Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples

1 Chapitre 1 Groupes monog nes. Groupescycliques. ExemplesPr -requis1. G n ralit s sur les Le groupe (Z/nZ,+).3. Th or me de Lagrange pour les D finition d un nombre de deux entiers Lemme de Gauss en arithm Notion de Groupes monog nesD finition (G, .)un groupe .(G, .)est dit monog ne s il existe un l mentxtel que pour tout l mentyde(G, .), il existe un entier relatifktel quey= alorsG= x et l on dit que(G, .)est engendr parxou encore quexest ung n rateur de(G, .). Si de plus,(G, .)est d ordre fini, on dit que(G, .)est (Z,+)est monog ne infini engendr par1ou Pour tout entier naturel non nuln,(Z/nZ,+)est un groupe cyclique d Pour tout entier naturel non nuln,((Z/nZ) , )est un groupe cyclique d ordren Pour tout entier naturel non nuln, Un= e2ik n,k 0;n 1 , est ungroupe cyclique d Groupes monog groupe monog ne est ab lien. Attention, la r ciproque est fausse : legroupe de Klein est ab lien mais non finition (G, .)un groupe fini.

2 Soitaun l ment deG. On appelle ordredeal ordre du sous- groupe a ={ak,k Z}engendr or me (G, .)un groupe fini. Soitaun l ment deG. Soitml ordre dea. Alors l ordre le plus petit entier naturel non nul tel queam= l ments1,a,a2, ..,am 1sont tous distincts plus, a ={1;a;a2;..;am 1}.D C est le th or me de Sim=1, c est vident. Sim 2. On d montre queA={a;a2;a3;..;am+1}poss de au moins deux l ments gaux. Ainsi, il existe un entierlcompris entre1etmtel queal=1. Soits=min{k N ,ak=1}.Onas m. Soitk +ravec0 r s 1doncak=aret par cons quentak {1;a;a2;..;as 1}.Ainsi, a {1;a;..;as 1}etm s. D o m= {1;a;..;am 1} a est vident. De plus,| a |=m, d o l galit .Corollaire N. Soit(G, .)un groupe fini d ordren. Alors, pour toutx G,xn= ordre dex. D apr s le th or me 3,mdivisen. Donc il existeun entier relatifktel quen=mk. D o xn=xmk=(xm)k=1k= groupe (G, .)d ordreppremier est cyclique et engendr par l unquelconque de ses l ments distincts l ment deGdistinct de1.

3 Alors1etaappartiennent a . Donc| a | 2. De plus,| a |divisepd apr s 1. du th or me tant premier,n cessairement| a |=pet par cons quentG= a .Corollaire (G, .)un groupe fini. Soita G. Soitml ordre dea. Alors pourtout entier naturelk, ak=1 (m|k).D monstration. :Il existe un entier relatifk tel quek=mk . Ainsi, d apr s leth or me 3 :ak=amk =(am)k =1k = SOUS- Groupes D UN groupe monog NE25 :Division euclidienne dekparm:k=mq+ravec0 r<m. D o :ak=amq+r=amqar=ar=1Ce qui entra ner=0d apr s le th or me 3. Ainsi,m| ,ak=1n implique pas quekest l ordre deamais simplementque l ordre or me Tout groupe monog ne infini est isomorphe au groupe (Z,+).2. Tout groupe cyclique d ordren N est isomorphe (Z/nZ,+).D Soit(G, .) est un groupe monog ne infini engendr par un l mentg. Consid rons l applicationf:(Z,+) (G, .)d finie parf(k):=gk. Il est clair quefest un morphisme. De plus(G, .) tant monog ne engendr parg, par d finition,pour tout l mentxdeG, il existe un entier relatifktel quex=gk.

