Induction électromagnétique Chapitre IV : …

1 Sp ciale PSI - Cours "Electromagn tisme"1 Induction lectromagn tiqueChapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tiqueObjectifs: Coe cients d inductance propre L et mutuelle M Bilan nerg tique1. Inductance D nition, notationsUn circuit liforme(C)parcouru par un courant d intensit icr e un champ magn tique Bque l on quali edepropre,paropposition au champ ext rieur dont il n est pas responsable mais dans lequel il peut- tre plong .Le$ux de ce champ propre travers le circuit qui l a cr est appel le ux propre.(C)(S)dSBrComme Bet donc sont proportionnels i(loi de Biot Savart), le rapport /ine d pend plus du courant qui parcourtle circuit et constitue donc une caract ristique intrins que de celui-ci ; on l appelle l inductance propre :L= proprei= S SiLes unit s du Syst me d Unit Internationales sont : L: Henry, symboleH : Weber, symboleWb(1Wb= )Remarques :1) L inductance propreLest une grandeurtoujours ) L inductance propreLd pend de la g om trie du circuit et des propri t s magn tiques du milieu dans lequel il estplong.

2 3) Il n est pas n cessaire qu un circuit soit parcourur ellementpar un courant pour calculer son inductance propre, ilsu2t d imaginer l existence d un courantiquelconque et calculer le$ux propre ExempleiilSNspiresElectromagn tisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tique2On consid re un sol no de de longueur comportantNspires r guli res, suppos es jointives, de sectionS. Le champ magn tique B l int rieur du sol no de (champ propre) est B= 0ni ez= 0N i ezavec ezvecteur unitaire de l axe du soleno de ; Le$ux propre propreest alors propre=N 0=N(BS)= 0N2S i L inductance propreLdu sol no de est alors :L= proprei= 0N2S ii= 0N2S Exercice n 01:Inductance propre d un torehNspires baOn consid re un tore (de rayons interneaet externeb) de section rectangulaire (hauteurh) comportantNspires. D terminerl inductance propreLdu Loi d Ohm aux bornes d une portion de circuit pr sentant une inductance propreLa loi d Ohm g n ralis e s crituAB=RiAB eABext eABpropreLa d auto inductioneABpropreest donn e par la loi de Faraday :eABpropre= d propredt= d(Li)dtSi le circuit ne se d forme pas (bobine rigide) et si le milieu magn tique dans lequel il est plong est lin aire ( rconstante,cette restriction exclue les mat riaux ditsferromagn tiques), alors son inductance propre ne d pend pas du temps et :eABpropre= Ldidt uAB=RiAB eABext+LdidtDans le cas o il n y a pas de ph nom ne d Induction externe (le champ magn tique externe est nulle : Bext= 0)onobtient:uAB=RiAB+LdidtLABiRdtdiL ABiRElectromagn tisme.

3 Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn Energie magn tiqueOn tudie la r ponse d un sol no de (longueur comportantNspires de sectionS) de r sistanceRet d inductanceL un chelon de tension. Pour cela on l alimente par un g n rateur parfait d livrant une tensionu. On suppose qu il n y a pas dechamp magn tique externe et que l inductance propreLest constante ; on a doncu=Ri+Ldidtavecu(t)= 0 t<0E=cste t>0 i(t)=ER 1 exp t avec =LRPour faire un bilan nerg tique on multiplie l quation di; rentielle paridtu(idt)=Ri(idt)+Ldidt(idt) uidt=Ri2dt+Lidi t0 Eidt nergie d livr epar le g n rateur= t0Ri2dt nergie dissip epar e;et Joule+ t0 Lidi nergie emmagasin epar la bobineEntre0ett1le sol no de accumule une nergie magn tiqueWBavecWB= t=t1t=0 Lydy= y=iy=0 Lydy=12Li2Il reste relier cette nergie la densit volumique d nergie lectromagn tiquew= 0E22+B22 0. Le champ propre du sol no de (consid r comme id al) est : nul l ext rieur gale 0N i l int rieur l nergie magn tique emmagasin e est 0S = 0N i 22 0S =12 0N2S i2 l inductance propre du sol no de estL= 0N2S On a courantiqui parcourt un circuit, d inductance propreL,cr e un champ magn tique propre Bpropreauquel est associ une nergie magn tique propreWBdonn e parWB=12Li2=12i propre=12 espaceB2propre 0d Remarque :Cette derni re expression permet d obtenir l inductance propre de circuits non liformes pour lesquels, larelation de d nitionL= proprei= S Siest inapplicable faute de pouvoir calculer le$ux n 02:c ble coaxialElectromagn tisme.

