Fonction exponentielle : Exercices

1 Fonction exponentielle : Exercices Corrige s en vide o avec le cours sur Calculer avec la Fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes ou x est un re el quelconque : e1+x e3x + ex e 4. a) x+2 b) 2x c). e e + ex e x E quation avec la Fonction exponentielle Re soudre dans R les e quations suivantes : 2. a) e2 x = ex b) e2x+3 = 1 c) e5 x = e 4 1. d) e x = 0 e) 2e x = x f) 2e x =. e +1 ex + 1. Ine quation avec la Fonction exponentielle Re soudre dans R les ine quations suivantes : 1 1. a) e2x ex+1 < 0 b) 1 ex 2 0 c) ex 0 d) e>0. ex ex 2. 1. Re soudre dans R l'ine quation : 1 ex < 0. Ine quation avec des exponentielles Re soudre dans R les e quations et ine quations suivantes, en posant X = ex : a) 2e2x ex = 1 b) e2x + 2ex 3 0.

2 Signe avec la Fonction exponentielle De terminer le signe des expressions suivantes : 2 1. a) 1 ex b) e2x 1 c) e2x ex+1 d) e(x ) ex e) 1 . ex Ine galite s avec la Fonction exponentielle Soit f la Fonction de finie sur R par f (x) = 1 e x . 1) De montrer que pour tout re el x < 0, f (x) < 0. 2) De montrer que pour tout re el x 0, 0 f (x) < 1. De montrer que pour tout x ] ; 0[, e5x 3 < 0. L'objectif de cet exercice est de de terminer : lim ex et lim ex x + x . On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = ex x. 1) De terminer les variations de f . 2) En de duire que pour tout x re el, ex x 3) En de duire lim ex x +.

3 4) En de duire lim ex . On pourra poser X = x x . ex L'objectif de cet exercice est de de terminer : limet lim xex x + x x . 2. x On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = ex . 2. 1) De terminer f 0 (x) et f 00 (x). 2) De terminer le signe de f 00 (x) puis de f 0 (x) et en de duire les variations de f . 3) En de duire que pour tout x > 0, f (x) 0. ex 4) En de duire lim x + x 1. 5) En de duire lim xex . On pourra poser X = x. x . Limite avec la Fonction exponentielle ex x E tudier les limites suivantes : a) lim x ex + 1 b) lim x ex + 1 c) lim x + x x + e2x + 1. x 2x + 1. c) lim x e2x ex . E tudier les limites suivantes : a) lim (2x + 1) e b) lim x x + x e x.

4 E E tudier les limites suivantes : a) lim e b) lim c) lim xe1 x d) lim xe1 x x + x + x x + x . De terminer la limite suivante : lim xe4x x . Limite d'une compose e avec la Fonction exponentielle 1 1 1. E tudier les limites suivantes : a) lim e1 x b) lim e x c) lim e x d) lim e x x + x 0 x 0 x . x<0 x>0. x x E tudier les limites suivantes : a) lim xe 2 b) lim xe 2. x + x . 2 3. x+1 x E tudier les limites suivantes : a) lim ex b) lim ex x x . 1 1 1 1. E tudier les limites suivantes : a) lim xe 2x b) lim xe 2x c) lim xe 2x d) lim xe 2x x + x x 0 x 0. x>0 x<0. De rive e et variation avec la Fonction exponentielle On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = e1 3x.

5 1) De terminer f 0 (x) pour tout x de R puis en de duire le tableau de variations de f sur R. 2) De terminer le tableau de variations de f sur R sans utiliser la de rivation. On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = x2 e x . De terminer f 0 (x) pour tout x de R puis en de duire le tableau de variations de f sur R. Dans chaque cas, de terminer le tableau de variations de f sur le domaine I indique : 1 1. a) f (x) = e x et I = R\{0} b) f (x) = xe x et I = R\{0}. On conside re la Fonction f de finie sur [0; 2 ] par f (x) = ecos x . 1) De terminer pour tout x de [0; 2 ], f 0 (x). 2) En de duire le tableau de variations de f sur [0; 2 ].