4 Ainsifest doncun pimorphisme. Enfin, sigr=gs, alorsgr s=1et par cons quentr=s,cequiprouve quefest un donc un Soit(G, .)un groupe cyclique d ordrenengendr ronsf:(Z/nZ,+) (G, .)d finie parf(k):=gk. Alorsfest clairement Sous- Groupes d un groupe monog D un groupe monog ne infiniProposition (G, .)un groupe monog ne infini. Si(H,.)est un sous-groupede(G, .), alors il existe un entier naturelntel que(H,.)est isomorphe (nZ,+).D (G, .)un groupe monog ne infini. Alors, d apr s le th or me 7,il est isomorphe (Z,+). Soit(H,+)un sous- groupe de(Z,+).SiH={0}, alorsH=0Z. Sinon, il existe un l ment strictement positif dansH. Soitmle plus petitdes l ments strictement positifs deH. Commem H, naturellement,mZ H. Soith H. Effectuons la division euclidienne dehparm: il existe un entier relatifqetun entier naturelrtels que : h=mq+r0 r<mOr,r=h mq H. Commer<m, alors n cessairement,r=0. D o h=mq ,H SOUS- Groupes D UN groupe monog D un groupe cycliqueD finition appelle fonction indicatrice d Euler la fonction d finie surN valeurs dansNqui, chaque entier naturel non nuln, associe le nombre d entierscompris entre1etnpremiers : (1) = 1, (2) = 1, (3) = 2et (8) = fonction indicatrice d Euler n est pas croissante surN car (9) = 6et (10) = or me 10.

5 (Description des Groupes cycliques ) Soitn N . SoitGun groupecyclique d ordren. Soitaun g n rateur sous- groupe de a est tout entier naturelk, ak =nn , alors a contient (d) l ments d a contient (n)g n rateurs. Ce sont lesaktels quen k= , alors l ensembleEd={x a ,xd=1}est l unique sous-groupede a d ordred, de plus il est SoitHun sous- groupe de a .SiH={1}, il est videmmentcyclique. SiH ={1}, alors il existe un entier naturel non nulltel queal ,{k N ,ak=1}est non vide et minor par0donc admet un :=min{k N ,ak=1}.(H,.) tant un groupe , ad H. Soitak la division euclidienne dekpard:k=dq+ravec0 r<d. Ainsi,(a)k(a dq)=ar HcarHest un groupe . Ceci contredit la minimalit dedsauf sir=0. D o ak=(ad)q ad . Ainsi,H= ad .2. D apr s le th or me 3, on a : ak =min{m N ,(ak)m=1}=min{m N ,akm=1}=min{m N ,n|km}Soitd:=n k. Il existe alors deux entiers naturelsn etk tels quen=dn etk=dk etn k =1. Ainsi,n|kmest quivalent dn |dk met n |mcarn k =1. Or, leplus petit entierm N tel quen |mestn , c est- -direnn k.

6 D o ak =nn il existe un entier naturelqtel quen=dq. Soitakun l ment SOUS- Groupes D UN groupe monog NE27 a ,ona: ak =d nn k=d dqn k=d qn k=1 n k=qOr il existe un entier naturelk tel quek=qk . Ainsi : ak =d (dq qk =q) (d k =1)Or, des entiersk premiers avecd, il y en a (d). a si, et seulement si,akest d d ordrenn k. Doncakengendre a si, et seulement si,n k=1. Il y en a bien (n)d apr s la d finitionde la fonction indicatrice d {x a ,xd=1}est clairement un sous- groupe de a , ce dernier tantab lien. De plus, d apr s 1., il est cyclique. D apr s le corollaire 4, il contient toutsous- groupe de<a>d ordred. Soitgun g n rateur deEd. Pour tout entier naturelnon nulr,ona(gr)d=1qui est quivalent , donc il existeun entier relatifktel quen=dk. Mais alors,(gr)d=1est quivalent , les l ments deEdsont :gk,g2k, ..,gdk=gn=1. Ils sont clairement tousdistincts et il y en a donc engendr pargk. Comme tout groupe cycliqued ordred, il poss de (d)g n rateurs. D apr s 4., ce sont lesgkravecr d= peut synth tiser ce th or me ainsi :SoitGun groupe cyclique d ordren.

7 Alors, pour chaque diviseurdden, l ensembleEd={x G, xd=1}est l unique sous- groupe d ordreddeG. Il est cyclique etposs de exactement (d) l ments d ordred. Ces l ments sont les g n rateurs deEdet s crivent sous la forme :xndravec1 r detr d= Consid rons le groupe cyclique(Z/12Z,+).4divise12,doncE4={k Z/12Z,4k=0}est l unique sous- groupe d ordre4de(Z/12Z,+).Il est cyclique et poss de (4) = 2 l ments d ordre4. Ces l ments Consid rons le groupe cyclique U15= e2ik 15,k 0; 14 , .3divise5,doncE3= e2ik 15 U15,(e2ik 15)3=1 est l unique sous- groupe d ordre3de U15= e2ik 15,k 0; 14 , . Il est cyclique et poss de (3) = 2 l mentsd ordre3. Ces l ments sonte2i 3ete4i EXEMPLESTh or me 11.(Formule de M bius) Pour tout entier naturel non nuln,ona:n= d|n (d)D a un groupe cyclique d ordren. D apr s 3. du th or me 10,pour tout diviseurdden, a contient (d) l ments d ordred. Or tout l ment deaa un ordre qui divisend apr s le th or me 3. D o le r or me 12.

