Formulario di geometria analitica - …

1 G. Di Maria Formulario di geometria analitica 1 Formulario di geometria analitica G. Di Maria1 Rette Forma generale (implicita) Forma ridotta (esplicita) 0cbyax qmxy Forma segmentaria Forma normale 1qypx 0nsinycosx p,q = lunghezze dei segmenti = angolo formato dalla normale staccati dalla retta sugli assi della retta con l asse x misurati a partire dall origine n = distanza della retta dall origine Angolo tra due rette r,r : 'bb'aab'aabtan 2112mm1mmtan Condizione di parallelismo: 0b'a'ab 21mm Condizione di perpendicolarit : 0'bb'aa 21m1m Equazione della retta parallela ad r condotta dal punto (x1,y1): 0yybxxa11 11xxmyy Equazione della retta perpendicolare ad r condotta dal punto (x1,y1): 0yyaxxb11 11xxm1yy Equazione della retta individuata dai punti (x1,y1) e (x2,y2): 121121xxxxyyyy Condizione di allineamento di tre punti: 12131213xxxxyyyy ovvero 01yx1yx1yxdet332211 Area di un triangolo individuato da tre punti.

2 13322113322112131213332211xyxyxyyxyxyx21 xxyyyyxx211yx1yx1yxdetabs21A Coordinate del baricentro di un triangolo: 3yyy,3xxxG321321 1 Docente di Matematica presso di Miano G. Di Maria Formulario di geometria analitica 2 Distanza di un punto da una retta: 2211bacbyaxd 211m1qymxd Distanza tra due rette parallele: 22ba'ccd Distanza tra due punti: 212212yyxxd Punto medio di un segmento: 2yy,2xxM2121 Punto che divide un segmento in parti proporzionali ai numeri m ed n: mnmyny,mnmxnxP2121 Asse di un segmento: 222122212121yyxxyyy2xxx2 Bisettrici di due rette: 22222222121111bacybxabacybxa G. Di Maria Formulario di geometria analitica 3 Coniche Equazione generale: 0fey2dx2cybxy2ax22 Invarianti di una conica rispetto ad un isometria piana. Invariante lineare: ca:I1 Invariante quadratico: 22bac:I Invariante cubico: fedecbdbadet:I3 Condizione affinch la conica rappresenti un ellisse: 0I0I32 Inoltre, l ellisse reale solo se I3 discorde da I1.

3 Condizione affinch la conica rappresenti una circonferenza: 0bca Condizione affinch la conica rappresenti un iperbole: 0I0I32 Condizione affinch la conica rappresenti un iperbole equilatera: 0I0I31 Condizione affinch la conica rappresenti una parabola: 0I0I32 Condizione affinch la conica si spezzi in due rette: 0I3 Inoltre: )0I se olari(perpendic incidenti distinte reali rette0I no) o (reali icoincident o parallele rette0I parallelenon coniugate eimmaginari rette0I1222 Equazione della tangente nel punto (x1,y1), (formula di sdoppiamento) : 0fyyexxdyycyxxybxax111111 Diametro della conica coniugato alla retta y=mx: 0ecybxmdbyax Diametro coniugato all asse x: 0dbyax Diametro coniugato all asse y: 0ecybx Coordinate del centro di una conica: Sono date dalla soluzione del sistema lineare: 0ecybx0dbyax G. Di Maria Formulario di geometria analitica 4 Definizioni geometriche per le coniche: Dicesi cono indefinito a due falde la superficie generata da una retta r (generatrice) in una rotazione completa intorno ad una retta t (asse) che la incontri non perpendicolarmente in un punto V (vertice).

4 L angolo acuto formato dall asse e dalla generatrice dicesi apertura del cono. Una conica data dalla sezione del cono con un piano non passante per il vertice. La sezione sar una circonferenza se il piano perpendicolare all asse. La sezione sar un ellisse, una parabola o un iperbole se l angolo formato dal piano con l asse rispettivamente maggiore, uguale o minore dell apertura . Dicesi asse principale di una conica la proiezione dell asse t sul piano secante. L asse principale asse di simmetria per la conica. Si dicono vertici principali i punti di incontro di una conica con l asse principale. L ellisse e l iperbole hanno due vertici principali, la parabola uno (l altro si pu considerare il punto all infinito del suo asse). Si dice fuoco di una conica il punto di contatto del piano secante con una sfera tangente ad esso ed inscritta od ex-inscritta al cono. L ellisse ha due fuochi interni all asse principale, la parabola ne ha uno solo interno, l iperbole ne ha due esterni all asse principale.

