GEOMETRÍA ANALÍTICA

1 LGEBRA Y. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. GEOMETR A. ANAL TICA. Isabel Pustilnik 1. Federico G mez AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. NDICE. Puntos y vectores en .. 3. Puntos en .. 3. Vectores en 3 .. 5. Operaciones y nociones b sicas sobre vectores en .. 5. Propiedades de la suma de vectores y del producto por un escalar .. 8. M dulo o norma de un vector en .. 9. Propiedades del m dulo o norma de un vector .. 10. Vector determinado por dos puntos .. 11. Distancia entre dos puntos .. 12. Problema .. 12. En general .. 12. Problema .. 12. Expresi n can nica de un vector .. 14. ngulos directores y cosenos directores de un vector .. 15. Propiedad .. 16.

2 Demostraci n .. 16. Versor asociado a un 17. Producto escalar en .. 18. Propiedades del producto escalar .. 20. ngulo entre vectores .. 20. Condici n de perpendicularidad entre vectores .. 20. Proyecci n de un vector en la direcci n de otro .. 21. Producto vectorial .. 22. Definici n .. 22. Propiedades del producto vectorial .. 24. F rmula para calcular el producto vectorial .. 25. Interpretaci n geom trica del m dulo del producto vectorial .. 26. Producto mixto .. 28. Definici n .. 28. Interpretaci n geom trica del producto mixto .. 29. Coplanaridad .. 30. Plano y recta en 3 .. 32. Ecuaciones del plano .. 32. Deducci n de la ecuaci n general del plano .. 32. Ecuaci n segmentaria del plano.

3 39. Ecuaci n vectorial param trica del plano .. 41. De la ecuaci n general a la ecuaci n vectorial param trica .. 43. ngulo entre dos 44. Planos perpendiculares y planos paralelos .. 45. Distancia de un punto a un plano .. 46. Distancia entre planos paralelos .. 48. Haz de planos .. 49. Ecuaciones de la recta en .. 51. Ecuaci n vectorial de la recta .. 52. 1. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Ecuaciones param tricas de la recta .. 54. Ecuaciones sim tricas de la 54. Recta definida como intersecci n de dos planos .. 55. Intersecci n entre recta y plano .. 58. Paralelismo entre recta y plano .. 63. Perpendicularidad entre recta y plano .. 64. ngulo entre recta y plano.

4 65. Intersecci n de rectas en .. 67. Plano que contiene a dos rectas .. 70. Caso 1: Rectas concurrentes .. 70. Caso 2: Rectas paralelas .. 72. Caso 3: Rectas alabeadas .. 73. ngulo entre dos rectas .. 74. Proyecciones ortogonales .. 74. Proyecci n de un punto sobre un plano .. 74. Proyecci n de una recta sobre un plano .. 76. Planos proyectantes de una recta .. 78. Distancias .. 81. Distancia punto-recta en 3 .. 81. Distancia entre dos rectas 83. Distancia entre rectas alabeadas .. 84. Condici n de coplanaridad .. 85. 2. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Puntos y vectores en . Puntos en . Para ubicar un punto en 3 usaremos como sistema de referencia una terna de ejes perpendiculares entre s : eje x (eje de abscisas, en rojo).

5 Eje y (eje de ordenadas, en verde). eje z (eje de cotas, en azul). los cuales se cortan en el punto O (origen de coordenadas).. En el siguiente esquema se ven los tres planos que quedan determinados: el plano (en azul). el plano ( en verde). el plano (en rojo). 3. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Plano Plano .. Plano .. Estos planos se conocen como planos coordenados. El nombre del plano viene de que este plano contiene al eje y al eje . En forma an loga se derivan los nombres de los otros dos planos. Se puede demostrar que hay dos formas diferentes de armar un sistema de referencia con tres ejes perpendiculares. Una de esas formas se conoce con el nombre de terna derecha (que es la que usaremos en esta materia y la que hemos presentado reci n) y la otra como terna izquierda.