4 Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tique4hR1R2r()rBrIISoit un c ble constitu de deux cylindres coaxiaux et suppos de longueur in nie. On suppose que le courant circule en p riph riedu conducteur central ( me du coaxial), le retour tant assur par le conducteur externe. Les densit s de courants surfaciques terminer le champ magn tique duirewBetWB. Montrer alors queL= 0h4 Inductance Flux de mutuelle inductanceSoient deux circuits orient s rep r s par(1)et(2)tels que : quand le circuit(1)est parcouru par une intensit de couranti1, le circuit(2)embrasse une partie (ou la totalit ) duchamp magn tique B1cr e par(1), quand le circuit(2)est parcouru par une intensit de couranti2, le circuit(1)embrasse une partie (ou la totalit ) duchamp magn tique B2cr e par(2).1 Bri1122 Bri212On d signe par : 1 2le$ux du champ magn tique B1 travers le circuit(2): 1 2= (2) S 2 1le$ux du champ magn tique B2 travers le circuit(1): 2 1= (1) SCes$ux sont appel s les ux de mutuelle Expression de l inductance mutuelleLes champs B1et B2 tant respectivement proportionnels aux courantsi1eti2,les$ux de mutuelle inductance peuvents crire : 1 2=M12i1et 2 1=M21i2 Electromagn tisme.

5 Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tique5 Nous admettrons que les deux coe2cientsM12etM21sont gaux et d signerons parinductance mutuelleMleur valeurcommune :M= 1 2i1= 2 1i2La dimension d une inductance mutuelle est celle d une inductance propre etMse mesure donc en :1) Comme l inductance propreL, l inductance mutuelleMd pend de la g om trie des deux circuits et des propri t smagn tiques du milieu dans lequel ils sont plong ) Contrairement l inductance propreLtoujours positive,l inductance mutuelleMest une grandeur alg briquedont le signe d pend de l orientation des deux circuits. Si l on inverse l orientation d un des deux circuits l inductance mutuelleMest chang e en son oppos .3) Nul besoin que les circuits soient parcourusr ellementpar des courants pour calculer leur inductance mutuelle, il su2td imaginer l existence d un courantiquelconque (i1oui2)etcalculerle$ux de mutuelle ) En g n ral l inductance mutuelle de deux circuits n a de valeur notable que lorsqu il s agit de parties bobin es n 03: Inductance mutuelle entre deux spiresSoit deux spires, l une de rayonRet d axe(Oz), et une seconde spire de m me axe et de rayonatr s petit par rapport spires sont une distancedl une de l les coe2cientsM12etM21, puis montrer queM=M12=M21.

6 On prendra les orientations choisies sur le sch ma Couplage magn tique entre deux Loi d Ohm aux bornes d une portion de circuit pr sentant une inductance propre et une inductancemutuelleSi deux circuits sont en inductance mutuelle et en supposant qu il n y apas d autre source de champ magn tique, les$ux totaux travers chacune des deux bobines s crivent : 1= 1 1+ 2 1=L1i1+Mi2 2= 2 2+ 1 2=L2i2+Mi1D o les induites :e1= d 1dt= L1di1dt Mdi2dte2= d 2dt= L2di2dt Mdi1dtR1L1MR2L2i1i2 ADCBR1e1R2e2i1i2 ADCBE lectromagn tisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tique6On en d duit les di; rences de potentiel aux bornes de chacun des deux circuits :uAB=v1=R1i1 e1=R1i1+L1di1dt+Mdi2dtuCD=v2=R2i2 e2=R2i2+L2di2dt+Mdi1dtLes quations lectriques de chacune des deux branches sontcoupl espar inductance r gime sinuso dal permanent la pulsation$ces quations deviennent(cf cours sur les transformateurs):v1=R1i1+j$L1i1+j$Mi2v2= R2i2+j$L2i2+j$ Coe(cient de couplage entre deux circuitsLorsque chaque circuit enlace la totalit des lignes de champ de l autre (exemple des deux sol no des embo t s l un dansl autre lorsqu ils ont le m me rayon), la mutuelle inductance de deux circuits donn s prend alors sa valeur maximale qui est :Mmax= L1L2 Quand une partie des lignes de champ correspondant un circuit n est pas enlac e par l autre, alors :M< L1L2On d nit lecoe(cient de couplage(magn tique) de deux circuits par laquantit sans dimension.))

