GEOMETRIA ANALITICA - PROF . Simone Schiavon

1 1 GEOMETRIA ANALITICA 1. DI COSA SI OCCUPA LA GEOMETRIA ANALITICA pag. 2 2. DISTANZA FRA DUE PUNTI SUL PIANO CARTESIANO 3 3. COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO 6 4. CONDIZIONE DI APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA CURVA 8 5. COME TROVARE L INTERSEZIONE FRA DUE CURVE DI EQUAZIONI DATE 9 6. SEGMENTI ORIENTATI 10 Due dimostrazioni 11 Dividere un segmento in parti proporzionali a due numeri dati 12 Individuare su una retta AB un punto P tale che si abbia AP = k AB 13 Coordinate del baricentro di un triangolo 13 7. ESERCIZI 14 8. L EQUAZIONE DI UNA RETTA 19 9. RETTE ED EQUAZIONI DI 1 GRADO 22 10. ESEMPI ED ESERCIZI 24 11. APPROFONDIMENTI SUL COEFFICIENTE ANGOLARE 29 12. ESERCIZI SUL COEFFICIENTE ANGOLARE 32 13. CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA 33 14. EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI ASSEGNATI 36 Condizione di allineamento di 3 punti 37 15.

2 FASCIO PROPRIO DI RETTE 38 16. FASCIO IMPROPRIO DI RETTE 41 17. ANCORA SUI FASCI DI RETTE 42 18. ASSE DI UN SEGMENTO 45 19. CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO CARTESIANO 46 20. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA 47 21. BISETTRICE DI UN ANGOLO 48 22. ESERCIZI (ASSE, DISTANZA, BISETTRICE) 49 23. ESERCIZI CONCLUSIVI SULLA RETTA 50 24. LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO 52 25. ESERCIZI SULLA PARABOLA 63 26. LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO 66 27. ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA 78 28. LUOGHI GEOMETRICI 80 29. L ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO 82 30. ESERCIZI SULL ELLISSE 94 31. L IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO 114 32. ESERCIZI SULL IPERBOLE 133 33. LE CONICHE, IN GENERALE, NEL PIANO CARTESIANO 143 L equazione generale di una conica nel piano cartesiano 147 Coniche degeneri 148 Una conica individuata da 5 punti 149 Esercizi con trasformazioni geometriche 150 GEOMETRIA ANALITICA , di Giancarlo Zilio, distribuito con licenza Creative Commons Attribuzione - - Non commerciale - - Non opere derivate Internazionale 21.

3 DI COSA SI OCCUPA LA GEOMETRIA ANALITICA La GEOMETRIA ANALITICA sviluppa l idea secondo la quale, cos come un singolo punto del piano cartesiano individuato, ossia localizzato in modo univoco, dalla coppia (, delle sue coordinate, )abaltrettanto una linea (curva o retta) sul piano cartesiano, se sufficientemente regolare, potr essere individuata da un equazione nelle due variabili x e y, nel senso che potr essere associata a un opportuna equazione nelle due variabili x, y LA QUALE SIA VERIFICATA DALLA COPPIA (,)xy DELLE COORDINATE DI TUTTI I PUNTI DELLA CURVA, E DI ESSI SOLTANTO. A) Ad un equazione in due variabili, tanto se essa si presenta sotto la forma ()yfx= (detta forma esplicita ), quanto sotto la forma (,) 0 Fxy= ( forma implicita ), possibile associare sul piano cartesiano un insieme di punti, e precisamente l insieme di tutti e soli punti (, tali che la coppia sia soluzione dell equazione. )xy(,)xy Tale insieme di punti pu essere chiamato, indifferentemente, il grafico dell equazione considerata, la curva associata all equazione considerata, o il luogo geometrico associato all equazione considerata.

