I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de …

1 L mitesdeFunciones I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matem ticasMatem ticasde1 y 2 de BachilleratoPor Javier Carroquino CaZas Catedr tico de matem ticas del Siete ColinasCeuta 2004L mites de Funciones Javier Carroquino Ca asMatem ticas de 1 y 2 de bachillerato Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnolog aL mites de FuncionesPorJavier Carroquino Ca asCatedr tico de matem Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matem ticasCeuta 2004 Javier Carroquino Ca Siete Colinas ( Departamento de Matem ticas)L mites de FuncionesDep sito Legal : CE&127&2004 ISBN : 84&689&0025&7N mero de Registro : 64185838 Ceuta 2004 Pr logo Con este tema L mites de Funciones , se avanza unpaso m s en el estudio de las funciones que iniciamoscon los temas Funciones Reales de Variable Real , Gr ficas de Funciones Reales de Variable Real y Propiedades y formas de las Funciones Reales deVariable Real , pertenecientes a la misma colecci n.

2 Dentro del An lisis Matem tico&una de las ramas deMatem ticas que m s ha contribuido al desarrollo cient ficoy tecnol gico&es b sico el concepto y estudio de los l mitesde las funciones, que nos permitir conocer elcomportamiento, la forma y gr fica de una funci n cuandola variables se dirige hacia el infinito ( 4) o cuando lavariable se aproxima tanto como podamos imaginar a uncierto n mero x = a para el cual la funci n no toma ning nvalor , pero, sin embargo, si toma valores para cualquiern mero pr ximo a ese a. Todo esto con el fin de recabarinformaci n sobre una funci n, la cual nos permitir conocer su forma, sus propiedades y, en definitiva, sugr fica, tanto en todo su dominio como en las proximidades(en un entorno) de un vez desarrollados los conceptos y significadosdel l mite de una funci n, pueden construirse otros que sonpilares fundamentales del An lisis Matem tico, continuidad , derivaci n e integraci n , que veremosen temas ltimo, indicar que el contenido de este tema es til tanto para alumnos de primer curso como de segundo debachillerato, especialmente para aquellos que cursan algunamodalidad cient fica o tecnol ticas de 1 y 2 de bachilleratoL mites de Funciones ndice P n.

3 Mite de una funci n en un punto. Idea 1 Ejemplo 1 .. mite de una funci n en un punto. Idea gr fica .. 5 Ejemplo 2 .. mite de una funci n en un punto. Definici n .. 8 Ejemplo 3 .. 11 Ejemplo 4 .. de los l mites .. 12 Ejemplo 5 .. 13 Ejemplo 6 .. 14 Ejemplo 7 .. 14 Ejemplo 8 .. mite de una funci n suma o resta de otras dos ..15 Ejemplo 9 .. 16 Ejemplo 10 .. mite de una funci n producto de otras dos .. 17 Ejemplo 11 .. mite de una funci n cociente de otras dos .. 18 Ejemplo 12 .. 18 Ejemplo 13 .. mite del producto de un n mero por una funci n .. 20 Ejemplo 14 .. mite de una funci n potencia de exponente natural .. 21 Ejemplo 15 .. mite de una funci n potencia de exponente entero .. 22 Ejemplo 16 .. mite de una funci n potencia de exponente racional ..22 Ejemplo 17 .. 23 Ejemplo 18 .. mite de una funci n exponencial .. 23 Ejemplo 19 .. mite de una funci n logar tmica.

4 24 Ejemplo 20 .. 24 Ejemplo 21 .. 25 Ejemplo 22 .. mite de una funci n elevada a otra funci n .. 25 Ejemplo 23 .. mites de funciones trigonom tricas .. 27 Ejemplo 24 .. simo en un punto .. 27 Ejemplo 25 .. 27 Ejemplo 26 .. de un infinit simo en un punto .. 28 Ejemplo 27 .. 29 Ejemplo 28 .. simos equivalentes .. 30 Ejemplo 29 .. 30 Ejemplo 30 .. 30 IIMatem ticas de 1 y 2 de bachilleratoL mites de Funciones P indeterminaci n 0/0 .. de resolver la indeterminaci n0/0 .. 33 Ejemplo 31 .. 34 Ejemplo 32 .. mites laterales de una funci n en un punto .. 36 Ejemplo 33 .. 42 Ejemplo 34 .. mites infinitos en un punto .. 44 Ejemplo 35 .. 51 Ejemplo 36 .. 53 Ejemplo 37 .. mites finitos en el 55 Ejemplo 38 .. indeterminaci n 4'4 .. 61 Ejemplo 39 .. 62 Ejemplo 40 .. 64 Ejemplo 41 .. 65 Ejemplo 42 .. mites infinitos en el infinito .. 67 Ejemplo 43.

