GUIA DE CLASE MATEMATICAS FINANCIERAS - actiweb.es

1 guia DE CLASE MATEMATICAS FINANCIERAS MAGDA BUITRAGO P gina 1 CAPITULO No 3. INTERES COMPUESTO. DEFINICION DE INTERES COMPUESTO Se podr a definir como la operaci n financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los intereses vencidos. La suma total obtenida al final se conoce con el nombre de monto compuesto o valor futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le denomina inter s compuesto y para su c lculo se puede usar sin ning n problema la igualdad I=Pin. El inter s compuesto es m s flexible y real, ya que valora periodo a periodo el dinero realmente comprometido en la operaci n financiera y por tal motivo es el tipo de inter s m s utilizado en las actividades econ micas. Lo anterior, hace necesario una correcta elaboraci n del diagrama de tiempo y lo importante que es ubicar en forma correcta y exacta el dinero en el tiempo.

2 Por ltimo, es conveniente afirmar que el inter s compuesto se utiliza en la Ingenier a Econ mica, Matem tica FINANCIERAS , Evaluaci n de Proyectos y en general por todo el sistema financiero colombiano. Ejemplo Una persona invierte hoy la suma de $ en un CDT que paga el 7% cuatrimestral, se solicita mostrar la operaci n de capitalizaci n durante dos a os En la tabla anterior, se aprecia que los intereses cuatrimestrales se calculan sobre el monto acumulado en cada periodo y los intereses se suman al nuevo capital para formar un nuevo capital para el periodo siguiente, es decir, se presenta capitalizaci n de intereses, con el objeto de conservar el poder adquisitivo del dinero a trav s del tiempo. Para el c lculo del inter s se uso la f rmula: I=Pin, mientras que para el monto se utiliz : F=P+I SUBDIVISION DEL INTERES COMPUESTO. El inter s compuesto se puede subdividir de la siguiente manera: a) Inter s compuesto discreto: Se aplica con intervalos de tiempos finitos.

3 B) Inter s compuesto continuo: Se aplica en una forma continua, o sea que los intervalos de tiempo son infinitesimales. Sin importar el hecho de que el inter s sea discreto o continuo y para dar una definici n precisa del inter s compuesto, es conveniente indicar los siguientes aspectos. TASA DE INTERES: Es el valor del inter s que se expresa como un porcentaje. 10%, 20%. PERIODO DE APLICACI N: Es la forma como se aplicar el inter s. Ej. 2% mensual, 20% anual compuesto trimestralmente, 18% anual compuesto continuamente. BASE DE APLICACI N: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplicar el inter s para cada periodo. Ej. 20% anual compuesto trimestralmente sobre el saldo m nimo trimestral. FORMA DE APLICACI N: Es el momento en el cual se causa el inter s. Ej. 2% mensual por adelantado, 18% anual por trimestre vencido. COMPARACION ENTRE EL INTERES SIMPLE Y COMPUESTO La comparaci n entre el inter s simple e inter s compuesto, se har a partir del siguiente ejemplo.

4 Ejemplo Suponga que se una persona invierte $ a un inter s del mensual durante 12 meses, al final de los cuales espera obtener el capital principal y los intereses obtenidos. Suponer que no existen retiros intermedios. Calcular la suma final recuperada. En la tabla se observa que el monto a inter s simple crece en forma aritm tica y su gr fica es una l nea recta. Sus incrementos son constantes y el inter s es igual en cada periodo de tiempo. El monto a inter s compuesto, en cambio, crece en forma geom trica y su gr fica corresponde a la de una funci n exponencial. Sus incrementos son variables. Cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuaci n es la de una l nea curva que asciende a velocidad cada vez mayor. guia DE CLASE MATEMATICAS FINANCIERAS MAGDA BUITRAGO P gina 2 En el diagrama anterior se puede observar que los flujos ubicados en el periodo 3, 5 y n-2, son valores futuros con respecto al periodo 1 o 2, pero ser n presente con respecto a los periodos n-1 o n PERIODO El tiempo que transcurre entre un pago de inter s y otro se denomina periodo y se simboliza por n, mientras que el n mero de periodos que hay en un a o se representa por m y representa el n mero de veces que el inter s se capitaliza durante un a o y se le denomina frecuencia de conversi n o frecuencia de capitalizaci n.

5 A continuaci n se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalizaci n m s utilizadas o comunes. En un ejercicio o problema de inter s compuesto al especificar la tasa de inter s se menciona inmediatamente el periodo de capitalizaci n. Por ejemplo: 30% Anual capitalizable o convertible diariamente. 28% Liquidable o capitalizable semanalmente. 24% Capitalizable Quincenalmente. 36% Anual convertible mensualmente. 32% Anual liquidable bimestralmente. 40% Anual capitalizable Trimestralmente. 20% Anual compuesto cuatrimestralmente. 35% Anual convertible semestralmente. 18% Anual liquidable anualmente. Si no se especifica el periodo de referencia, ste se debe entender de forma anual. Es decir, 28% Liquidable o capitalizable semanalmente, es lo mismo, que si se manifestara 28% Anual Liquidable o capitalizable semanalmente. El periodo de capitalizaci n es un dato indispensable en la soluci n de problemas de inter s compuesto.

6 Al realizar un c lculo de inter s compuesto es necesario que la tasa de inter s est expresada en la misma unidad de tiempo que el periodo de capitalizaci n. Ejemplo Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duraci n de 3 a os. Cu nto vale m y n? Soluci n: Un a o tiene 2 semestre, por lo tanto, m = que la obligaci n financiera dura 3 a os, el n mero de veces que el documento paga inter s por a o ser 2, por consiguiente en 3 a os, pagar 6 veces, lo que indica que n = 6 VALOR FUTURO EQUIVALENTE A UN PRESENTE DADO. El valor futuro, se puede encontrar a partir de un valor presente dado, para lo cual, se debe especificar la tasa de inter s y el n mero de per odos, y a partir de la siguiente demostraci n, se determina la f rmula que permite calcular el valor futuro. Se concluye entonces que: F = P(1+i)n ( ) ; donde : F = Monto o valor futuro. P = Valor presente o valor actual.

