FranciscoJavierPérezGonzález

1 CURSO DEAN LISISCOMPLEJOF rancisco Javier P rez Gonz lezDepartamento de An lisis Matem ticoUniversidad de Granadajunio 2004 ndice general1. N meros complejos. Funciones complejas Introducci n .. El cuerpoCde los n meros complejos .. Forma bin mica de un n mero complejo .. Representaci n gr fica. Complejo conjugado y m dulo .. Forma polar de un n mero complejo .. Observaciones sobre la definici n del argumento F rmula de De Moivre .. Ra ces de un n mero complejo .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Topolog a del plano complejo .. Sucesiones de n meros complejos .. Series de n meros complejos .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Funciones complejas ..30I ndice Continuidad y l mite funcional .. Derivada de una funci n compleja .. Casos Particulares .. Ecuaciones de Cauchy-Riemann .. Primeras propiedades de las funciones holomorfas.

2 Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Sucesiones y series de funciones .. Sucesiones de funciones .. Series de funciones .. Series de potencias complejas .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Funciones complejas elementales .. Exponencial compleja .. Propiedades .. Logaritmos complejos .. Potencias complejas .. Funciones trigonom tricas complejas .. Seno y coseno complejos .. Tangente compleja .. Funciones trigonom tricas inversas .. Arcocoseno complejo .. Arcoseno complejo .. Arcotangente compleja .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. 722. Teor a de Cauchy Elemental75 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezCurso de variable compleja ndice Introducci n .. Integral de Riemann para funciones reales con valores complejos .. Propiedades .. Curvas en el plano .. Operaciones con las curvas.

3 Curva opuesta de .. Yuxtaposici n de curvas .. Caminos m s usuales .. Integral curvil nea .. Propiedades .. Existencia de primitivas .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Versi n elemental del teorema de Cauchy .. Analiticidad de las funciones holomorfas .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Desigualdades de Cauchy. Teoremas de Liouville, de Riemann y de Weiers-trass .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. 1093. Propiedades locales de las funciones Introducci n .. Ceros de funciones holomorfas. Principio de identidad .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Funciones arm nicas y subarm nicas .. Funciones subarm nicas. Principio del m ximo .. Principios del m dulo m ximo y del m dulo m nimo .. 119 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezCurso de variable compleja ndice Funciones arm nicas.

4 Relaci n entre funciones arm nicas y holomorfas .. El problema de Dirichlet para discos .. Teoremas de la aplicaci n abierta y de la funci n inversa .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. 1394. Forma general del teorema de Introducci n .. ndice de una curva cerrada respecto de un punto .. Cadenas .. Forma general del teorema de Cauchy y de la f rmula integralde Cauchy .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Series de Laurent. Funciones holomorfas en un anillo .. Singularidades aisladas de una funci n holomorfa .. C lculo del residuo de una funci n en un punto .. Polos de cocientes de funciones holomorfas .. Comportamiento en infinito de una funci n holomorfa .. Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Teorema de los residuos .. Aplicaciones del teorema de los residuos para calcular integrales reales .. Integrales del tipor R(cost,sent)dt.

5 Ejercicios resueltos .. Ejercicios propuestos .. Integrales del tipor+ P(x)Q(x)dx.. Ejercicios propuestos .. Integrales del tipor+ P(x)Q(x)ei xdx.. 193 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezCurso de variable compleja ndice Ejercicios propuestos .. Integrales del tipor+ P(x)Q(x)sen( x)dx.. Integrales del tipor+ P(x)Q(x)cos( x)dx.. Ejercicios propuestos .. Integrales con polos simples en el eje real .. Integrales del + w P(x)Q(x)ei xdx.. Integrales del + w P(x)Q(x)dx.. Ejercicios propuestos .. Integrales del tiporbaP(x)Q(x)dx.. Integrales del tipor+ aP(x)Q(x)dx.. Ejercicios propuestos .. Integrales del tipor+ 0x P(x)Q(x)dx.. Integrales del tipor+ 0x P(x)Q(x)(logx)mdx.. Ejercicios propuestos .. Integrales del tiporba(x a) (b x) P(x)Q(x)dx.. Ejercicios propuestos .. Ejercicios propuestos .. Aplicaci n del teorema de los residuos para sumar series.

6 Series del tipoP+ P(n)Q(n).. Series del tipoP+ ( 1)nP(n)Q(n).. Ejercicios propuestos .. Principio del argumento. Teorema de Rouch .. Ceros de un polinomio en una regi n angular .. Ejercicios propuestos .. 2415. Representaci n Introducci n .. 245 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezCurso de variable compleja ndice Aplicaciones conformes .. Automorfismos deC.. Funciones meromorfas e inyectivas enC.. Esfera de Riemann .. Transformaciones de M bius .. Propiedades de las transformaciones de M bius .. Conservaci n de las rectas circunferencias .. Transformaciones de discos y semiplanos .. Raz n doble .. Simetr a respecto de una recta o circunferencia .. Simetr a respecto de una recta .. Simetr a respecto de una circunferencia .. Construcci n geom trica del sim trico de un punto res-pecto de una circunferencia .. Transformaciones de M bius que llevan el semiplano su-perior al disco unidad.