4 Ad es., all equazione 12yx= corrisponde l insieme di tutti e soli i punti,tali che la coppia (, )xy delle loro coordinate soddisfi l tratta dunque di quei punti la cui ordinata met dell ascissa:ed essi formano una retta (figura qui a fianco). B) E VICEVERSA: data, sul piano cartesiano, una curva con certe ben determinate caratteristiche: ad es., una circonferenza di cui siano note le coordinate del centro e la misura del raggio oppure una retta passante per due punti di coordinate assegnate (per evitare equivoci: considereremo sempre la retta come un caso particolare di curva !) oppure ancora, il luogo geometrico dei punti aventi la propriet di essere equidistanti da un punto fissato e da una retta fissata ecc. ecc. ecc. possibile risalire all equazione a cui tale curva associata!!! Si tratter di trovare un uguaglianza, contenente x e y, l a quale sia verificata dalle coordinate di tutti e soli i punti che fanno parte della curva in questione.

5 L equazione di una assegnata curva si scriver traducendo in coordinate una propriet CARATTERISTICA dei punti di , ossia una propriet di cui godono TUTTI I PUNTI di ED ESSI SOLTANTO. Prendiamo ad es. la circonferenza di centro l origine e raggio determinare l equazione di questa curva ,cercheremo di stabilire quale sia la condizione alla quale devesoddisfare un punto (,)xy del piano cartesiano, per appartenervi. il luogo dei punti del piano cartesiano,la cui distanza dall origine uguale a 5 unit di un punto P( , )xy del piano cartesiano apparterr a se e soltanto se risulter PO5=.Ma per quali valori della coppia (,x)y verificata la relazione PO5=?Se noi traduciamo in coordinate la relazione PO5=,otterremo (vedi qui a fianco)2225xy+=che perci l equazione punto del piano cartesiano fa parte della circonferenza se e solo se la coppia (,)xy delle sue coordinatesoddisfa a tale equazione. La distanza fra due punti (,11)xy e 22(, )xynel piano cartesiano data dalla formula 2212 1()(dxx2)yy= +.

6 Dunque 222PO(0)(0)2xyxy= + =+ per cui si avr se e solo se PO5=225xy+= o anche 2225xy+= 32 . DISTANZA FRA DUE PUNTI SUL PIANO CARTESIANO Consideriamo dapprima il caso di due punti che si trovano entrambi sull asse x quindi hanno ordinata 0: 1A( ,0)x e . 2B( , 0)x 23 Osserviamo che anche xx:(A,B)=AB=3 Dal disegno d = = () 47 Osserviamo che anche xx:(A,B)=AB=7 Dal disegno d = =+= ()21:(A,B)=AB= 4 1 Dal disegno dOsserviamo che anche xx = = + = Perci per calcolare la distanza fra due punti, entrambi appartenenti all asse x, ci baster calcolare la differenza fra le loro ascisse (abbiamo visto che ci vero negli esempi proposti; riflettendo un attimo per generalizzare, si intuisce che il procedimento sar valido sempre; tuttavia, della regola anche possibile dare una dimostrazione rigorosa. Noi preferiamo rimandare questa a una fase successiva, perch quando avremo introdotto l Identit di Chasles, e ssa permetter di organizzare tale dimostrazione molto comodamente, senza dover distinguere vari casi).

7 E evidente comunque che si dovr scrivere per prima l ascissa maggiore e poi sottrarre da essa quella minore, perch se si facesse il viceversa, si otterrebbe un numero negativo .. ad es., con riferimento alle nostre tre figure,non sarebbe stato corretto scrivere 12 A(A,B)dxxxBx= = , perch la differenza 12xx negativa. Tuttavia, capita a volte di non sapere quale sia l ascissa maggiore, magari perch le due ascisse sono incognite, oppure perch sono dipendenti da un parametro. Supponiamo che i due punti di cui devo calcolare la distanza siano P(23, 0)k e Q(. 4, 0)k+Come far a stabilire quale fra le due ascisse la maggiore? Il problema che fra le due quantit e 23k 4k+, pu essere maggiore la prima oppure la seconda, a seconda del valore che si pensa di attribuire al parametro k! Ad esempio, con maggiore , con 10k=2k 35k= maggiore 4k+. Potrei allora risolvere la questione in questo modo: dati due punti posti entrambi sull asse x, per calcolarne la distanza io far la differenza fra le loro ascisse, prendendole in un ordine qualsiasi, con l intesa che, se da questo calcolo dovesse uscire un valore negativo, il risultato corretto sar.