7 I = tasa de inter s por periodo de capitalizaci n. n = N mero de periodos n mero de periodos de capitalizaci n. La anterior f rmula se puede expresar mnemot cnicamente de la siguiente manera: F = P(F/P, i, n); que se lee as : hallar F dado P, una tasa i y n periodos. La forma nemot cnica se emplea cuando se usan las tablas FINANCIERAS que normalmente se encuentran al final de los libros de ingenier a econ mica o de matem ticas FINANCIERAS . El t rmino (F/P, i, n) se conoce con el nombre de factor y es un valor que se encuentra en las tablas FINANCIERAS . El factor corresponde al elemento (1+i)n de la f rmula, que se conoce con el nombre de factor de acumulaci n en pago nico. En las matem ticas FINANCIERAS toda f rmula tiene asociada un diagrama econ mico, para la expresada anteriormente seria: guia DE CLASE MATEMATICAS FINANCIERAS MAGDA BUITRAGO P gina 3 Ejemplo Cu nto dinero se tiene dentro de seis meses en una cuenta de ahorros que reconoce el 2% mensual si hoy se invierte en una corporaci n $ Soluci n: Ejemplo El 2 de enero se consign $ en una cuenta de ahorros y deseo saber cu nto puedo retirar al finalizar el a o, si me reconocen una tasa de inter s mensual igual a 3% ?

8 Soluci n: Ejemplo Al iniciar los meses de julio y septiembre me propongo ahorrar $ y $ respectivamente y deseo consignarlos en una corporaci n que me reconoce el 4% mensual. Cu nto dinero tengo el primero de noviembre? Soluci n: P1 = $ P2 = $ i = mensual. CALCULO DEL VALOR PRESENTE EQUIVALENTE DE UN FUTURO DADO. Sabemos que F = P(1+i)n ; por lo tanto, P = F(1+i)-n ( ) El valor presente se puede definir, como el capital que prestado o invertido ahora, a una tasa de inter s dada, alcanzar un monto espec fico despu s de un cierto n mero de periodos de capitalizaci n. La anterior f rmula se puede expresar mnemot cnicamente de la siguiente manera: P= F(P/F, i, n) ; que se lee as : hallar P dado F, una tasa i y n periodos. El t rmino (P/F, i, n) se conoce como el nombre de factor y es un valor que se encuentra en las tablas FINANCIERAS . El factor corresponde al elemento (1+i)-n de la f rmula, se conoce con el nombre de factor de descuento o factor de valor presente para pago nico.

9 El diagrama econ mico para la f rmula expresada anteriormente seria: guia DE CLASE MATEMATICAS FINANCIERAS MAGDA BUITRAGO P gina 4 Ejemplo Dentro de dos a os y medio deseo cambiar mi actual maquinaria empacadora por una de mayor capacidad. En esa fecha, estimo que puedo venderla por $ y la de mayor capacidad estar costando $ Cu nto capital debo consignar en una entidad financiera que paga el 3% mensual, si deseo adquirir la nueva maquinaria? Soluci n: Como la actual maquinaria la vender a por $ dentro de dos a os y medio y la nueva tendr a un costo de $ , realmente debo tener consignado en la entidad financiera en esa fecha $ Se tiene que: P = F(1+i)-n = (1+ )-30 = $ ,08 ; Ejemplo Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i = 10%. Soluci n: Hay que considerar que cada valor que est a la derecha de P, es un valor futuro (F). Seg n el diagrama se tendr : P = F(1+i)-n = 500(1+ )-2 + 700(1+ )-4 + 900(1+ )-6 = 413,22 + 478,10 + 508,02 P = $ ,36 Ejemplo Qu capital es necesario invertir hoy en una instituci n que capitaliza el 3% mensual a fin de obtener en dos a os $ Soluci n: P = F(1+i)-n = (1+ 0,003)-24 = $ ,47 ; Ejemplo Una persona desea invertir hoy una suma de dinero en una instituci n financiera para retirar $ dentro de 2 a os Cu l ser la suma a depositar si el rendimiento reconocido es de 7,01 trimestral?

10 Soluci n: Como el inter s que se da en el ejercicio es trimestral, y teniendo en cuenta que debe haber una relaci n de homogeneidad entre i y n, los dos a os se hacen equivalentes a 8 trimestres. P = F(1+i)-n = (0,0701)-8 = $ ,35 ; CALCULO DEL N MERO DE PERIODOS. Sabemos que: = ; despejando se tiene: ; aplicando logaritmos tenemos: de donde: Se puede hallar n por medio del uso de la nemotecnia o P= guia DE CLASE MATEMATICAS FINANCIERAS MAGDA BUITRAGO P gina 5 Ejemplo A cu nto tiempo $ es equivalente a $ hoy, sabiendo que el inter s que gana el dinero es del mensual?. Soluci n: Como la tasa de inter s est dada en t rmino mensual, entonces el n mero de periodos ser tambi n en meses. Se sabe que: CALCULO DE LA TASA DE INTERES (i). Se sabe que: despejando se obtiene: aplicando ra z en sima a ambos lado de la ecuaci n se tiene: por lo tanto; Se puede hallar i por medio del uso de las mnemotecnia o P= Ejemplo Hace un a o se hizo un dep sito de $ en una corporaci n y hoy el saldo en dicha cuenta es de $ Cu l es la tasa de inter s mensual que reconoce la corporaci n.