7 0 k=|M| L1L2 Energie magn Expression de l nergie magn tiqueSoient deux circuits en inductance mutuelle. On suppose qu il n y apas d autre source de champ magn l nergie stock e sous forme magn tique quand l intensit du courant vauti1dans le circuit(1)eti2dans le circuit(2):R1L1MR2L2i1i2u1u2On proc de comme au paragraphe ; un bilan d nergie appliqu au syst me{L1,R1;L2,R2}donne : v1=R1i1+L1di1dt+Mdi2dtv2=R2i2+L2di2dt+Md i1dt v1(i1dt)=R1i1(i1dt)+L1di1dt(i1dt)+Mdi2dt (i1dt)v2(i2dt)=R2i2(i2dt)+L2di2dt(i2dt)+ Mdi1dt(i2dt) v1i1dt R1i21dt=L1i1di1+Mi1di2v2i2dt R2i22dt=L2i2di2+Mi2di1d o une nergie magn tique l mentairedWB=dWBcircuit1+dWBcircuit2= v1i1dt R1i21dt + v2i2dt R2i22dt =(L1i1di1+Mi1di2)+(L2i2di2+Mi2di1)=L1i1d i1+L2i2di2+Md(i1i2)Electromagn tisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tique7L nergie magn tique d un syst me de deux circuits coupl s est, en l absence d autres sources de champmagn tique :WB=12L1i21+12L2i22+Mi1i2 Remarque :en d signant par 1et 2les$ux totaux on a : 1= 1 1+ 2 1=L1i1+Mi2 2= 2 2+ 1 2=L2i2+Mi1WB=12(i1 1+i2 2) Coe(cient de couplageRevenons sur le coe2cient de couplage introduit au en remarquant que l encadrement annonc pour la mutuelleinductance,0 k=|M| L1L2 1, peut tre reli au fait que l nergie magn tique stock e est une forme quadratique e;et, en factorisanti22dans l expression de l nergie et en posantX=i1i2:WB=12L1i21+12L2i22+Mi1i2=12 i22 L1X2+2MX+L2 XWB>0 XL1X2+2MX+L2>0 = discriminant deL1X2+2MX+L2 <0 =M2 L1L2<0soit|M|< L1L2 Electromagn tisme.)

8 Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie lectromagn tique8 Exercice n 04: Couplage entre un sol no de et une bobineUne bobine deN2spires enlace un sol no de id al deN1spires, de longueur et de ) Calculer l inductance mutuelleMde ces deux circuits, avec les orientations du sch ma ) La bobine de r sistanceRest ferm e sur elle-m me. Le sol no de est parcouru par le couranti1=i0cos$t. On supposede plus queN2 N1. Montrer que l inductanceL2est n gligeable et d terminer le couranti2dans la ) Proposer une m thode simple, utilisant un g n rateur et un oscilloscope pour n 05: Energie magn tique et inductance mutuelle de deux sol no des coaxiauxLe sol noideS1de longueur 1p n tre dans le sol noideS2coaxial de longueur 2d une quantit variablex(x< 1). Lessol noides, ayantN1spires etN2spires r guli rement r parties sur une couche, sont parcourus par les courantsI1etI2continus. Lesrayons deS1etS2sontR1 1etR2 terminer, pour ce syst me de deux sol noides :1) l nergie magn tiqueW(x);2) l inductance mutuelleM(x)et v ri er l in quationM(x)< L1L2;3) la force lectromagn tique d interaction deS1etS2.