Grandeurs et mesures - Education

1 Grandeurs et mesures Calculer avec des Grandeurs mesurables ; exprimer les r sultats dans les unit s adapt es. Comprendre l effet de quelques transformations sur des Grandeurs g om triques. Objectifs Le th me Grandeurs et mesures figure au programme de math matiques d s le cycle 2 et s enrichit progressivement tout au long de la scolarit obligatoire. Aussi, la maitrise des connaissances et comp tences sur ce th me doit s appuyer sur une fr quentation r guli re des notions abord es, ce qu il est possible de faire en lien avec de nombreuses parties du programme. Le travail sur les Grandeurs et les mesures rel ve principalement de la r solution de probl mes, dans des situations emprunt es la vie courante ou issues d autres disciplines ou encore dans d autres th mes du programme de math matiques. Il permet de r investir des connaissances acquises en math matiques mais aussi d en introduire de nouvelles.

2 Il permet galement de mobiliser des valeurs approch es et d aborder les notions d ordre de grandeur et de chiffres significatifs, dans des contextes r alistes. De nombreux domaines des math matiques sont concern s : g om trie, statistiques, proportionnalit , fonctions, calcul num rique et litt ral. Un travail sp cifique sur certaines Grandeurs , comme les longueurs, les aires ou les volumes, est n cessaire pour mettre en valeur les concepts sous-jacents et donner sens aux formules qui permettent d en calculer des mesures . Il est important pour le professeur de distinguer les notions de grandeur et de mesure et de faire vivre les deux aspects aupr s des l ves sans formalisme excessif. Le traitement de situations concr tes pourrait faire penser que l enseignement des Grandeurs et des mesures est ais mais les r sultats des valuations r alis es par la DEPP montrent qu il en n est rien.

3 Ces difficult s ne sont en g n ral pas de l ordre de l erreur de formule ou d unit mais bien d une difficult de compr hension du concept initial. Liens avec les domaines du socle La r solution de probl mes portant sur les notions de Grandeurs et mesures est fortement li e au domaine les langages pour penser et communiquer (domaine 1) : usage d un vocabulaire math matique adapt (p rim tre, aire, vitesse, unit ), compr hension des nonc s des probl mes, expression des solutions. Les notions de Grandeurs et mesures sont fr quemment sollicit es dans la r solution de probl mes qui constitue un objectif du domaine les m thodes et outils pour apprendre (domaine 2). Les calculs impliquant des Grandeurs mesurables s ins rent naturellement dans l tude des syst mes naturels et techniques (domaine 4). Des rep res historiques sur les grandes tapes des d couvertes scientifiques permettent galement de relier l tude des Grandeurs et mesures au domaine les repr sentations du monde et l'activit humaine , par exemple pour le calcul du rayon de la Terre ou la d finition du syst me m trique (domaine 5).

4 Progressivit des apprentissages Fin de cycle 2 (CE2) Au cycle 2 l l ve travaille sur les Grandeurs suivantes : taille des collections, longueur, masse, capacit , dur e, prix. Il s agit d associer diff rentes Grandeurs un m me objet : sa longueur, sa masse, sa capacit .. Mesurer, estimer et utiliser les diff rentes unit s permet de faire d j le lien avec les nombres et les probl mes arithm tiques tr s simples. Fin de cycle 3 (6e) Au cycle 3 s ajoutent les notions d aire, de volume et d angle. L utilisation des nombres et des op rations arithm tiques permet de r soudre des probl mes impliquant des Grandeurs mesurables (g om triques, physiques, conomiques). Fin de cycle 4 (3e) Au cycle 4 les nouveaut s essentielles portent sur les notions de grandeur produit ou quotient et l effet d un agrandissement ou d une r duction sur les longueurs, les aires ou les volumes.

5 N anmoins, le travail sur les Grandeurs vues au cycle 3 doit tre poursuivi au travers de la r solution de probl mes en lien avec la plupart des th mes au programme. C est cette fr quentation r guli re des Grandeurs , des mesures , des unit s qui assurera que le concept reste vivant et que les techniques l mentaires sont ma tris es de mani re p renne Strat gies d enseignement Le th me Grandeurs et mesures n a pas vocation tre travaill seul mais au service de la r solution de probl mes. Il permet d aborder une diversit de situations qui rel vent d autres parties du programme : calcul num rique, calcul litt ral, quations, fonctions, g om trie. L attendu de fin de cycle mobiliser la proportionnalit pour r soudre un probl me y est fortement travaill . Savoir-faire travaill s Manipuler et interpr ter des Grandeurs .

