Il chi-quadro - pugliasalute

1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 1 Capitolo 5. Chi quadro. Goodness-of-fit test. Test di simmetria. Tabelle 2 2. Tabelle m per la continuit . Test esatto di Fisher. Tabelle 2x2 per dati appaiati: test chi-quadroIl test del chi-quadro 2 serve a saggiare l'ipotesi che una certa discrepanza trafrequenze attese e frequenze osservate sia dovuta:H0: al caso (campionamento, imprecisione, errore distribuito, ecc.) oppure aH1: al fatto che il campione provenga da una popolazione diversa da quella da cuideriva la frequenza test consiste nel rapporto: 2=(frequenze osservate - frequenze attese)frequenze attese2 Nota bene: le frequenze sono sempre frequenze assolute.

2 Mai si possono utilizzarefrequenze percentuali o relative. Le percentuali quindi vanno sempre ritrasformatein frequenze assolute moltiplicandole per il numero di osservazioni. Con i soli datipercentuali (senza il numero totale di osservazioni da cui ricavare le frequenzeassolute) non si pu fare alcun al solito, esiste una tabella di valori critici. Se il valore del 2 supera almenoquello tabulato per = si accetta l'H1 e si rifiuta l' critici di 2 corrispondenti a P e P di avere un 2 maggioreGradi di libert = o 5% = o 1% noti che il valore critico di 2 con 1 grado di libert corrisponde al valore criticodi z al (se non altro questo ci pu aiutare a ricordarlo).

3 Esistono diversi test basati sul 2. Vediamo insieme i pi importanti:Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 2 Goodness-of-fit (bont di adattamento)Per testare l'adattamento dei dati ad una distribuzione basta confrontare lefrequenze rappresentate nell'istogramma con le frequenze previste dalladistribuzione per le stesse classi dell' esempio. Immaginiamo il seguente campione:1,7,6,4,5,6,8,9,4,5,6,5,4,2,4,8 ,2,6,4,9,2,3,4,7,6,5,4,5,2,3,5,6,8,5,3,6 ,7,0,2,4,3,5,6,2,5,1,1,6,5,9,4,6,4con media= , deviazione standard= e numerosit = volta messi in ordine crescente i dati pi facile costruire l'istogramma difrequenze:0,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3, 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,9cla ssifrequenze02468100123456789 Con gli stessi dati allestiamo la seguente tabella.

4 Limiteinferiore(incluso) (escluso) (z) (z) (dall areacompresatra i confinidella classe)Frequenzeatteseassolute 2- + + + + + + + + 3+ + - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 3Il 2 calcolato ha gradi di libert pari al numero delle classi - 3, cio 10-3= valore critico del 2 (vedi tabella) con 7 GDL al livello di probabilit dello Il valore trovato inferiore. Quindi le discrepanze tra le frequenzeosservate e le frequenze attese dalla distribuzione normale non sono manteniamo l'ipotesi nulla che vuole che la nostra distribuzione siacompatibile con quella di un campione estratto da una popolazione condistribuzione : le prime e ultime classi con frequenza attesa inferiore a 5 vanno accorpate alleclassi adiacenti.

5 Nell'esempio ci stato omesso per non complicare di simmetriaMolto pi semplice del precedente, il test di simmetria basato sul fatto che, se ladistribuzione simmetrica, met dei valori (n/2) saranno inferiori alla media e met (n/2) saranno superiori (escludendo che esistano valori identici alla media, o se vene sono li togliamo dal conto). In pratica, tale test corrisponde ad un confronto tramedia e mediana. Si tratta di confrontare le frequenze osservate dei valori inferiorie superiori alla media con le frequenze attese (n/2 ed n/2). Non occorre calcolarenessun altro esempio, immaginiamo il seguente campione:4, 5, 8, 3, 4, 8, 4, 5, 6, 3, 4, 2, 3, 4, 9, 5con media= e numerosit = valori inferiori alla media sono 9: 4, 3, 4, 4, 3, 4, 2, 3, 4I valori superiori alla media sono 7: 5, 8, 8, 5, 6, 9, 5contro frequenze attese di 8 e il test consister nel calcolo: 222988788025= + =()().

