FORMULARIO DI MATEMATICA

1 1 FORMULARIO DI MATEMATICA Sommario ALGEBRA .. 2 DISEQUAZIONI .. 5 GEOMETRIA .. 6 GEOMETRIA ANALITICA .. 7 FUNZIONI esponenziali LOGARITMI .. 9 TRIGONOMETRIA .. 11 CALCOLO COMBINATORIO .. 12 PROBABILITA .. 12 PERCENTUALI .. 12 PROGRESSIONI .. 12 LOGICA .. 13 STATISTICA .. 13 2 ALGEBRA INSIEMI NUMERICI POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI POTENZA DEL BINOMIO n! = 1 2 .. n SCOMPOSIZIONI 3 EQUAZIONI DI 1 GRADO DISEQUAZIONI DI 1 GRADO SISTEMI LINEARI VALORE ASSOLUTO OPERAZIONI CON I RADICALI RAZIONALIZ ZAZIONI 00 aaseaseaaaabaaabab aabaaababnmnnmnnmnnmnm 0x = 0 indeterminata 0x = b impossibile 4 RADICALI DOPPI EQUAZIONI DI 2 GRADO COMPLETE ax2+bx+c=0 EQUAZIONI DI 2 GRADO INCOMPLETE Relazione tra coefficienti e radici e scomposizione ax2+bx+c=0 Equazioni binomie axn+ c=0 Equazioni trinomie ax2n+bxn + c=0 t = xn at2 + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie aacbbabx2422 aacbbabx 22242abxxbaxxbxax 21200)

2 (acx 2acx se c/a < 0 Spuria Pura soluznoacacxacn 00n pari n dispari nacx 5 DISEQUAZIONI DISEQUAZIONI DI 2 GRADO DISEQUAZIONI DI GRADO > 2 E FRATTE Studiare i segni dei fattori ..0)(0)( xBxA SISTEMI DI DISEQUAZIONI Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente: La soluzione del sistema l intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: S = S1 S2 .. Grafico: UNIONE DI DISEQUAZIONI ( A(X) < > 0 ) U (B(x) < > 0) Soluzione S = S1 U S2 Grafico: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA ( : A(x) 0) EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO 0)(0)()()()( xAxAxAxAxA Le soluzioni sono gli intervalli con i segni richiesti Sempre > 0 !)

3 Studiare 0 se P(x) 0 Per le fratte 0 solo al Numeratore 6 GEOMETRIA PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO (intersezione di ..) Altezze Bisettrici Mediane Assi Bisettrici angoli esterni POLIGONO DI n LATI SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n 2) 180 ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) = nn 180)2( CIRCONFERENZA Un quadrilatero : INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti . CONVERSIONI MISURE ANGOLI AREE DI FIGURE PIANE TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO SOLIDI L asse di un corda passa per il centro.

4 Raggio e retta tangente sono perpendicolari. L angolo alla circonferenza che insiste su una corda la met dell angolo al centro corrispondente Un triangolo inscritto in una semicirconferenza rettangolo. AH = (AB AC)/BC TEOREMA DI PITAGORA: AB2 + AC2 = BC2 I TEOREMA DI EUCLIDE: AB2 = BH BC AC2 = CH BC II TEOREMA DI EUCLIDE: AH2 = BH HC 2ld 32lh Teorema di Eulero Facce + Vertici Spigoli = 2 7 GEOMETRIA ANALITICA DISTANZA e PUNTO MEDIO TRA 2 PUNTI A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Equazione della RETTA Coefficiente Angolare Parallelismo e Perpendicolarit Retta passante per 2 punti A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Fasci DISTANZA PUNTO - RETTA CIRCONFERENZA CIRCONFERENZA E RETTA 12''''yyBA 12''xxBA 212212yyxxAB 2.

5 22121yyxxMIntercetta acq abm Coeff. angolare qmxy Forma esplicita Forma implicita 0 cbxax1212xxyym mm1' 'mm 121121xxxxyyyy );(00yxA22);(bacbyaxrAdoo 0 cbxax 2;2baCcbacr 222222 8 PARABOLA con asse // asse y PARABOLA con asse // asse x Ellisse con i fuochi sull asse x Ellisse con i fuochi sull asse y Iperbole con i fuochi sull asse x Iperbole con i fuochi sull asse y Altre equazioni dell iperbole abxa2: aabF41;2 aabV4;2ayd41: abaF2;41abya2: axd41: abaV2;4 9 FUNZIONI esponenziali LOGARITMI DEFINIZIONE DI FUNZIONE Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x A uno ed un solo elemento y B.

