Formelsammlung Technische Mechanik - TM

1 Technische Mechanik Formelsammlung Institut f r Festk rpermechanik Fakult t Maschinenwesen Version: Oktober 2019 Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik: Massenerhaltung Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Energieerhaltung - ohne zus tzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht. Inhaltsverzeichnis Statik Ebene Statik .. 1 Lasten (Kr fte und Momente) .. 1 Tragwerkselemente .. 4 Lagerungen .. 5 6 Schnittgr en beim Balken .. 7 R umliche Probleme .. 8 Lasten (Kr fte und Momente) .. 8 Lagerungen und Gelenke (Beispiele) .. 10 Schnittgr en beim Balken .. 11 Reibung .. 12 Festigkeitslehre Grundlagen .. 13 Spannungen.

2 13 Verzerrungen .. 15 HOOKE sches Gesetz .. 16 Zul ssige 18 Vergleichsspannungen .. 19 Linientragwerke .. 21 Zug (Druck) .. 21 Biegung .. 21 Reine Torsion .. 24 25 Federn .. 26 Einflusszahlen .. 27 Satz von CASTIGLIANO .. 27 Stabilit t .. 28 Stabilit tsproblem Knicken .. 28 Formelsammlung Technische Mechanik i Fl chentragwerke .. 29 Rotationsschalen .. 29 Kreis- und Kreisringscheiben .. 30 Kreis- und Kreisringplatten .. 31 Kinematik Kinematik des Punktes .. 33 Kinematik des starren K rpers .. 35 Kinetik starrer K rper Translation .. 37 Beliebige Bewegung .. 38 Bewegung in der x,y-Ebene .. 40 Gerader zentrischer Sto .. 42 LAGRANGE sche Gleichungen 2. Art .. 43 Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1.

3 44 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad gr er 1 .. 48 Geometrie- und masseabh ngige Kennwerte Schwerpunkt ebener Linienstrukturen .. 49 Schwerpunkt ebener Fl chen .. 50 Schwerpunkt von K rpern .. 51 Fl chenmomente 2. Ordnung .. 52 Tr gheits- und Widerstandsmomente gegen ber Torsion .. 54 Massenmomente 2. Ordnung .. 55 Erg nzungen .. 59 ii Formelsammlung Technische Mechanik Formelsammlung Technische Mechanik 1 Lasten (Kr fte und Momente) (Einzel-)Kraft F Vektorielle Darstellung Betrag, Richtung Koordinaten Moment bez glich der z-Achse Resultierende Kraft aus n Kr ften (Einzel-)Moment z M Vektorielle Darstellung Statik 2211tanmit.

4 RyRRxRyRRxnnRxixRyiyiiFF F FFFFFFyzxFFyexezFxxyxyx xy yFF F F Fe e22tan xyyxFF FFFF cossinsincosxyF FFF FF zz zyx zMx F y F Meezz zM MeyzxMzEbene Statik Formelsammlung Technische Mechanik 2 Resultierendes Moment aus n Kr ften und m Einzelmomenten Gleichung der Wirkungslinie der quivalenten Kraft Streckenlasten (auch: Linienlasten) in L ngsrichtung des Balkens n: in Querrichtung des Balkens q: Reduktion der Streckenlasten quivalente Einzellasten: (demonstriert an Streckenlast q) 1111nmnmRzizkzi iyi ixkzikikMMMx F y FM RyRzRxRxFMyxFF Aq(z)zldzAFRzRq0lF =q lR0l/2l/2q0lAF =q l/R022 3 l/l/3A223 0 RRq lFzl02 RRF q llz lRFq z dz0 01lRRzq z z dzFqnIntensit tIntensit tFormelsammlung Technische Mechanik 3 Gleichgewichtsbedingungen Kr ftegleichgewicht Momentengleichgewicht 10nixiF 110 nmi iyi ixkzikx F y FM 10niyiF mit: m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten) n - Anzahl der Einzelkr fte (inklusive der reduzierten) 0R F0 RzM Formelsammlung Technische Mechanik 4 Tragwerkselemente Linientragwerke Eine Hauptabmessung dieser Tragwerke ist wesentlich gr er als die beiden anderen.