7 Lema de Schwarz. Automorfismos conformes del disco unidad .. Ejercicios propuestos .. Espacios de funciones holomorfas .. Topolog a de la convergencia uniforme en compactos .. Teorema de Ascol -Arzel .. Teoremas de Montel y Vitali .. Ejercicios propuestos .. Teorema de Riemann de la representaci n conforme .. Caracterizaciones de los dominios simplemente conexos .. 283 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezCurso de variable complejaCap tulo1N meros complejos. Funciones complejas Introducci nLos n meros que hoy llamamos complejos fueron durante muchos a os motivo depol micas y controversias entre la comunidad cient fica. Poco a poco, por la crecienteevidencia de su utilidad, acabaron por ser com nmente aceptados, aunque no fueronbien comprendidos hasta pocas recientes. Nada hay de extra o en ello si pensamos quelos n meros negativos no fueron plenamente aceptados hastafinales del siglo n meros complejos hacen sus primeras t midas apariciones en los trabajos deCardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el c lculo de lasra ces dela c bica o ecuaci n de tercer grado.

8 Fue Ren Descartes (1596-1650) quien afirm que ciertas ecuaciones algebraicas s lo tienen soluci n en nuestra imaginaci n y acu elcalificativo imaginarias para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del sigloXVIII los n meros complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Confrecuencia, cuando la soluci n de un problema resulta ser unn mero complejo se inter-preta esto como que el problema no tiene soluci n. Para Leibnitz el n mero imaginarioes un recurso sutil y maravilloso del esp ritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser. Las razones de todo esto son claras. As como los n meros reales responden al proble-ma bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los n meroscomplejos. Mientras los matem ticos necesitaron interpretar en t rminos f sicos sus ob-jetos de estudio, no se avanz mucho en la comprensi n de los n meros xito de Euler y Gauss al trabajar con n meros complejos sedebi a que ellos nose preocuparon de la naturaleza de los mismos; no se preguntaron qu es un n me-ro complejo?

9 , sino que se dijeron a ver, para qu sirven, qu puede hacerse con ellos .Es Gauss quien definitivamente concede a los n meros complejos un lugar El cuerpoCde los n meros complejos2dentro de las matem ticas al probar en 1799 el resultado conocido comoTeorema Funda-mental del lgebraque afirma que toda ecuaci n polin mica de gradoncon coeficientescomplejos tiene, si cada ra z se cuenta tantas veces como su orden,nra ces quetambi nson n meros complejos. En este curso veremos varias demostraciones de este teoremapero ya puedes entender lo que significa. F jate en cada una delas ecuaciones:x+3=0,2x+3=0,x2 2=0,x2+2x+2=0 Cuyas solucionesx= 3,x= 3/2,x= 2,x= 1 itienen sentido cuandoxes, respectivamente, un n mero entero, racional, real o comple-jo. Podr a ocurrir que este proceso de ampliaci n del campo num rico continuara. Qu ocurrir si ahora consideramos ecuaciones polin micas concoeficientes complejos? Porejemplo:x5+(1 i)x4+(1/5 i 2)x2 8x+3 i/ 3=0 C mo ser n sus soluciones ?

10 Aparecer n tambi n nuevos tipos de n meros? El TeoremaFundamental del lgebra nos dice que esa ecuaci n tiene soluciones quetambi nsonn meros complejos y, por tanto, que no aparecer n ya por esteprocedimiento nuevostipos de n t rmino, hoy usado de n meros complejos se debe a Gauss, quien tambi n hizopopular la letra i que Euler (1707-1783) hab a usado espor dicamente. En 1806 Argandinterpreta los n meros complejos como vectores en el fecha de 1825 es conside-rada como el nacimiento de la teor a de funciones de variablecompleja, pues se publicaen dicho a o la Memoria sobre la Integraci n Compleja que Cauchy hab a escrito ya , finalmente, la afirmaci n de Hadamard El camino m s corto entre dosverdades del an lisis real pasa con frecuencia por el an lisis complejo . El cuerpoCde los n meros complejosConsideremos en el conjuntoR2las operaciones de adici n y producto definidas por(x,y)+(u,v) = (x+u,y+v)(x,y)(u,v) = (xu yv,xv+yu)Es muy f cil comprobar las propiedades asociativa y conmutativa de las operaciones as definidas y la distributiva del producto respecto de la elemento neutro de lasuma es(0,0)y(1,0)es la unidad del producto.