5 68 Ejemplo 44 .. 70 Ejemplo 45 .. 71 Ejemplo 46 .. 72 Ejemplo 47 .. indeterminaci n 4&4 .. 75 Ejemplo 48 .. 76 Ejemplo 49 .. 76 Ejemplo 50 .. 76 Ejemplo 51 .. 77 Ejemplo 52 .. 78 Ejemplo 53 .. indeterminaci n 14 .. 80 Ejemplo 54 .. 81 Ejemplo 55 .. n mero e .. funciones cuyo l mite es el n mero e .. 84 Ejemplo 56 .. 85 Ejemplo 57 .. 85 Ejemplo 58 .. 85 Ejemplo 59 .. 86 Ejemplo 60 .. 87 Ejemplo 61 .. 87 Ejemplo 62 .. 87 Ejemplo 63 .. 88 Ejemplo 64 .. 88 Ejemplo 65 .. 89 Ejemplo 66 .. 90 Ejemplo 67 .. 91 Ejemplo 68 .. 91 Matem ticas de 1 y 2 de bachillerato P gina 1L mite de Funciones lim( )xafx l = este tema abordaremos el concepto de l mite de una funci n real de variable realcuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un cierto n mero a, o bien cuando tiendea infinito (+4 o &4), esto es, la variable se hace tan grande (positiva o negativa) como una comprensi n y utilizaci n del concepto, intentaremos abordarlo de formaintuitiva y, posteriormente, entendiendo su definici n matem tica y, muy importante, suinterpretaci n gr fica.

6 Resaltemos que no se debe intentar aprender los conceptos te rico, talescomo definiciones o propiedades, sin haber comprendido previamente el concepto de un modointuitivo y saber trasladar este a una visi n gr ltimo decir, que es recomendable, antes de iniciarse en este tema, que el alumnoconozca previamente los siguientes, de esta misma colecci n:LFunciones Reales de una Variable ficas de Funciones Reales de Variable y formas de las Funciones Reales de Variable mite de una funci n en un punto. Idea intuitiva-\Sea y = f (x) una funci n real de una variable real ( x es la variable independiente).\Sea Df el dominio de la funci n f, es decir, el conjunto de n meros que tienen imagen.\Sea a un n mero real, es decir, a 0 . Puede ocurrir que a pertenezca o no pertenezcaal dominio Df , es decir:Si a0Df , entonces f (a) existe, es decir, f (a)0 Si a Df , entonces f (a) no existe, es decir, f (a) \Sea l un n mero real cualquiera, es decir, l 0.

7 \Vamos a desarrollar y definir el siguiente concepto: L mite de la funci n f (x) cuando x tiende a a es igual a l \La frase anterior se expresa matem ticamente del siguiente modo: Ya sabemos como se expresa el concepto en forma matem tica. Ahora debemoscomprender su significado. L mites de Funciones La lectura de la expresi n matem tica de la izquierda es ell mite de la funci n f (x) cuando x tiende a a, es igual a l Matem ticas de 1 y 2 de bachillerato P gina 2L mite de Funciones lim ()()xafx l fa ==lim ()()xafx l fa = lim( )xafx l =\Veamos el significado del concepto:\ Cuando x toma valores muy pr ximos a a, entonces f (x) (las im genes de esos x)toman valores muy pr ximos a l. Es decir:Si x a , entonces f (x) lDicho de otra forma: Si x toma valores infinitamente pr ximos a a, las im genesde esos x toman valores infinitamente pr ximos a l.\ A adimos a lo anterior que, a partir de un n mero pr ximo a a, cuanto m s cerca est x de a, m s cerca estar f (x) de l.