6 Associer courbe et Fonction exponentielle On a trace les courbes de quatre fonctions f, g, h, i de finies sur R. On sait que f (x) = ex , g(x) = e x , h(x) = , i(x) = e 2x Associer a chaque Fonction la courbe qui lui correspond en justifiant. 2. On a trace les courbes de cinq fonctions f, g, h, i, j de finies sur R. Les droites d'e quation y = 1 et y = 1. sont asymptotes en + respectivement a C2 et C3 . On sait que : f (x) = e x 1, g(x) = 2ex + 2, h(x) = ex 1, ex + e x i(x) = 1. x 2. e 1. j(x) = x e +1. Associer a chaque Fonction la courbe qui lui correspond en justifiant. On a trace la courbe Cf d'une Fonction f de finie sur R.

7 La courbe de f passe par les points A( 2; 0), B(0; 2). On sait que f (x) = (ax + b)e x ou a et b sont des re els. 1) A l'aide du graphique, de terminer a et b en justifiant. 2) En de duire le tableau de variations de f . Une Fonction u de finie sur R a pour tableau de variations : x 3 4 + . + 1. u 1 0. 1) De terminer le tableau de variations de la Fonction eu . 2) De terminer les limites de eu en et + . On a trace la courbe Cf d'une Fonction f de finie sur R. Cf passe par les points A(0 ;1) et B(-1 ;0). T est la tangente a Cf en A et passe par le point C(1 ;3). On sait e galement que pour tout x re el : f (x) = (ax2 + bx + c)e x ou a, b, c sont des nombres.

8 1) De terminer, pour tout x re el, f 0 (x). 2) De terminer la valeur de a, b et c en justifiant. On conside re les fonctions f et g de finies sur R par f (x) = ex et g(x) = e x . Dans un repe re orthonorme , on a trace les courbes Cf et Cg de ces deux fonctions. 1) De montrer que si m est le coefficient directeur d'une droite D du plan alors le vecteur de coordonne es (1; m) est un vecteur directeur de cette droite. 2) De terminer, pour tout x re el, f 0 (x) et g 0 (x). 3) On note Ta et a les tangentes respectives a Cf et Cg au point d'abscisse a. a) De montrer que les tangentes a Cf et Cg au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires.

9 B) De montrer que les tangentes a Cf et Cg au point d'abscisse a sont perpendiculaires quelque soit a re el. 3. Suite avec la Fonction exponentielle On conside re la suite (un ) de finie sur N par un = e n . 1) De montrer que (un ) est une suite ge ome trique et pre ciser sa raison. 2) On pose pour tout entier naturel n, Sn = u0 + u1 + .. + un . a) Exprimer Sn en Fonction de n. b) De terminer la limite de Sn . 3) On pose pour tout entier naturel n, Pn = u0 u1 .. un n(n+1). 1 2. a) De montrer que pour tout entier naturel n, Pn =. e b) De terminer la limite de Pn . n On conside re la suite (un ) de finie pour tout entier naturel n par un = 4 e 2.

10 1) De montrer que la suite (un ) est strictement croissante. n 2) On pose pour tout entier naturel n, vn = e 2 et Sn = v0 + v1 + .. + vn . a) De montrer que la suite (vn ) est ge ome trique et pre ciser sa raison. b) Exprimer Sn en Fonction de n. c) En de duire la somme u0 + u1 + .. + un et la limite de cette somme. ex L'objectif de cet exercice est de de terminer le nombre de solution de l'e quation = x. ex+1. ex On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = x. ex + 1. 1) De terminer lim f (x) et lim f (x). x + x . 2) Justifier que f est de rivable sur R et de terminer f 0 (x). 3) De terminer le signe de f 0 (x) et en de duire les variations de f.