Fonction exponentielle : Exercices

1 Fonction exponentielle : Exercices Corrige s en vide o avec le cours sur Calculer avec la Fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes ou x est un re el quelconque : e1+x e3x + ex e 4. a) x+2 b) 2x c). e e + ex e x E quation avec la Fonction exponentielle Re soudre dans R les e quations suivantes : 2. a) e2 x = ex b) e2x+3 = 1 c) e5 x = e 4 1. d) e x = 0 e) 2e x = x f) 2e x =. e +1 ex + 1. Ine quation avec la Fonction exponentielle Re soudre dans R les ine quations suivantes : 1 1. a) e2x ex+1 < 0 b) 1 ex 2 0 c) ex 0 d) e>0. ex ex 2. 1. Re soudre dans R l'ine quation : 1 ex < 0. Ine quation avec des exponentielles Re soudre dans R les e quations et ine quations suivantes, en posant X = ex : a) 2e2x ex = 1 b) e2x + 2ex 3 0. Signe avec la Fonction exponentielle De terminer le signe des expressions suivantes : 2 1. a) 1 ex b) e2x 1 c) e2x ex+1 d) e(x ) ex e) 1 . ex Ine galite s avec la Fonction exponentielle Soit f la Fonction de finie sur R par f (x) = 1 e x.

2 1) De montrer que pour tout re el x < 0, f (x) < 0. 2) De montrer que pour tout re el x 0, 0 f (x) < 1. De montrer que pour tout x ] ; 0[, e5x 3 < 0. L'objectif de cet exercice est de de terminer : lim ex et lim ex x + x . On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = ex x. 1) De terminer les variations de f . 2) En de duire que pour tout x re el, ex x 3) En de duire lim ex x + . 4) En de duire lim ex . On pourra poser X = x x . ex L'objectif de cet exercice est de de terminer : limet lim xex x + x x . 2. x On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = ex . 2. 1) De terminer f 0 (x) et f 00 (x). 2) De terminer le signe de f 00 (x) puis de f 0 (x) et en de duire les variations de f . 3) En de duire que pour tout x > 0, f (x) 0. ex 4) En de duire lim x + x 1. 5) En de duire lim xex . On pourra poser X = x. x . Limite avec la Fonction exponentielle ex x E tudier les limites suivantes : a) lim x ex + 1 b) lim x ex + 1 c) lim x + x x + e2x + 1.

3 X 2x + 1. c) lim x e2x ex . E tudier les limites suivantes : a) lim (2x + 1) e b) lim x x + x e x . e E tudier les limites suivantes : a) lim e b) lim c) lim xe1 x d) lim xe1 x x + x + x x + x . De terminer la limite suivante : lim xe4x x . Limite d'une compose e avec la Fonction exponentielle 1 1 1. E tudier les limites suivantes : a) lim e1 x b) lim e x c) lim e x d) lim e x x + x 0 x 0 x . x<0 x>0. x x E tudier les limites suivantes : a) lim xe 2 b) lim xe 2. x + x . 2 3. x+1 x E tudier les limites suivantes : a) lim ex b) lim ex x x . 1 1 1 1. E tudier les limites suivantes : a) lim xe 2x b) lim xe 2x c) lim xe 2x d) lim xe 2x x + x x 0 x 0. x>0 x<0. De rive e et variation avec la Fonction exponentielle On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = e1 3x . 1) De terminer f 0 (x) pour tout x de R puis en de duire le tableau de variations de f sur R. 2) De terminer le tableau de variations de f sur R sans utiliser la de rivation. On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = x2 e x.

4 De terminer f 0 (x) pour tout x de R puis en de duire le tableau de variations de f sur R. Dans chaque cas, de terminer le tableau de variations de f sur le domaine I indique : 1 1. a) f (x) = e x et I = R\{0} b) f (x) = xe x et I = R\{0}. On conside re la Fonction f de finie sur [0; 2 ] par f (x) = ecos x . 1) De terminer pour tout x de [0; 2 ], f 0 (x). 2) En de duire le tableau de variations de f sur [0; 2 ]. Associer courbe et Fonction exponentielle On a trace les courbes de quatre fonctions f, g, h, i de finies sur R. On sait que f (x) = ex , g(x) = e x , h(x) = , i(x) = e 2x Associer a chaque Fonction la courbe qui lui correspond en justifiant. 2. On a trace les courbes de cinq fonctions f, g, h, i, j de finies sur R. Les droites d'e quation y = 1 et y = 1. sont asymptotes en + respectivement a C2 et C3 . On sait que : f (x) = e x 1, g(x) = 2ex + 2, h(x) = ex 1, ex + e x i(x) = 1. x 2. e 1. j(x) = x e +1. Associer a chaque Fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.

5 On a trace la courbe Cf d'une Fonction f de finie sur R. La courbe de f passe par les points A( 2; 0), B(0; 2). On sait que f (x) = (ax + b)e x ou a et b sont des re els. 1) A l'aide du graphique, de terminer a et b en justifiant. 2) En de duire le tableau de variations de f . Une Fonction u de finie sur R a pour tableau de variations : x 3 4 + . + 1. u 1 0. 1) De terminer le tableau de variations de la Fonction eu . 2) De terminer les limites de eu en et + . On a trace la courbe Cf d'une Fonction f de finie sur R. Cf passe par les points A(0 ;1) et B(-1 ;0). T est la tangente a Cf en A et passe par le point C(1 ;3). On sait e galement que pour tout x re el : f (x) = (ax2 + bx + c)e x ou a, b, c sont des nombres. 1) De terminer, pour tout x re el, f 0 (x). 2) De terminer la valeur de a, b et c en justifiant. On conside re les fonctions f et g de finies sur R par f (x) = ex et g(x) = e x . Dans un repe re orthonorme , on a trace les courbes Cf et Cg de ces deux fonctions.

