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1 GRANULOMETRIA - TEORIA Contenido 1. PRESENTACION DE DATOS GRANULOMETRICOS 1 Los datos crudos 1 Clasificaci n por tamizaje 2 Selecci n de los intervalos / tamices 4 Otras t cnicas de clasificaci n 5 Histogramas 7 2. DISTRIBUCION EN NUMERO 10 Funci n de frecuencia 10 Distribuci n continua y distribuci n discreta 12 Valores centrales 13 Medias ponderadas y tama o equivalente 14 3. OTRAS DISTRIBUCIONES 17 Distribuci n en volumen o masa 17 Distribuci n en superficie 18 Relaciones generales 19 4. DISTRIBUCIONES CLASICAS 22 Distribuci n normal o gausiana 22 Distribuci n log-normal 25 Modificaciones de la distribuci n log-normal 27 Distribuci n de Weibull 27 Anexo 27 Densidades de distribuci n 28 Referencias 29 Cuaderno FIRP S554A 1 Granulometr a Teor a GRANULOMETRIA : TEORIA La granulometr a, de "gr nulo" (peque o grano), trata de los m todos de medici n del tama o de un grano y por extensi n de una poblaci n de granos.

2 Se entiende por "grano" en sentido general a un trozo de materia s lida o l quida, esf rica o no, que se encuentre en un fluido inmiscible. Un "grano" puede ser no solamente un grano de arena o de polvo, sino tambi n una gota en una emulsi n o un aerosol, una part cula s lida de ceniza en un humo, una burbuja de gas en una espuma, etc. Se entiende por tama o, una dimensi n caracter stica del grano, en general una longitud. Si se trata de un grano esf rico, se tomar evidentemente como dimensi n de su tama o su radio o su di metro. Para una part cula fuertemente irregular, es a veces dif cil definir un tama o equivalente que sea satisfactorio desde el punto de vista f sico.

3 1. PRESENTACION DE DATOS GRANULOMETRICOS LOS DATOS CRUDOS En las aplicaciones se determina en general la granulometr a de un conjunto de granos, el cual es a menudo una muestra aleatoria de una poblaci n mayor. Se requieren en general por lo menos 500-1000 granos para que la muestra pueda representar la poblaci n en forma satisfactoria desde el punto de vista estad stico. Se refiere el lector a los textos sobre muestreo para este tipo de consideraciones. Aqu se supondr que el problema es determinar la granulometr a de la muestra, la cual puede contener a menudo varios miles de granos. El m todo primario de an lisis es a la vez simple y fastidioso.

4 Se trata de la observaci n bien sea directa mediante un aparato ptico, bien sea indirecta a partir de una fotograf a o de otro tipo de sistema de almacenamiento de la informaci n pictogr fica. En todos los casos, el an lisis visual se realiza grano a grano, lo que hace que este proceso sea extremadamente lento y tedioso para un operador humano. Actualmente no se usa m s este m todo, sino como base para un tratamiento computarizado de im genes. El prop sito del an lisis grano a grano es atribuir un tama o a cada grano, lo cual es en general un di metro o un di metro equivalente. Si se trata de una part cula no esf rica, se toma a menudo como di metro equivalente, el di metro de la esfera del mismo volumen que la part cula.

5 Otra escogencia es el di metro del c rculo de la misma rea, que la proyecci n de la imagen de la part cula sobre el medio registrador (foto, pantalla). Estas son las escogencias cl sicas de los m todos que usan aparatos basados sobre fen menos f sicos, pticos o el ctricos. Dan resultados satisfactorios en casos de granos casi esf ricos. Sin embargo, no es siempre el caso como se puede ver en la Fig. 1. En caso extremo como por ejemplo en el an lisis de pulpa de papel, se debe atribuir un tama o a las fibras de celulosa, las cuales se presentan en general como una figura geom trica alargada y a veces torcida. En tal caso la l gica implica medir no uno sino dos tama os, correspondiendo por ejemplo a las dimensiones axial y transversal, o a una dimensi n de longitud acompa ada de un par metro de alargamiento o de elipsicidad.

