Grenzwerte von Folgen - Math-Grain.de

1 Grenzwerte von Folgen1-EMa 1 Lubov Vassilevskaya Berechnung von Grenzwerten: Aufgabe 1 Die Berechnung von Grenzwerten kann oft ziemlich umst ndlich entwickelten Regeln vereinfachen oft solche Berechnungen. DieseRegeln beruhen darauf, dass man Folgen addieren, subtrahieren, multip-lizieren und dividieren seien die Folgenan=5 1n3, bn=2 3nDie Grenzwerte lautenlimn an=5, limn bn=2 Bestimmen Sie aus den beiden Folgen die Summen-, Differenz-, dieProdukt- und die Quotientenfolge und bestimmen jeweils den GrenzwertAufgabe 1:1-1Ma 1 Lubov Vassilevskaya Berechnung von Grenzwerten: L sung 1an=5+1n3, bn=2 3nan+bn=7 3n+1n3, limn (an+bn)=7an bn=3+3n+1n3, limn (an bn)=3an bn=10 15n+2n3 3n4, limn (an bn)=10anbn=5+1n32 3n, limn anbn=521-2Ma 1 Lubov Vassilevskaya Regeln f r das Rechnen mit GrenzwertenEs seien zwei konvergente Folgen mit folgenden Grenzwertenlimn an=a, limn bn=bDann sind die Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotienten-folge ebenfalls konvergent und es gibt:limn an bn =limn an limn bn=a blimn an bn =limn an limn bn=a blimn c an =c limn an=c alimn anbn=limn anlimn bn=ablimn an bn =limn an limn bn=a blimn ban=blimn an=ba, limn bnan=ba1-3Ma 1 Lubov Vassilevskaya Regeln f r das Rechnen mit Grenzwerten1-4Ma 1 Lubov VassilevskayaEs seien zwei konvergente Folgen mit dem gleichen Grenzwert a.

2 Limn an=a, limn bn=aGilt f r die Glieder der dritten Folge f r alle Indizes n, die gr erals ein fester Index sind, die Einschlie ungan cn bnso ist auch diese Folge konvergent mit gleichem Grenzwert a. Das Rechnen mit Grenzwerten: Aufgabe 2 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte :a) limn 2n+54n 7, limn 3 n7n+12, limn 6n+514n,2-1Ma 1 Lubov Vassilevskayab) limn 11n+7n214n2+12n, limn 5n2 9n11 15n2, limn 3n3+6n13n+9n3,c) limn 3n 9n212n3+15n, limn 12n 417n+5n2, limn 6n3+2n3n2+8n, Das Rechnen mit Grenzwerten: L sungen 2 a,blimn 3 n7n+12= 17, limn 6n+514n=37,2-2Ma 1 Lubov Vassilevskayab) limn 11n+7n214n2+12n=12, limn 5n2 9n11 15n2= 13,a) limn 2n+54n 7=limn 2+5n4 7n=12limn 2=2, limn 5n=5 limn 1n=0limn 4=4, limn 7n=7 limn 1n=0limn 3n3+6n13n+9n3=13 Das Rechnen mit Grenzwerten.