6 Comparer des Grandeurs . Mesurer. R f rer des formules et calculer. R f rer des unit s et effectuer des changements d unit s. Utilisation des unit s dans les calculs L utilisation des unit s dans les galit s et les calculs est l gitime. Elle permet un contr le de l unit finale ( vitant par exemple des confusions entre p rim tre et aire ou des erreurs de formules dans le cadre des vitesses) ; elle peut aussi tre une aide dans les changements d unit s. Un lien peut aussi tre effectu entre les unit s et les formules (par exemple entre l unit km/h et la formule v=d/t) ou entre l utilisation des unit s dans les calculs et le calcul litt ral (cf. infra pour le calcul d aire). On privil giera les critures du type P = 2 (3 cm + 5 cm) = 2 8 cm = 16 cm pour le calcul de la mesure d un p rim tre et A = 4 cm 6 cm2 = 24 cm22 = 12 cm2 pour le calcul de la mesure d une aire.

7 Conversions Les conversions d unit s sont une source importante d erreurs, en particulier lorsque qu elles s effectuent avec des tableaux de conversion dont le sens chappe souvent aux l ves. Si les techniques associ es semblent ma tris es dans un premier temps, elles rel vent souvent d automatismes qui ne s installent pas durablement et qui ne permettent pas toujours une v rification des r sultats. Il est plus efficace de consolider et de m moriser les relations importantes entre les unit s, qui permettent ensuite d effectuer les conversions usuelles. Ainsi retenir que 1 m2 = 100 dm2, soit partir d un dessin donnant du sens, soit partir de la relation 1 m2 = 1 m 1 m = 10 dm 10 dm = 100 dm2 permet ensuite d effectuer des conversions par multiplication ou division par 100. De la m me mani re les conversions de km/h en m/s sont facilit es.

8 Ainsi 132 km/h = 132 km1 h = 132 000 m3 600 s = 1 320 m36 s = 110 m3 s 36,67 m/s. Les conversions de dur es doivent faire l objet d un traitement sp cifique. Ainsi la conversion en mesure d cimale de 3 h 50 min peut tre trait e de diff rentes mani res : en s appuyant sur les connaissances ant rieures sous la forme suivante : 60 min = 1h donc 1 min = 160 h (ou en divisant 1 par 60) donc 50 min = 50 160 h = 5060 h 0,8 h (ou en divisant 50 par 60) ce qui permet d obtenir 3 h 50 min 3,8 h. On utilise ici le coefficient de proportionnalit existant entre les mesures de temps en minute et en heure. en partant de la relation fondamentale 60 min = 1h donc 10 min = 16 h donc 50 min = 5 10 min = 5 16 h = 56 h 0,8 h. Ce qui permet d obtenir le m me r sultat en utilisant cette fois le coefficient de lin arit existant entre 60 min et 10 min.

9 La conversion de la mesure d cimale en mesure sexag simale peut galement se traiter de diff rentes mani res. Par exemple pour 1,7 h : en s appuyant sur les connaissances ant rieures sous la forme suivante : 1 h = 60 min donc 1,7 h = 1 h + 0,7 h = 1 h + 0,7 1 h = 1 h + 0,7 60 min = 1 h + 42 min = 1 h 42 min 1,7 h = 1 h + 0,7 h puis sachant que 1 h = 60 min donc 110 h = 0,1 h = 6 min donc 0,7 h = 7 0,1 h = 7 6 min = 42 min on obtient le r sultat. Cette m thode a l avantage d tre tr s op rationnelle en calcul mental Une fois encore on utilise le coefficient de proportionnalit entre minute et heure ou un coefficient de lin arit . Remarques Dans ces calculs certaines tapes sont faire mentalement. On peut aussi varier la pr sentation et utiliser des quivalences du type : 1 h = 60 min donc 0,1 h = 6 min (on divise par 10) donc 0,7 h = 42 min (on multiplie par 7).

10 On rappelle que les calculatrices utilis es au coll ge permettent d effectuer ces conversions. On veillera n effectuer que des conversions r alistes avec la situation travaill e. Grandeurs quotient Pour la r solution de probl mes utilisant des Grandeurs quotients, trois d marches peuvent tre utilis es : le recours plusieurs formules conna tre et utiliser en fonction de la grandeur cherch e ; le recours la seule formule de la grandeur quotient que l on utilise par galit s successives ; l utilisation de la proportionnalit . Par exemple pour trouver le temps n cessaire pour parcourir 700 m une vitesse constante de 4,5 km/h, on peut : conna tre l galit t = dv et l utiliser en calcul crit ou l aide d une calculatrice. t = 700 m4,5 km/h = 0,7 km4,5 km/h = 745 h, r sultat convertir en 9 min 20 s ; conna tre uniquement l galit v = dt et l utiliser : v = 4,5km/h = 4,5km1h = 4500 m 3600s = 500m400s = 100m80s = 700m560s.