6 Cuaderno FIRP S554A 2 Granulometr a Teor a Buena aproximaci nNo tan buenaNo satisfactoria Fig. 1: El concepto de di metro equivalente es una aproximaci n, no siempre satisfactoria En lo que sigue se supondr que la escogencia del di metro equivalente ya est realizada, y por lo tanto se supondr que los granos son esf ricos, o por lo menos que est n perfectamente representados por granos esf ricos. Esto es el caso del estudio granulom trico de emulsiones, lo cual es el campo principal de aplicaci n de estos conocimientos en el lab. FIRP. CLASIFICACION POR TAMIZAJE Una vez terminado el estudio visual de cada grano, y notado el tama o "t" de cada uno, se tiene una lista de datos crudos, la cual no es mas que un listado de tama os, en el cual algunos pueden eventualmente repetirse, y otros ser muy vecinos o muy diferentes.

7 El primer trabajo consiste en poner en orden estos datos, o mejor dicho en clasificarlos con el fin de proceder ulteriormente a un estudio estad stico. Con este prop sito se busca primero el tama o mas grande tmax y el mas peque o tmin , reportados en el an lisis. Como estos valores no son necesariamente valores redondeados, se tienen inter s en tomar dos l mites con valores num ricos redondeados, escogidos de acuerdo al recorte ulterior del intervalo, y que incluyen todos los valores reportados. Por ejemplo si tmax = 9,3 m y tmin = 1,3 m se puede tener inter s en escoger como l mites bien sea 1 - 10 m, bien sea 0 - 10 m. Luego se divide el intervalo entre los l mites en un cierto n mero de intervalos de clasificaci n, en general un m nimo de 10 y un m ximo de 50.

8 Este proceso se llama a menudo tamizaje ya que corresponde a una operaci n de clasificaci n de polvo que lleva el mismo nombre, en la cual se coloca una serie de tamices uno encima del otro (V ase fig. 2). Cuaderno FIRP S554A 3 Granulometr a Teor a d > 1 mm1000 m > d > 316 m 316 m > d > 100 m100 m > d > 32 m32 m > d > 10 md < 10 m TAMIZPOLVO A TAMIZAR Fig. 2: Principio del tamizaje y clases de di metro de los granos recogidos En el tamizaje, se recoge en cada tamiz los granos de tama o superior al tama o de la malla de este tamiz pero de tama o inferior al tama o de la malla del tamiz inmediatamente superior. Un intervalo de clasificaci n de ndice "i" se define por los dos l mites: Tama o m nimo !

9 Timin Tama o m ximo ! timax Este intervalo cubre el rango ! "ti=timax#timin y posee un tama o medio representativo de todos los granos del intervalo. Este tama o medio del intervalo se escoge seg n los casos como la media aritm tica o la media geom trica de los l mites del intervalo (Fig. 3): ! ti=timax+timin2 ! ti=timaxtimin El intervalo "i" contiene todos los granos cuyo tama o t es tal que timin < t < timax Cuaderno FIRP S554A 4 Granulometr a Teor a Para proceder a la clasificaci n, se rastrea la lista de datos crudos y cada vez que se encuentre un tama o perteneciendo al intervalo "i", se aumente en una unidad, el n mero contador ni de granos del intervalo i.

10 Se realiza este conteo con todos los intervalos, obteni ndose entonces el n mero total de granos de la muestra como la sumatoria n . La relaci n ni / ni indica la fracci n (en n mero) de los granos que poseen un tama o correspondiente al intervalo "i". Escala de tama otti mini m x<>ti INTERVALO ivalor "medio" representativo del intervalo (seg n f rmula)en general media aritm ticao media geom trica Fig. 3: Valores que definen un intervalo o clase de tama o En los datos clasificados la lista de los tama os de los granos que corresponden al intervalo "i" se reemplaza por dos datos: uno que define el intervalo i (ti max o ti) y otro que d cuenta del conteo de granos perteneciendo a este intervalo (ni o ni / ni).