3 L sung 2cc) limn 3n 9n212n3+15n=limn 3nn3 9n2n312n3n3+15nn3=limn 3n2 9n12+15n2=0limn 12n 417n+5n2=0,limn 6n3+2n3n2+8n=limn 6n+2n3+8n= 2-3Ma 1 Lubov Vassilevskaya Bestimmen Sie folgende Grenzwerte :a) limn (6n 73n+14)2n3n2 nDas Rechnen mit Grenzwerten: Aufgabe 33-1Ma 1 Lubov Vassilevskayab) limn (1 3n4n+5)3 n+2n2+n+1c) limn 5n2 2n10n2+11n 6n2+13n2 nd) limn 3n 712n+9 cosn8n+15e) limn n2+2n+1+sinnn2+n+1 Das Rechnen mit Grenzwerten: L sungen 3 a,bb) limn (1 3n4n+5)3 n+2n2+n+1=( 34)3 0=0limn 1 3n4n+5=limn 1n 34+5n= 34limn n+2n2+n+1=limn nn2+2n21+1n+1n2=0+01+0=0a) limn (6n 73n+14)2n3n2 n=4 0=0limn (6n 73n+14)2=22=4, limn n3n2 n=03-2Ma 1 Lubov Vassilevskaya Das Rechnen mit Grenzwerten: L sungen 3 c,d3-3Ma 1 Lubov Vassilevskayac) limn 5n2 2n10n2+11n 6n2+13n2 n=12 2=1limn 5n2 2n10n2+11n=12, limn 6n2+13n2 n= ) limn 3n 712n+9 cosn8n+15=312 0=0cosn8n+15<18n+15, limn 18n+15=0 Das Rechnen mit Grenzwerten: L sung 3 e3-4Ma 1 Lubov Vassilevskayalimn n2+2n+1+sinnn2+n+1=1n2 2n 1 sinnn2 n 1= n2 n 1 n sinnn2 n 1=0 n sinnn2 n 1 n 1n2 n 1 2nn2 n 1 2nlimn 2n=0 limn n sinnn2 n 1=0 limn n2 2n 1 sinnn2 n 1=limn 1 limn n sinnn2 n 1=1=1 n sinnn2 n 1= Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:Das Rechnen mit Grenzwerten: Aufgabe 44-1Ma 1 Lubov Vassilevskayalimn n2+1 n limn n2+1 n= n2 1 n n2 1 n n2 1 n=1 n2 1 n==1 n2+1+n=1n( 1+1n2+1)<12nlimn n2 1 n=limn 12n=0 n2 1 n=1.

4 Variante:Das Rechnen mit Grenzwerten: L sung 44-2Ma 1 Lubov Vassilevskaya limn n2 1 n =limn n 1 1n2 1 2. Variante: Binomische Reihe mit positiven Exponenten 1 x m=1 mx m m 1 2!x2 ..m 0, x 1 1 1n2= 1 1n2 12, m=12, x=1n2 1 1 1n2 12 1 12n2 18n4 1 12n2limn n 1 1n2 1 limn n 1 12n2 1 =limn 12n=0 Das Rechnen mit Grenzwerten: L sung 44-3Ma 1 Lubov Vassilevskaya Wichtige GrenzwerteEs seien eine reelle Konstante c und eine reelle Zahl| q | < 1, dann gilt1) limn qn=02) limn n c=13) limn n n=14) limn n n!= 5-1Ma 1 Lubov Vassilevskaya Wichtige Grenzwerte1) limn qn=0, q 1 q 1 q 1 1, q 1=1 a, a 0 Die Bernoullische Ungleichung liefert dann: q 1 n= 1 a n 1 na na q n 1na limn qn=02) limn n c=1, c , c 1xn=n c 1 n c=xn 1 c= xn 1 nc= xn 1 n 1 nxn xn cn limn xn=0limn n c=15-2Ma 1 Lubov Vassilevskaya 3) limn n n=1, n 2n n n 1=1, n n 1= n 0 n n= n 1 n= 1 n n n= 1 n n 1 n n n n 1 2 n2 n n 1 2 n2n 1 n2 n 2 n n n 1 2 n2 n24 n2 1 n4 n2 n2 4n n 2 n0 n 2 n limn n=0limn n n=limn n 1 =1 Wichtige Grenzwerte5-3Ma 1 Lubov Vassilevskaya Die Bernoullische UngleichungJakob Bernoulli (1655-1705)In der Mathematik versteht man unter der Bernoul-lischen Ungleichung eine wichtige Ungleichung, mitder sich eine Potenzfunktion nach unten absch tzenl sstF r jede reelle Zahl x -1 und jede nicht negativeZahl n 0 gilt(1+x)

5 N 1+nxBenannt ist die Ungleichung nach dem schweizeri-schen Mathematiker Jakob Folgenden werden wir zeigen, wie wir diese Un-gleichung bei Absch tzungen von Grenzwerten derFolgen benutzen k 1 Lubov Vassilevskaya Die Bernoullische Ungleichung: BeweisDie Bernoullische Ungleichung 1 c n 1 nc c 1 n 1 Die Bernoullische Ungleichung beweist man mittels vollst ndigerInduktion:Induktionsschritt 1: n = 2 1 c 2=1 2c c2 1 2cInduktionsschritt 2: n = 3 1 c 3=1 3c 3c2 c3 1 3cInduktionsschritt n 1: wenn 1 c n 1 nc,das gilt auch f r n + 1 1 c n 1 nc 1 c n 1 c 1 nc 1 c 1 c n 1 1 c nc nc2 1 1 n c6-2Ma 1 Lubov Vassilevskaya