6 Terna derecha Terna izquierda 4. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Vectores en 3. Queda establecido un sistema de coordenadas donde todo punto de 3 se define mediante una terna ordenada de n meros reales: ( , , ), y tiene asociado un vector posici n = . = ( , , ). Para dar un ejemplo en el siguiente esquema graficamos al punto (2,4,3), y su vector posici n = . : Hemos tomado la misma escala sobre cada uno de los ejes. Pero, como en 2, es posible tomar una escala diferente para cada eje. En el siguiente GIF les mostramos c mo podr a hacerse la gr fica del punto paso a paso: Operaciones y nociones b sicas sobre vectores en . Sean = ( , , ) y . = ( , , ) vectores de 3.

7 A continuaci n definimos algunas operaciones y nociones b sicas: Igualdad: = . = , = , = . Suma: + . = ( + , + , + ). 5. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Vector nulo: 0. = (0,0,0). Opuesto de : = ( , , ). Resta: = + ( . ) = ( , , ). El producto de un escalar por un vector se define: = ( , , ) , , . = ( . , . , . ).. es un vector tal que: Tiene igual direcci n que el vector . Sentido: Si > 0 entonces y . tienen el mismo sentido, si < 0 entonces y . tienen sentido opuesto. Si = 0, entonces 0. = 0.. = | | . El m dulo del vector . es | | veces el m dulo del vector . C mo es la longitud del vector . respecto de la de ? Si | | > 1 entonces . > . Si | | < 1 entonces.

8 < . Si | | = 1 entonces . = . Notaci n : m dulo o norma de un vector | |: m dulo o valor absoluto de un n mero real La definici n de producto de un escalar por un vector permite enunciar una condici n para que dos vectores (no nulos) sean paralelos: . = .. Ejemplo Dados = ( 1,3, 1) , Existen , tales que = (1, 1,1) , = (2,0,2) . + . ? = .. Para responderlo escribiremos la igualdad y trataremos de calcular , y : ( 1,3, 1) = . (1, 1,1) + . (2,0,2). ( 1,3, 1) = ( + 2 , , + 2 ). 1 = + 2 . { 3 = = 3 = 1. 1 = + 2 . ( 1,3, 1) = 3. (1, 1,1) + 1. (2,0,2). 6. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Como existen , tales que + . , diremos que . = . es combinaci n lineal de . y . M s adelante desarrollaremos el concepto de combinaci n lineal.}

9 Podemos visualizar esto en un gr fico: Pero esto puede llevarnos a la pregunta: Dados tres vectores , , de , es siempre posible encontrar los n meros . reales tales que = . + . ? Veamos otro ejemplo para responderla. Ejemplo Si los vectores fueran: = (2, 3,4).. = ( 5,1,0). = (4,2,1).. Veamos si existen , tal que + . : = .. (4,2,1) = (2, 3,4) + . ( 5,1,0). (4,2,1) = (2 , 3 , 4 ) + ( 5 , 1 , 0). (4,2,1) = (2 5 , 3 + 1 , 4 ). 2 5 = 4. { 3 + = 2. 4 = 1. 7. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. Es un sistema con tres ecuaciones y dos inc gnitas. Podemos despejar a partir de dos de las ecuaciones (por ejemplo las dos ltimas): 1. =. 4. 11. =. 4. Pero luego debemos verificar si estos valores satisfacen primera ecuaci n.}

10 Reemplazamos en: 2 5 = 4: 2 55. 4. 4 4. No se verifica la ecuaci n, por lo tanto no existen los escalares que satisfagan la igualdad. En otras palabras, diremos que no es una combinaci n lineal de y de . Como puede observarse en la imagen, los tres vectores no est n contenidos en un mismo plano (no son coplanares), entonces ninguno de ellos puede obtenerse como combinaci n lineal de los otros dos: Propiedades de la suma de vectores y del producto por un escalar Sean 3 , . , , . Vimos que: . + 3 y . 3 . Estas operaciones verifican las siguientes propiedades: 8. AGA Virtual Segundo cuatrimestre 2016 Unidad 1. 1.. + = + . 2. ( + ) + = + ( + . ). 3.. + 0 = 0 + = . 4. + ( . ) = ( ) + =.