8 L opposto del numero da me trovato. Ma ci equivale a fare il valore assoluto della differenza delle ascisse! E in definitiva si pu dire che la distanza fra due punti, appartenenti entrambi all asse x, IL VALORE ASSOLUTO della differenza fra le loro ascisse (prese in un ordine qualsiasi): 21 12d(A,B)xx xx= = Si pu evitare il valore assoluto soltanto quando si riesce ad impostare la differenza in modo che questa sia sicuramente positiva, ossia quando si sa per certo quale fra le due ascisse la maggiore, cos da poter scrivere (ascissa maggiore) (ascissa minore) ESEMPIO A(44 = o anche, pi semplicemente, 7,0); B(3,0)(A,B)3 7d = =(A,B) 7 3 4d= = (scrivo prima l ascissa maggiore e le sottraggo l ascissa minore) A LTRI ESEMPI: ()A(5, 0); B( 1, 0); C(3, 0)AB1 566; AC3 522; BC31 = = == = == 44== P(23,0);Q(4,0) PQ(4)(23)42377()kkkkkkkkNOTA + =+ =+ += = ::,,NOTA due numeri fra loro opposti hanno ugual valore assolutodi qui la possibilit se lo si desidera di cambiare i segni entro le stanghette 4 La stessa formula 21 12d(A, B)differenza ascissexxxx== = vale anche se i due punti A, B, pur non giacendo sull asse x, hanno la stessa ordinata e di conseguenza stanno su di una retta che parallela all asse x.

9 Infatti (figura qui a sinistra): A' e sono le proiezioni di A, B rispettivamente, sull asse x. B'A' ha dunque la stessa ascissa di A, e la stessa ascissa di B. B'12 1 2A( , ); B( , ); A'( ,0); B'( ,0)xyx yxx 21 12AB = A' B'xxxx= = ( A' e B' stanno sull asse x per cui si pu applicare una formula gi vista). NOTA - y si legge y segnato . La soprallineatura usata per rendere l idea di un valore fissato . ESEMPIO (con riferimento alla figura precedente): A(1, 2); B(6, 2)AB6 11 65 = = = Se i due punti considerati si trovano entrambi sull asse y o su di una parallela all asse y (insomma: se hanno la stessa ascissa, nulla o non nulla), avremo analogamente la formula: 21 12d(A, B)differenza ordinateyyyy== = ESEMPIO: L( 3, 2); M( 3, 8)LM8 22 ( 8)10 = = = Occupiamoci infine del CASO GENERALE. Tracciando due opportuni segmenti, uno orizzontale e l altro verticale, f aremo s che diventi l ipotenusa di un triangolo rettangolo al quale applicheremo il teorema di Pitagora.

10 AB 112 221A( , )B( ,)H( , ) (HBA)xyx yxyha la stessa ascissa die la stessa ordinata di Caso generale ()()2222212 122212 1(A,B) ABAHHB()dxxyyxxyyNOT== + = + == + A ()()2222:.55,77 NOTA il quadrato rende inutili le stanghette di valore assolutoPensa ad esempio che = +=+ ESEMPIO (con riferimento alla figura): ()( )2222A(1, 2); B(4, 2)AB4 12 ( 2)349 16255 = + = +=+= = ALTRO ESEMPIO: ()()2222C( 1,3); D( 8, 27)CD8 ( 1)27 3( 7)2449 57662525 = + = +=+== RICAPITOLAZIONE Se i due punti hanno la STESSA ORDINATA: 21(A,B)dx= x Se i due punti hanno la STESSA ASCISSA: 21(A,B)dy= y CASO GENERALE: 222121(A,B)()()dxxyy= + OSSERVAZIONE La formula relativa al caso generale applicabile, volendo, anche ai casi in cui i due punti abbiano ugual ascissa o ugual ordinata (qui, comunque, sono pi comode le due formule specifiche ). Con riferimento all OSSERVAZIONE: infatti, se, ad es., 12yy=, si ha 22222212 1212121(A,B)()()()0()dxxyyxxxxxx= + = += = Ad esempio, i punti (9 e hanno la stessa ordinata.)