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1 FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES homog neas con coeficientes constantes - Ra ces reales diferentes: y c1e m x c 2 e m x c n e m x 1 2 n ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN - Ra ces reales iguales: y c1e m x c 2 xe m x c n x n 1e m x 1 1 1. dy q( x ) - Ra ces complejas diferentes (de la forma mk ak bk i y mk 1 ak bk i ): Ecuaci n lineal: p( x )y q( x ) , y p ( x )dx dx c e p ( x )dx dx e y e a x c 1 cos b1 x c 2 sen b1 x e 1. an 2 x c n 1. cos bn 2 x c n sen bn 2 x . Factor integrante: e p ( x ) dx - Ra ces complejas iguales: Ecuaci n exacta: M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 y e a x c 1 cos b1 x c 2 sen b1 x x n 1e a x c n 1 cos b1 x c n sen b1 x . 1 1. M ( x, y ) N ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ). , M ( x, y ) y N ( x, y ). y x x y ECUACIONES no homog neas con coeficientes constantes 1 M N.
2 Dx N y x . 1 N M . dy M x y . Operador anulador (coeficientes indeterminados). Factor integrante: m( x ) e y m( y ) e - D n anula 1, x, x 2 , , x n 1. Soluciones por sustituci n - D anula e x , xe x , x 2 e x , , x n 1e x n Ecuaci n homog nea: Ecuaci n de Bernoulli: - D 2 2 D 2 2 anula x n 1e x cos x y x n 1e x sen x n M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 dy P ( x )y f ( x ) y n Funci n homog nea: f (tx, ty ) t k f ( x, y ) dx Soluciones propuestas (coeficientes indeterminados). Sustituci n: w y 1 n Forma de la funci n g x Forma de la soluci n particular y P. Sustituciones: x uy o y vx dw Constante: a s x A (1). (1 n )P ( x )w (1 n )f ( x ). dx Polinomio: pn x an x a1 x a0 x Pn x x An x A1 x A0 . n s s n (2). Exponencial: ae x x s Ae x APLICACIONES (ED de Primer Orden) Senos y cosenos: a cos x bsen x x s A cos x Bsen x.
3 X s Pn x e x dT. Ley de enfriamiento de Newton: k (T T m ) Producto de polinomio y exponencial: dt pn x e x dy dy . Trayectorias ortogonales: 1 Productos de senos y cosenos por x s PN x cos x QN x sen x , dx C1 dx C 2 polinomios: donde QN x BN x n B1 x B0. dq 1 pn x cos x q m x sen x Circuitos el ctricos: L Ri E t , R q E t , i . di dq y N max n, m . dt dt C dt donde: q m x bm x n b1 x b0. Ca da libre (resistencia del aire velocidad): m dv mg kv Productos de senos y cosenos por x s e x A cos x Bsen x . dt exponencial: ae x cos x be x sen x raz n de entrada raz n de salida . x s e x PN x cos x QN x sen x . dA Productos de polinomios, senos y Mezclas: R i R o . dt de la sal de la sal cosenos y exponencial: raz n de entrada concentraci n de sal en el pn x e x cos x q m x e x sen x donde N max n, m.
4 R i . de la salmuera efluente de entrada (1) El entero no negativo s se elige como el menor entero tal que ning n t rmino de la raz n de salida concentraci n de sal en el soluci n particular y P x sea soluci n de la ecuaci n homog nea correspondiente. R o . de la salmuera efluente de salida . (2) Pn x debe incluir todos los t rminos aunque pn x tenga algunos t rminos nulos. i Variaci n de par metros: c ' i ( x ) . ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR w ( y 1, y 2 , , y n ). e P ( x )dx Segunda soluci n (reducci n de orden): y 2 ( x ) y 1 ( x ) dx y 12 ( x ). 1 2. ECUACIONES homog neas con coeficientes variables f g 0 f g t d . t Convoluci n: - Ra ces reales diferentes: y c1 x m c 2 x m c n x m L f g L f g t d L f (t ) L g (t ) . 1 2 n Teorema de la t Ra ces reales iguales: y c1 x m c 2 x m ln x c n x m ln x.
