Geometri - georgmohr.dk

1 Generelt om vinklerNotation for vinkler: u , A , BACT opvinkler er lige store, x = yKomplementvinkler er vinkler, der tilsammen er 90 .Supplementvinkler er vinkler, der tilsammen er 180 .(I stedet for 180 skriver man ofte ).Nabovinkler: BAC og CAD er nabovinkler (D ligger p AB s forl ngelse t ttest p A). Man siger ogs , at CAD erudvendig vinkel til A i trekant ABC. Bem rk, at CAD = B + C. Bem rkendvidere, at vinkelhalveringslinjerne til to nabovinkler st rvinkelret p f lgende er en kortfattet oversigt over nogle vigtige s tnin-ger fra den plane geomtri, for det meste uden : I en trekant er summen af to sider st rre endden tredje, fx. a + b > figurer (Fig1 og Fig 2) er kongruente, hvis de kan d kkehinanden.

2 Det vil her blive skrevet ogs trekanter er konruente, n r de har1) siderne parvis lige store2) en vinkel og de hosliggende sider parvis lige ) en side og de hosliggende vinkler parvis lige r n r to trekanter er u + v = 90 u + v = 180 Den ene figur er en forst rrekse af denanden, dvs:.. )( kccbbaakcckbbkaa= = = = = = I en retvinklet trekant ABC, hvori C er ret, deler h jdenfra C (CH, hvor H er h jdens fodpunkt p AB) trekanten ito indbyrdes og med ABC ensvinklede trekanter. Derfor g l-der h jdes tningen:Endvidere kan man ved at regne p de ensvinklede trekanterCHB og ABC (og ACH og ABC) indses, athvoraf Pythagoras let f lger. Bevis det !

3 Linjer i en formodes, at I kender til midtnormal, h jde, vinkelhalv-eringslinje og , at midtnormalen til linjestykket AB er det geometriskested for de punkter P (= m ngden af punkter P), der harsamme afstand til A og B, alts PA = PB .Og husk, at en vinkelhalveringslinjen til en vinkel er detgeometriske sted de punkter, der har samme (vinkelrette)afstand til vinklens indre vinkelhalveringslinje til B i trekant ABC sk rerden modst ende side i punktet D. Da g lder (figur med |AD|= og |DC| = ), at / = ord kan det formuleres, at vinkelhalveringslinien deler denmodst ende side i samme forhold som de indesluttende g lder ogs for vinkelhalveringslinien til den udvendigevinkel til B.

4 P standen kan let vises ved hj lp af sinus-relationer: husk sin ( ADB) = sin ( BDC) .Det er er endvidere velkendt, at * I en trekant g r midtnormalerne igennem samme punkt er centrum for trekantens omskrevne radius R i den omskrevne cirkel g lder, at * I en trekant g r vinkelhalveringslinjerne gennem samme punkt er centrum for trekantens indskrevne cirkel.. 2 = =hhh, og 22cbca == ACB. sinsinsin2 CcBbAaR===Om radius r i den indskrevne cirkel g lder en masse T betegner trekantens areal og s trekantens halve omkreds(perimeter), alts s = 1/2 (a + b + c), er * I en trekant g r h jderne p siderne igennem samme punkt kaldes trekantens orthocentrum.

5 * I en trekant g r medianerne igennem samme punkt (trekantens tyngdepunkt) deler medianen i forhol-det 2:1 regnet fra linie fra en vinkelspids til den modst ende side (evt. densforl ngelse) kaldes en cevian, opkaldt efter italieneren Gio-vanni Ceva, der levede i det 17. rhundrede. er vinkel-halveringslinier, h jder og medianer om sk ring mellem linjer i en trekant g lderCevas S tning: Cevianerne AA , BB og CC (C liggr p AB,A ligger p BC ) sk rer hinanden i samme punkt hvis ogkun hvis. 1= ABBCCAABBCCA(Obs. L ngdestregerne er udeladt)Et bevis for Cevas S tning kan findes i bogen MatematiskeEssays. Sp rg evt. din matematikl rer. Bem rk, at Cevas s t-ning straks beviser, at medianerne i en trekant sk rer hinanden isamme punkt.