8 (Caract risation des Groupes cycliques ) Soit(G, .)un groupe d ordren N . Soitdun diviseur den. NotonsEd={x G, xd=1}et G(d)le nombred l ments d ordreddeG. Les assertions suivantes sont quivalentes tout diviseurdden,|Ed| tout diviseurdden, G(d) (d). tout diviseurdden, G(d)= (d). groupeGest tout diviseurdden,|Ed|= 2:Si G(d)=0, c est vident. Si G(d) 1, alors il existe un l -mentadeGd ordred. Donca Edet a Ed. Par suite,| a |=d |Ed|. Donc, d apr s 1.,d=|Ed|. Par cons quent,Ed= a .Or a contient (d)g n rateurs. Donc ce sont les seuls l ments d ordreddeG. Par cons quent, G(d) (d).2 3: Il est clair quen= d|n G(d). De plus,n= d|n (d). Donc, d apr s 2.,n cessairement, pour tout diviseurdden, G(d)= (d).3 4: Il suffit de prendred=ndans 3. Ainsi,Gposs de au moins un l mentd ordrenet est donc 5: D coule de 5. du th or me 1: Produit de Groupes cycliquesTh or me Groupes cycliques d ordres respectifsmetn.(m n=1) (G1 G2cyclique) EXEMPLES29D monstration.

9 :G1 tant cyclique d ordremest isomorphe (Z/mZ,+)etG2 tant cyclique d ordrenest isomorphe (Z/nZ,+). Consid rons l applicationf:(Z/mnZ,+) (Z/mZ Z/nZ,+)qui kassocie(k; k).fest clairement unmorphisme de Groupes . D terminonsker(f). Supposons que(k; k)=(0; 0). premiers entre eux, doncmndiviseket parcons quent k= 0. Ainsiker(f)={ 0}etfest donc un monomorphisme. Le groupede d part et le groupe d arriv e ayant le m me ordre,fest un isomorphisme. : Supposons queG1 G2est cyclique d ordremnet raisonnons par l absurde :supposons qued:=m n 2. Alors il existe deux entiers naturelsm etn tels quem=dm etn=dn avecm n = :(m n) (m n)=mnD o :m n=dm n =m n=mn <mn. Soit(x;y) G1 G2,ona:(x;y)m n=(xm n);ym n)=(1;1)Ainsi, tout l ment deG1 G2a un ordre strictement inf rieur qui est en contradiction avec le fait queG1 G2est cyclique d quent,m n= groupe ((Z/8Z) (Z/15Z),+)est cyclique car8 15 = 1. Le groupede Klein,(Z/2Z Z/2Z,+)n est pas cyclique car2 2= th or me permet de d composer tout groupe cyclique en produit directde Groupes cycliques plus petits.

10 Sur un corps finiTh or me (K,+, )un corps fini. Alors(K , )est un groupe (K,+, )un corps fini. N cessairement,(K , )est un s agit donc de d montrer qu il est cyclique. Soitdun diviseur de l ordre de(K , ).Ed = car1 Ed. Puisque(K,+, )est un corps, le polyn meXd 1a au plusdracines surK. Donc|Ed| d. Ainsi, d apr s le th or me 12,(K , )est nombre premier. Alors((Z/pZ) , )est un groupe est isomorphe (Z/(p 1)Z,+).D nombre premier. Alors(Z/pZ,+, )est un corps fini. Donc,d apr s le th or me 14,((Z/pZ) , )est un groupe cyclique. Son ordre tantp 1,d apr s le th or me 7, il est isomorphe (Z/(p 1)Z,+).Chapitre 2 Permutations d un ensemblefini, groupe sym -requis1. Composition de deux D finition d une Notions sur les Relation d quivalence sur un Division Isom tries du Permutations d un ensemble finiD finition N . On appelle permutation de 1;n toute bijection de 1;n dans 1;n . L ensemble des permutations de 1;n est not matricielle d une permutation : = k.