8 Es decir:Si x a , entonces f (x) lSi x a , entonces f (x) l\ Adem s de los puntos anteriores, puede darse alguno de los casos siguientes:\ El n mero a pertenece al dominio y es f (a) = l. En este caso ser :\ El n mero a pertenece al dominio, pero f (a) .. l. En este caso ser :\ El n mero a no pertenece al dominio, es decir f (a) . En este caso ser :\Ahora vamos a dar una definici n intuitiva del concepto:Insistimos en la idea:Imagina una sucesi n de n meros x1, x2, x3 , x4 , que se aproximan infinitamente(est n infinitamente pr ximos) a a. Entonces, sus im genes, f (x1), f (x2), f (x3), f (x4) se aproximan infinitamente a l, de tal modo que si queremos que una imagen f (xi), est tan pr ximo a l como queramos, s lo tenemos que elegir un n mero xi que est losuficientemente pr ximo a ocurrir que no exista un n mero xi tal que f (xi) = l, o puede ocurrir que f (a) = utilizado las expresiones y paradistinguir entre pr ximo y m s pr expresi n de la izquierda nos indica que ell mite de la funci n f (x) cuando x tiende a a esigual a la imagen de la funci n en expresi n de la izquierda nos indica que ell mite de la funci n f (x) cuando x tiende a ano es igual a la imagen de la funci n en expresi n de la izquierda nos indica que ell mite de la funci n f (x) cuando x tiende a a esigual a l.

9 No dice nada sobre la imagen de dice que el l mite de la funci n f (x), cuando x tiende a a, es igual a l si para valoresde x infinitamente pr ximos a a, las im genes de esos x est n infinitamente pr ximosa l, de tal modo que cuanto m s pr ximo est x de a, m s pr ximo estar f (x) de ticas de 1 y 2 de bachillerato P gina 3L mite de Funciones \Antes de dar la definici n formal y matem tica al concepto, veamos un ejemplo que nosafiance la idea la funci n . fxxx()= 242Es evidente que el dominio de esta funci n es el conjunto formado por todos los n meroreales excepto el 2, es decir, Df = &{2} = (&4,2)c(2,+4). En efecto: f()200= RSin embargo, si le damos a x valores distintos de 2, pero infinitamente pr ximos a este,las im genes de esos valores existen, es decir:Si xentonces f xn muy proximo an muy proximo aun numero real ==200,() & &&Nos hacemos la siguiente pregunta (que planteamos de diversas formas): C mo se comporta la funci n en las proximidades de x = 2?

10 C mo son las im genes de f (x) cuando x 2 ? C mo es la gr fica de la funci n f (x) cuando x 0E (a) ?, siendo un n peque definitiva: Cu l es el valor de ?lim( )xafx Vamos a encontrar ese valor de un modo experimental, es decir, daremos a la variable xvalores num ricos muy pr ximos a 2 y veremos cuanto valen las im genes de esos n ello construiremos dos tablas de valores para la funci n f (x). Una con valores de xmuy pr ximos a 2 por su izquierda, es decir, x = 2& y otra con valores muy pr ximos por suderecha, esto es, x = 2+.Si los valores que damos a x se van aproximando cada vez m s a 2 y esa aproximaci nes tanta como queramos, puede expresarse del modo x 6 2& (x tiende a 2 por su izquierda, estoes, los valores son menores que 2) y x 62+ (x tiende a 2 por su derecha, esto es, los valores sonmayores que 2). x = 2&fxxx()= 242x = 2+fxxx()= 24213351 93 92 14 11 993 992,014 011 9993 9992 0014 0011 99993 99992 00014 00011 999993 999992 000014 00001 x 6 2&f (x)64&x 62+f (x)64+En la tabla de laizquierda se apreciaque cuando x seaproxima a 2 por suizquierda (x<2), lasim genes f (x) se vanaproximando a 4 porsu izquierda (f (x) = 4&)A la derecha tenemosque cuando x seaproxima a 2 por suderecha (x>2), susim genes se vanaproximando a 4 porsu derecha ( (f (x) = 4+)Matem ticas de 1 y 2 de bachillerato P gina 4L mite de Funciones {fxxgxxxxxxsi x()()()()===+= + 24222222 Pues bien, en este caso se dice que el l mite de la funci n f (x) cuando x tiende a 2 es igual a 4"Se expresa de la forma:El significado de esta expresi n es la siguiente.)}