6 At ogs vinkelhalveringslinierne f lger af dentidligere n vnte s tning om, at de deler den modst ende side isamme forhold som de indesluttende v selv at bevise disse p en trekant ligger h jdernes sk ringspunkt H, medianernessk ringspunkt M og midtnormalernes sk ringspunkt O p enret linje. Denne linje kaldes trekantens arealformlerVigtig observation: Trekanter med samme grundlinje og ligelange h jder har samme arealet T af trekant ABC g lder en r kke formler:. 2f s hvoraf , )(21sTcbaTrsrcbarT=++= =++ =))()((csbsass A B B A C C T = 1/2 hc c = 1/2 b c sinA = rs =..og mange flere firkant er indskrivelig (= har en omskreven cirkel) hvis ogkun hvis summen af de modst ende vinkler er 180 , alts at deer du bevise dette ?

7 Om arealet F af en indskrivelig firkant g lder en slags general-iseret Herons formel:. ))()()((dscsbsassF =hvor s = 1/2 (a + b + c + d).Envidere g lder Ptolem os S tning om en indskrivelig firkant|AB||DC| + |BC||AD| = |AC||BD|,alts , at summen af de modst ende siders produkter er lig meddiagonalernes us s tning kan anvendes til at bevise additionsformlen forsinus: sin(x + y) = sin(x)cos( y) + cos(x)sin(y).Radius i den omskrevne cirkel er 2:|BD | = 2. Trekanterne ABD og BCD er retvinklede, s |AB | = 2 sin(x) , |BC | = 2 sin(y) , |AD | = 2 cos(x) , |CD | = 2 cos(y) .Trekant AOC er ligebenet , |AO | = |OC | = 1 og AOC = 2(x + y).S er |AC | = 2sin(x + y).If lge Ptolem us s tning g lder 2sin(x + y) 2 = |AC | |BD | = |AB | |CD | + |BC | |DA | = 2sin(x) 2cos(y) + 2sin(y) 2cos(x),hvorfra additionsformlen straks f ved CirklenEn centervinkel m les ved den bue, den sp nder over.

8 AOB er en centervinkel og AOB = periferivinkel har toppunkt p cirklen og korder som vinkel-ben. Det ene vinkelben kan v re tangent til cirklen. I det til-f lde taler vi om en periferivinkel er halv s stor som den bue, den sp nder over,alts APB = bueAB/2 = 1/2 samme g lder for en rk ogs , at periferivinkler, der sp nder over samme bue,er lige store. Og at en periferivinkel, der sp nder over en dia-meter , er 90 .vvv212bav+=2bav =uvPAPB == og A + C = 180 Medianerne i en trekant deler trekanten i 6 sm trekanter, derhar samme : Ved en affin transformation f res trekant ABC over itrekant A B C . I trekant ABC betragtes medianen AM1, hvorM1 er midtpunktet af BC.

9 Ved transformationen g r AM1 over iA M1 . Da en affin transformation bevarer l ngdeforhold p linjer, er forholdetB M1 / C M1 = BM1/ CM1 = 1, hvorfor ogs A M1 er en me-dian. Med andre ord har vi vist, at medianer g r i g r de sm mediantrekanter over i de sm median-trekanter i en ligesidet trekant. For at at vise, at trekanternehar samme areal ( arealforhold = 1), er det nok at vise, at desm mediantrekanter i en ligesidet trekant har samme kan du selv g re!(Kan selvf lgelig ogs bevises p en anden - og nok lettere -m de)--- Du kan f flere oplysninger (og beviser) ved at anvende in-ternettet. Pr v af trekanterEnhver trekant kan ved affine transformationer ( drejning, spej-ling, multiplikation om punkt, ret affinitet) f res over i en lige-sidet v selv at hiv i en trekant, s du f r frembragt en affin transformation bevarer hverken l ngder eller arealer,men - og det er v sentligt - den bevarer areal-forhold og l ng-de- forhold (dog kun for parallelle linjer; specielt bevares l ng-deforhold p en ret linje).

10 Som en anvendelse af dette anf res:I enhver firkant g lder generelt Ptolem os Ulighed|AB||DC| + |BC||AD| |AC||BD| .En firkant er omskrivelig (= har en indskreven cirkel) hvis ogkun hvis summen af et par af modst ende sider er lig med sum-men af det andet par .Det kan formuleres: |AB| + |DC| = |BC| + |AD|.Undervejs i et evt. bevis f r du brug for, at tangenter til cirklener lige lange - se figuren. Bevis det!Om en firkant, der b de er indskrivelig og omskrivelig, g lderen s rlig smuk formel for arealet F. abcdF=Multiplikation med 2 ud fra l er enret affinitet: P Q , S R