5 Nell ellisse e nell iperbole i fuochi sono equidistanti dai vertici. G. Di Maria Formulario di geometria analitica 5 Circonferenza Definizione: Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro. La distanza il raggio della circonferenza. Equazione della circonferenza di centro ,C e raggio r: 222ryx ovvero, in modo equivalente: 0rx2x2yx22222 Centro e raggio di una circonferenza di equazione data: 0pnymxyx22 pr2n,2m,C22 Qualora il radicando fosse negativo la circonferenza sarebbe immaginaria. Tangente alla circonferenza nel punto P(x1,y1) giacente su di essa: 0pyy2nxx2myyxx1111 Asse radicale tra due circonferenze: 0'ppy'nnx'mm Se due circonferenze si intersecano in due punti, l asse radicale rappresenta la retta passante per essi. Tuttavia la definizione sensata anche nel caso le circonferenze siano tangenti o esterne. Potenza di un punto (x1,y1) rispetto a una circonferenza: pnymxyx112121 Si ha che il punto P interno, giacente, esterno alla circonferenza se la potenza rispettivamente negativa, positiva o nulla.

6 Polare di un punto P: 0pyy2nxx2myyxx1111 Qualora P giaccia sulla circonferenza, la polare coincide con la tangente. Se P esterno alla circonferenza, la polare rappresenta la retta passante per i due punti di contatto tra la circonferenza e le tangenti ad essa condotte da P. Se P interno alla circonferenza, la polare una retta esterna. Per costruirla considerare due corde passanti per P, condurre le tangenti nei punti di contatto di ciascuna corda, e considerare i due punti di intersezione. La polare la retta passante per tali Di Maria Formulario di geometria analitica 6 Ellisse Definizione: Luogo dei punti del piano in cui costante la somma delle distanze da due punti detti fuochi. Tale somma pari alla lunghezza 2a del segmento che interseca l ellisse col suo asse principale, detto semiasse maggiore. Il punto medio dei due fuochi il centro dell ellisse e il segmento passante per il centro, perpendicolare all asse principale con estremi i punti di intersezione con l ellisse detto semiasse minore di lunghezza 2b.

7 Equazione dell ellisse in forma canonica: 1byax2222 dove a, b rappresentano le lunghezze dei semiassi. Supponiamo a>b. Semidistanza focale: 22bac Eccentricit dell ellisse: 1ace Tangente all ellisse in un suo punto: 1byyaxx2121 Parabola Definizione: Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. La retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco l asse principale della parabola, e il vertice della parabola giace sull asse in modo equidistante tra fuoco e direttrice. La distanza p tra fuoco e direttrice si chiama parametro della parabola. Equazione di una parabola con asse parallelo all asse y: cbxaxy2 Se a<0 la parabola concava (rivolta verso l alto), se a>0 la parabola convessa (rivolta verso l alto). Poniamo ac4b2 . Coordinate del vertice, del fuoco, ed equazione della direttrice: a4,a2bV a41y:da41,a2bF Tangente alla parabola in un suo punto: c2xxbxax2yy111 Equazione di una parabola riferita all asse e alla tangente nel vertice: px2y2 p= parametro Fuoco: 0,2/pF Direttrice: 2/px:d G.

8 Di Maria Formulario di geometria analitica 7 Iperbole Definizione: Luogo dei punti del piano in cui costante la differenza delle distanze da due punti detti fuochi. Equazione dell ellisse in forma canonica: 1byax2222 dove a,b rappresentano le lunghezze dei semiassi, trasverso e non trasverso. Semidistanza focale: 22bac Eccentricit dell iperbole: 1ace Asintoti dell iperbole: xaby Tangente all iperbole in un suo punto: 1byyaxx2121 Iperbole equilatera riferita ai propri assi: 222ayx Lunghezza semiassi: a Semidistanza focale: 2ac Eccentricit : 2e Asintoti: xy Tangenti in un punto: 211ayyxx Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti: kxy Lunghezza semiassi: k2a Semidistanza focale: k2c Eccentricit : 2e Asintoti: 0y,0x Tangenti in un punto: k2yxxy11