5 N 1. - 1 1 1. Convoluci n: 0. - Ra ces complejas diferentes: y x c 1 cos ( 1 ln x ) c 2 sen ( 1 ln x ) . 1. Forma inversa: L F s G(s ) f g 1. x n 2. c n 1 cos ( n 2 ln x ) c n sen ( n 2 ln x ) Transformada de una L f t s F s s f 0 s f 0 .. f 0 . n n n 1 n 2 n 1. - Ra ces complejas iguales: y x 1. c cos ( ln x ) c sen ( ln x ) derivada: L f d F (s ). 1 1 2 1. Transformada de una ln x c cos ( ln x ) c sen ( ln x ) . n 1 t x 1 2. n 1 1 n 1. integral: 0. s F (s ) . APLICACIONES (ED de Orden Superior) Forma inversa: L 0 f d . t 1.. d x 2. dx s . Ecuaci n General del Movimiento: m kx f (t ). dt 2. dt g (t ), 0 t a f (t ) se puede escribir f (t ) g (t ) g (t ) U (t a ) h(t ) U (t a). Movimiento Arm nico Simple h(t ), t a 2 1 . , x (t ) Asen t , A c12 c 22 , k 0, 0 t a 2 , T ,f.
6 T 2 . m f (t ) g (t ), a t b se puede escribir f (t ) g (t ) U (t a ) U (t b ) . c1 c c 0, sen , cos 2 y tan 1 t b A A c2. Movimiento Vibratorio Amortiguado M TODO MATRICIAL (Sistemas de ECUACIONES DIFERENCIALES ). 2 .. m . , Caso 3: x (t ) Ae t Sen 2 2 t , cuasiperiodo 2 . 2 2. , X Ke t , A I K 0 , det A I 0. - Valores propios reales distintos: (2n 1) X c 1K 1e t c 2 K 2 e t c n K n e . 2 2 t n . 1 2 n t t * 2. cuasifrecuencia - Valores propios repetidos 2 , , 2 2. 2. 2. Para m 2 , X 2 Kte t Pe t , con ( A 1I )P K. 1 1. d 2q dq 1. Circuitos el ctricos: L 2 R q E (t ) t2 t dt dt C Para m 3 , X 3 K e Pte t Qe t , con ( A 1I )Q P. 1 1 1. 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE - Valores propios complejos: 1 i y 2 i , X 1 B1 cos t B2 sen t e t , X 2 B2 cos t B1sen t e t , . Definici n: L f (t ) e st f (t )dt 0 con B1 Re(K 1 ) y B2 Im(K 1 ).
7 Primer Teorema de la L e at f (t ) F (s a ) F (s ) s s a Soluci n general: X X c X P (t )C (t ) 1 (t )F (t )dt Traslaci n: Forma inversa: L F (s a) L F (s ). 1 1. e at f (t ) 1 ( t ) . 1 22.. 12 . , o en general 1 ( t ) . 1. adj ( t ) , con det ( t ) 21 11 . s s a det ( t ). 0, 0 t a Funci n escal n unitario: U (t a ) adj ( t ) cof ( t ) . T. 1, t a Segundo Teorema de la L f (t a)U (t a) e as F (s ) SERIES DE POTENCIAS. Traslaci n: L e F s f t a U t a .. Forma inversa: 1 as Soluci n en torno a puntos ordinarios: y c n ( x x 0 )n L g (t )U (t a) e L g (t a) . n 0. Forma alterna: as . Si x 0 0 , entonces y c n x n Derivadas de d n F s n d L f t . L t f t 1 . n transformadas: n n 1 n 0. ds n ds n 3 4.