6 Anche questa volta il risultato non statisticamente significativo. Si trattacomunque di esempi costruiti su campioni molto piccoli per amore di semplicit .Tale 2 ha 1 solo grado di libert in quanto le frequenze attese sono date dallamedia delle due frequenze osservate. Pertanto, se una frequenza osservata varia inun senso rispetto alla frequenza attesa, l'altra varier in senso opposto. Quindi unasola frequenza osservata libera di variare mentre l'altra vincolata a variare insenso opposto per rispettare la - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 4 Tabella 2 2La tabella 2 2 serve a valutare l'associazione tra due caratteri o a confrontare dueproporzioni.

7 Le due cose sono in realt due aspetti dello stesso fenomeno. Latabella 2x2 si costruisce come una normale tabella a due entrate. Ogni carattere scisso in due modalit che devono esclusive (senza alcuna sovrapposizione) (comprendono o esauriscono tutte le possibilit ) tra i soggetti (il fatto di trovare una modalit di un carattere in unsoggetto non influisce sulla modalit presente nel soggetto successivamentecampionato e in tutti gli altri).Esempi di tabelle 2 2:Colore degli occhicelestenon-celesteColore dei capellibiondi246non-biondi2890per rispondere al quesito: esiste una relazione tra colore degli occhi e colore deicapelli?

8 Tipo di scuolaliceo 'A'Liceo 'B'Esiti scrutinipromossi o rimandati450640bocciati11060per rispondere al quesito: la proporzione prosmossi/bocciati uguale nelle duescuole?Recettore KpresenteassenteRecettore Qpresente7214assente5473per rispondere al quesito: l espressione del recettore K associata all espressionedel recettore QDiaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 5Le tre tabelle rispondono a quesiti solo apparentemente diversi. In tutti i casi ci sichiede se ci sia una certa relazione tra le modalit delle due variabili o esiste una certa relazione, allora i rapporti o proporzioni o percentuali in tabellatendono a divergere: il 24/(24+28) = = 46% delle persone con occhi celestisono anche bionde, mentre appena il6/(6+90) = = 6% appena delle personecon occhi non-celesti sono invece non c relazione, i rapporti tendono a test del 2 permette di verificare l ipotesi nulla.

9 Occorre a questo punto trovarele frequenze attese (dall'ipotesi nulla) che equalizzano le due proporzioni. Ci estremamente semplice. Basta, per ogni casella, calcolare il prodotto (totale riga totale colonna) diviso per il totale generale:Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 6 Frequenze osservate:Colore degli occhicelestenon-celestetotali di rigaColore dei capellibiondi24 (46%)6 (6%)30non-biondi28 (54%)90 (94%)118totali dicolonna5296148totale generaleFrequenze attese:Colore degli occhicelestenon-celestetotali di rigaColore dei capellibiondi52 30/148= (20%)96 30/148= (20%)30non-biondi52 118/148= (80%)96 118/148= (80%)118totali dicolonna5296148totale generaleLe frequenze attese trovate equalizzano le proporzioni nel senso che = (a parte qualche lieve differenza dovuta all'arrotondamento) lasciandoinalterati i totali marginali di riga e di colonna.

10 2222222222410510561951952841541590765765 1351051351951354151357651822510518225195 182254151822576517359354392383347= + + + ==+++==+++==+++=(.).(.).(.).(.).. Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 5 - Pag. 7Il valore trovato ben superiore al valore critico di 2 con 1 grado di libert sia per = che per = Pertanto si rigetta l'ipotesi nulla di indifferenza,concludendo che esiste una relazione tra colore dei capelli e colore degli sar notato come la differenza tra frequenza osservata e frequenza attesa sia paria in tutte le 4 caselle. Infatti, dovendo rispettare i totali marginali, sesottraiamo una certa quantit ad una casella dobbiamo aggiungere la stessaquantit alla casella adiacente, sia in verticale che in orizzontale.