5 Seil, Kette (Fachwerk-)Stab Torsionsstab Knickstab (Biege-)Balken Fl chentragwerke Zwei Hauptabmessungen dieser Tragwerke sind wesentlich gr er als die dritte. Scheibe (Belastung in Mittelfl che) Platte (nur bei r umlichen Problemen) (Belastung Mittelfl che) Schale (nur bei r umlichen Problemen 3D-K rper (nur bei r umlichen Problemen) Alle Hauptabmessungen dieser Tragwerke liegen in der gleichen Gr enordnung. Zwischen Stab und Balken bzw. zwischen Scheibe und Platte unterscheidet nur die Belastung. Die Geometrie kann jeweils gleich sein. oder:oder: Formelsammlung Technische Mechanik 5 Lagerungen (Verbindungen von Linien- bzw. Fl chentragwerken mit Umgebung) Bezeichnung Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad Feste Einspannung 0 Tangential (zur Balkenl ngsachse) verschiebliche Einspannung (Schiebeh lse) 1 (Verschiebung von B tangential zur Balkenl ngs-achse) Normal (zur Balkenl ngsachse) verschiebliche Einspannung (Parallelf hrung) 1 (Verschiebung von B normal zur Balkenl ngs-achse) Festlager (gelenkiges Lager) 1 (Drehung um B) Loslager (Rollenlager) 2 (Verschiebung von B entlang der Gleitebene, Drehung um B) Pendelst tze (St tzstab, Seil) 2 (Verschiebung von B auf Kreis-bogen um C, Drehung um B) BCFBuFBhMBBBFBuFBhFBFSBBBFBuMBFBhMB Formelsammlung Technische Mechanik 6 Zug-/Druckfeder (Federkonstante c))

6 2 (horizontale Verschiebung von B, Drehung um B) Drehfeder (Federkonstante ct) 2 (horizontale und vertikale Verschiebung von B) Gelenke (Verbindungen von Linien- und/oder Fl chentragwerken miteinander) Bezeichnung Symbol Gelenkaktionenund -reaktionen Reduzierter Freiheitsgrad (Momenten-) Gelenk 1 (Drehung um G) Normalkraftgelenk (Schiebeh lse) 1 (relative Ver-schiebung beider Balken tangential zu deren L ngs-achsen) Querkraftgelenk (Parallelf hrung) 1 (relative Ver. Schiebung beider Balken normal zu deren L ngs-achsen) F = c uuM = ct tjjBctBcG beliebigFFGuGuFFGhGh F FMMGGGGGGF FMMGGGGF ormelsammlung Technische Mechanik 7 Schnittgr en beim Balken Definition Beziehungen zwischen Schnittgr en und Streckenlasten F r entgegengesetztes z gelten die unteren Vorzeichen.

7 MbFQMbFQFLFLmit: FL L ngskraft (auch: FN Normalkraft) FQ Querkraft Mb Biegemoment 22( )( )( )( )( )( ) bQbQdM zF zd M zdzq zdF zdzq zdz Auftragerichtung f rMbMbMb-+( )( ) LdF zn zdz qzdznF +dFQQFQF +dFLLFLM +dMbbMb Formelsammlung Technische Mechanik 8 Lasten (Kr fte und Momente) (Einzel-)Kraft F Vektorielle Darstellung Betrag Koordinaten Moment bez glich des Punktes O Resultierende Kraft aus n Kr ften xyzx xy yz zFFF F F F Fe e e222 xyzFF F FFcoscos coscoscos sincossin xyzF FFF FFF FFmit: x xy yz zxzyyxzzyxMMMM y F z FM z F x FM x F y FM r FeeeR umliche Probleme Fyyx rzzOezexeyxFyFxFz1 nRiiFF F eze xey FyFxyFxFzFormelsammlung Technische Mechanik 9(Einzel-)Moment M Vektorielle Darstellung xyzx xy yz zMMMM M M Meee Resultierendes Moment aus n Kr ften und m Einzelmomenten Weitere Streckenlast Torsionsstreckenlast Gleichgewichtsbedingungen Kr ftegleichgewicht Momentengleichgewicht 0 RF 0 RM 10nixiF 110 nmi zii yikxiky F z FM 10niyiF 110 inmi xi zikyikz F x FM 10niziF 110 nmi yii xikzikx F y FM mit.

