Imaginäre Zahlen / Komplexe Zahlen - uni-magdeburg.de

1 Imagin re Zahlen / Komplexe Zahlen Die Entwicklung der Zahlenmengen wurde weitgehend von entsprechenden historischen Notwendig- keiten bestimmt. In Urzeiten, als es um das einfache Abz hlen von Gegenst nden ging, gen gte die Menge der positiven ganzen (nat rlichen) Zahlen , um allen anstehenden Aufgaben zu gen gen. Eine grafische Darstellung dieser Zahlen ist auf einem Zahlenstrahl m glich. Mit finanziellen Schulden kamen notwendigerweise die negativen ganzen Zahlen hinzu. Die Darstel- lung auf einem einfachen Strahl war nicht mehr m glich.

2 Vielmehr musste jetzt eine Zahlengerade bem ht werden, auf der jeder zahl ein isolierter Punkt zugeordnet ist. Als man lernte mit Bruchteilen eines Ganzen umzugehen, tauchte die Menge der gebrochenen (rati- onalen) Zahlen auf. Grafisch werden diese rationalen Zahlen logischerweise zwischen den ganzen Zahlen in der Zahlengeraden angeordnet. Damit war einer ganzen Reihe konomischer Notwendigkeiten Rechnung getragen. Man konnte sich zur cklehnen und das Werk betrachten. Und siehe da - die Anordnung der Zahlen auf der Geraden weist L cken auf!

3 Einige dieser L cken wurden sp ter im Rahmen der Mathematik sehr wichtig. Man belegt sie zum Teil sogar mit Namen wie (Pi), e, 2 . Und von diesen L cken gibt es mehr - genau gez hlt sind es unendlich viele. Deshalb erscheint es sinnvoll, diese Zahlengruppe mit einem Namen zu belegen - man nennt sie irrationale Zahlen , weil sie nicht durch einen Bruch, ein Verh ltnis ( Ra- tio ) darzustellen sind. Damit erhalten wir aufeinander aufbauend folgende Zahlenbereiche: Nat rliche Zahlen - ganze positive Zahlen Ganze Zahlen - alle ganzen Zahlen Rationale Zahlen - gebrochene Zahlen und ganze Zahlen gemeinsam Reelle Zahlen - irrationale und rationale Zahlen gemeinsam Mit der nun vollst ndig gef llten Zahlengeraden l sst sich eine gro e zahl mathematischer Operatio- nen ausf hren.

4 So ist die Ausf hrung der Grundrechenarten uneingeschr nkt m glich, wir k nnen quadrieren, potenzieren, logarithmieren, differenzieren und integrieren. Eigentlich k nnten wir wunschlos gl cklich sein. Aber bereits 1545 erkannte der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano beim L sen von Glei- chungen 2. Grades, dass es beim Radizieren Probleme in unserem Zahlensystem gibt. In einigen F l- len traten L sungen auf, die es in Cardanos Augen nicht geben konnte. Sie konnten also nur imagin r (eingebildet) sein.

5 Andere Quellen sehen den Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen mit dem 1572 erschienenen Werk L' Algebra des Italieners Raffaele Bombelli. Wer auch immer - letztendlich ging es darum, den Zahlenbereich derart zu erweitern, dass auch Wur- zeln negativer Zahlen berechnet werden k nnen. Dies gelang durch Einf hrung einer zahl i als L - sung der Gleichung x 2 1. Die zahl i wurde von Euler vorgeschlagen und wird als imagin re Ein- heit bezeichnet. Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Komplexe Zahlen -1- Wo aber bringt man diese Zahlen in der grafischen Darstellung unter?

6 Unsere Zahlengerade war ja bereits voll! Die nahe liegende M glichkeit ist ein Ausweichen von der ein- dimensionalen Geraden zur zweidimensionalen Fl - che. Dort gibt es neben der Abszisse, die man f r die reellen Zahlen verwenden kann, auch noch die Ordi- nate, auf der sich die imagin ren Zahlen unterbringen lassen. Um den Raum zwischen den Achsen, der ja nun bes- tens adressierbar ist, nicht zu verschwenden, kann man auch dort Zahlen ansiedeln, die dann eine reelle und eine imagin re Komponente aufweisen - die komplexen Zahlen .

7 F r die Menge der komplexen Zahlen wird gew hnlich das Symbol benutzt. Komplexe Zahlen werden blicherweise in der Form a bi dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imagin re Einheit. Mit derart dargestellten komplexen Zahlen l sst es sich hnlich wie mit Vektoren rechnen. Die Komponenten liegen entlang der reellen bzw. der imagin ren Achse. Man nennt a den Realteil und b den Imagin rteil von a bi . Interessant ist es zu vermerken, dass es in der Menge der komplexen Zahlen keine Ordnungsrelati- on kleiner als < oder gr er als > gibt (im Gegensatz zu den reellen Zahlen ).

8 Von zwei unter- schiedlichen komplexen Zahlen l sst sich nicht sagen, welche die gr ere bzw. die kleinere zahl ist, weil der Menge ein lineares, eindimensionales Ordnungsprinzip fehlt. Notation komplexer Zahlen Wie bereits aus der Grafiken zu ersehen existieren 2 verschiedene Darstellungsvarianten komplexer Zahlen : Die kartesische oder algebraische Form z a bi . Sie erkl rt sich eigentlich selbst aus ihrer Darstellung in der komplexen (Gau 'schen) Zahlenebe- ne bzw. entspricht dem oben dargelegten Zusammenhang.

9 Polarform (trigonometrische Form) und Exponentialform z r ei r (cos i sin ). Eine Umrechnung in die kartesische Form ergibt a r cos und b r sin . Eine Umrechnung der kartesischen in die Polarform ergibt: a arccos f r b 0. r r z a b 2 2. sowie bei z 0. a . arccos f r b 0.. r . Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Komplexe Zahlen -2- Die Gleichheit von Polarform und Exponentialform wird h ufig als Eulerschen Identit t, Eulersche Formel oder Formel von Euler-Moivre bezeichnet (siehe dazu auch: trigonometrische Funktio- nen).

10 Sollte das noch verst ndlich sein, tr gt zur Verwirrung des geneigten Lesers die h here didakti- sche Weisheit verschiedener Autoren bei, die eine Vereinfachung der Bezeichnungen vorneh- men. So findet man gelegentlich - z r cis - cis f r + i oder - z r E( ) - E f r ei . In der komplexen Zahlenebene entspricht r dem Abstand des komplexen Punktes zum Ursprung, der Vektorl nge r wird als Betrag bezeichnet. entspricht dem Winkel des Vektors . zur reellen Achse und wird Argument, Winkel oder Phase genannt.