6 1) De montrer que si m est le coefficient directeur d'une droite D du plan alors le vecteur de coordonne es (1; m) est un vecteur directeur de cette droite. 2) De terminer, pour tout x re el, f 0 (x) et g 0 (x). 3) On note Ta et a les tangentes respectives a Cf et Cg au point d'abscisse a. a) De montrer que les tangentes a Cf et Cg au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires. b) De montrer que les tangentes a Cf et Cg au point d'abscisse a sont perpendiculaires quelque soit a re el. 3. Suite avec la Fonction exponentielle On conside re la suite (un ) de finie sur N par un = e n . 1) De montrer que (un ) est une suite ge ome trique et pre ciser sa raison. 2) On pose pour tout entier naturel n, Sn = u0 + u1 + .. + un . a) Exprimer Sn en Fonction de n. b) De terminer la limite de Sn . 3) On pose pour tout entier naturel n, Pn = u0 u1 .. un n(n+1). 1 2. a) De montrer que pour tout entier naturel n, Pn =. e b) De terminer la limite de Pn . n On conside re la suite (un ) de finie pour tout entier naturel n par un = 4 e 2.

7 1) De montrer que la suite (un ) est strictement croissante. n 2) On pose pour tout entier naturel n, vn = e 2 et Sn = v0 + v1 + .. + vn . a) De montrer que la suite (vn ) est ge ome trique et pre ciser sa raison. b) Exprimer Sn en Fonction de n. c) En de duire la somme u0 + u1 + .. + un et la limite de cette somme. ex L'objectif de cet exercice est de de terminer le nombre de solution de l'e quation = x. ex+1. ex On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = x. ex + 1. 1) De terminer lim f (x) et lim f (x). x + x . 2) Justifier que f est de rivable sur R et de terminer f 0 (x). 3) De terminer le signe de f 0 (x) et en de duire les variations de f . 4) Conclure et donner un encadrement des e ventuelles solutions a 10 1 pre s. On a trace deux courbes C1 et C2 . L'une est la courbe d'une Fonction f de rivable sur R. L'autre est la courbe de f 0 . 1) Associer a chaque courbe la Fonction qui lui correspond en justifiant. 2) On sait que la Fonction f est de finie par f (x) = (x2 + ax + b)ex+c ou a, b, c sont des nombres.

8 4 + 2a + b = 0. a) Justifier que a et b sont solutions du syste me : 9 + 3a + b = 0. b) Re soudre ce syste me et indiquer les valeurs de a et b. c) De terminer f 0 (x). d) A l'aide du point C, de terminer la valeur de c et donner l'expression de f (x). e) Expliquer comment ve rifier ces re sultats a l'aide de la calculatrice. f) A l'aide du graphique, de terminer une e quation de la tangente a la courbe de f au point d'abscisse 1. 4. L'objectif de cet exercice est de trouver une valeur approche e de e. On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = ex x 1. 1) E tudier les variations de f et en de duire que pour tout x re el, 1 + x ex . 1. 2) En de duire que pour x < 1, ex . 1 x n 1. 3) De duire du 1) que pour tout entier n 1, 1 + e n n+1. 1. 4) De duire du 2) que pour tout entier n 1, e 1 +. n 5) En de duire un encadrement de e a 10 2 pre s. n 1. 6) Soit la suite (un ) de finie pour tout entier n 1 par un = 1 + . n 3. De montrer que pour tout entier n 1, e un e.

9 En de duire la limite de (un ). n On conside re la Fonction f de finie sur R par f (x) = xe x et Cf sa courbe repre sentative Partie I. 1) De terminer les variations de f . 2) De terminer lim f (x) et lim f (x). x + x . 3) De terminer une e quation de la tangente T a la courbe de f au point d'abscisse 0. 4) E tudier la position de T par rapport a Cf . Partie II. On conside re la suite (un ) de finie pour tout entier naturel n par un+1 = un e un et u0 = 1. 1) On a trace Cf . De terminer graphiquement u1 , u2 , u3 , en faisant apparaitre les traits de construction. 2) Conjecturer un majorant et un minorant de la suite (un ). 3) Conjecturer le sens de variation de la suite (un ). 4) Justifier que si x [0; 1] alors f (x) [0; 1]. 5) De montrer la conjecture du 2). 6) De montrer la conjecture du 3). 7) En de duire que (un ) converge. Justifier. 8) On note ` la limite de (un ). On admet que ` ve rifie l'e quation, ` = `e ` . De terminer la valeur de `. 5.

10 On a trace la courbe de la Fonction exponentielle dans un repe re orthonorme (O ;I ;J). On conside re un point M d'abscisse x sur cette courbe. On cherche la position du point M pour que la distance OM soit minimale. 1) De terminer graphiquement la valeur de x pour laquelle la distance OM est minimale. 2) De terminer la distance OM en Fonction de x. 3) On pose g(x) = x2 + e2x a) De terminer g 0 (x) et g 00 (x). b) De terminer le signe g 00 (x) et En de duire les variations de g 0 . c) De montrer que g 0 ne s'annule qu'une seule fois sur R. en un re el note . d) En de duire le signe de g 0 (x) puis les variations de g. e) De terminer un encadrement de a 10 1 pre s. f) Quel est le lien entre OM et g(x) ? g) Conclure. Est-ce cohe rent avec la conjecture du 1). h) Justifier que + e2 = 0. 4) Proprie te de la tangente : a) Placer le point M de la courbe d'abscisse . b) Tracer la tangente T en ce point, approximativement et sans justification. c) Tracer le segment [OM].