6 Per indicare che f una funzione di A in B si scrive : f : A B ; f : x A y B; oppure y = f (x) L elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione. L insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione. FUNZIONI INVERTIBILI Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B associato una sola volta ad un elemento di A.

7 Una funzione biettiva anche invertibile : cio se f : x A y B biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa : f -1 : y B x A. FUNZIONI COMPOSTE Siano date due funzioni f: x A y B e g: y C z D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B C (intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x) I si pu associare l elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f g(x) = g(y) = g(f(x)) : A D. Il dominio della funzione composta pu anche non coincidere con l insieme A ma esserne un sottoinsieme. CLASSIFICAZIONE CALCOLO DEL DOMINIO FUNZIONI MONOTONE Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2) Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2) FUNZIONI PARI, Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x) x A Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x) x A 10 DISPARI PERIODICHE Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha.

8 F(x) = f(x + kT) Funzione esponenziale Funzione logaritmica PROPRIETA DI esponenziali E LOGARITMI Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali Equazioni logaritmiche Disequazioni logaritmiche )()()()(xgxfaaxgxf 00log)()( NNNxfeimpossibilNaaxf101)()()()()()()()( )( aaxgxfxgxfaaxgxf0)( NeimpossibilNaxf0)( NRxNaxf101log)()(log)()()()( aaNNxfxfNaaaxf )()(0)(0)()(log)(logxgxfxgxfxgxfaa NaaxfxfNxf)(0)()(log 101)()()()()()(0)(0)()(log)()(logaaxgxfx gxfxgxfxgxfaa 101)()()()(0)(0)()()(logaaaxfaxfxgxfNxfN Na 11 TRIGONOMETRIA ANGOLI CIRCONFERENZA GONIOMETRICARELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI ANGOLI ELEMENTARI FORMULE GONIOMETRICHE EQUAZIONI GONIOMETRICHE Teorema dei Triangoli rettangoli e della corda a = c sen = c cos b = c sen = c cos AB = 2r sen a = b tg = b cotg b = a tg = c cotg Triangoli qualunque AREA DEL TRIANGOLO A = 21a b sen = 21a c sen = 21b c sen TEOREMA DEI SENI rsencsenbsena2 TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT a2 = b2 + c2 2bc cos b2 = a2 + c2 2ac cos c2 = a2 + c2 2ac

9 Cos :180: rg rg 180 180gr g = 360-esima parte angolo giro 12 CALCOLO COMBINATORIO n fattoriale n! = n (n-1) .. 1 DISPOSIZIONI SEMPLICI (CONTA L ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Dn,k = n (n-1) .. (n-k+1) PERMUTAZIONI SEMPLICI (CONTA L ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Pn = Dn,n = n! COMBINAZIONI SEMPLICI (NON CONTA L ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Cn,k = DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE (CONTA L ORDINE CON RIPETIZIONI): Drn,k = nk COMBINAZIONI con RIPETEZIONE (NON CONTA L ORDINE CON RIPETIZIONI): Cn,k = PROBABILITA Probabilit di un evento E p(E) = Probabilit dell evento contrario E p(E) = 1 p(E) Probabilit dell unione di eventi p(E1 E2) = p(E1) + p(E1) p(E1 E2) Probabilit dell unione di eventi incompatibili p(E1 E2) = p(E1) + p(E1) Probabilit composta di eventi indipendenti p(E1 E2) = p(E1 ) p(E2) Probabilit condizionale p(E/F) = Probabilit composta di eventi dipendenti p(E F) = p(E/F) p(F) Prova ripetuta n volte Sia p la probabilit che E si verifichi una volta.

10 La probabilit che E si verichi k volte su n PERCENTUALI VARIAZIONE PERCENTUALE CALCOLO DEL VALORE FINALE PROGRESSIONI Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e termine iniziale a0. an = a0 + (n-1) d Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica Sn = Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e termine iniziale a0. an = a0 rn 13 LOGICA STATISTICA CONNETTIVI LOGICI REGOLE DI DEDUZIONE Modus Ponens Modus Tollens Leggi di De Morgan Frequenza relativa f = F / T (Frequenza / Totale dati) Indici di posizione centrale Indici di dispersione