8 M - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten) n - Anzahl der Einzelkr fte (inklusive der reduzierten) Reduzierte Lasten - Integrale von Linien-, Fl chen- und Volumenlasten (analog zu S. 2). 11nmRiikik Mr F Myy rzzOezexeyxx MyMxMzMmt10 Formelsammlung Technische Mechanik Lagerungen und Gelenke (Beispiele) Bezeichnun Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad (Feste) Einspannung 0 Festlager (gelenkiges Lager) 3 (Drehung um x-, y-, z-Achse durch B) Loslager (Rollenlager) 5 (Drehung um x-, y-, z-Achse durch B, Verschiebung in x- und z-Richtung) Pendelst tze (St tzstab, Seil) 5 (Verschiebung von B auf Kugel-fl che mit Radius BC um C, Drehung um B) H lse (ohne axiale Verschieblichkeit) 1 (Drehung um z-Achse) (Momenten-) Gelenk 3 (Drehung um x-, y-, z-Achse durch G)

9 FByFFBzBxMMMByBzBxBxyzBxyzFByFFBzBxBxyzF ByxyzBFByFFBzBxMMByBxGxzyFFGyGyFFFGzGxGx FSBCBF ormelsammlung Technische Mechanik 11 Schnittgr en beim Balken Definition oder: mit: FL - L ngskraft (auch: FN Normalkraft) FQx , FQy - Querkr fte Mbx , Mby - Biegemomente Mt - Torsionsmoment Achsen x, y, z bilden k rperfestes Rechtssystem z- Achse entlang der Schwerpunktachse, zeigt bei gr erem Koordinatenwert aus dem Querschnitt heraus y- Achse zeigt nach unten zdzyMbxMbxMtMtFQxFQxFLFLFQyFQyMbyMbySSxS chnittfl che zdzyMbxMbxMtMtFQxFQxFLFLFQyFQyMbyMbySSxS chnittfl che12 Formelsammlung Technische Mechanik Haftreibung 0 HNFF Gleitreibung GlNFF , entgegengesetzt zur Relativgeschwindigkeit Rollreibung RoNfFFR Seilreibung 021 SSF F e Haften 21 SSF F e Gleiten mit.

10 FH - Haftreibungskraft FGl - Gleitreibungskraft FRo - Rollreibungskraft FN - Normalkraft (Druckkraft) FS1, FS2 - Seilkr fte 0 - Haftreibungskoeffizient - Gleitreibungskoeffizient f - Hebelarm der Rollreibung R - Radius des Rollk rpers - Umschlingungswinkel Reibung } meist: fR Formelsammlung Technische Mechanik 13 Spannungen Spannungsvektor mit: Koordinaten: n - Einheitsvektor in Normalenrichtung s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung R umlicher Spannungszustand Spannungstensor xxxyxzklyxyyyzzxzyzz Normalspannung Tangentialspannung oder Schubspannung ,, , kllkklklk l x y z zxy zzyy xx zy yz xz xy zx yxFestigkeitslehre Grundlagen dAAFiMkdFNdFTnsdF NTdFdAdFdAddA Ftn s14 Formelsammlung Technische Mechanik Hauptspannungen ( 1, 2, 3)ii aus: mit: Hauptspannungsrichtungen in aus: mit.