.

6 C est une approche diff rente de cellevue au S1 pour le m me exercice, qui consistait substituerh Rdans l expression deR. Ici onsubstitue les diff