INTEGRALI IMPROPRI - UNIVPM

1 INTEGRALI IMPROPRI1. INTEGRALI IMPROPRI su intervalli limitatiData una funzionef(x) continua in [a,b), poniamo baf(x)dx= lim 0+ b af(x)dxquando il limite esiste. Se tale limite esiste finito, l integrale improprio si diceconvergentee la funzionef(x) si diceintegrabile in senso improprio su[a,b). Se tale limite esiste manon `e finito, l integrale improprio si , data una funzionef(x) continua in (a,b], poniamo baf(x)dx= lim 0+ ba+ f(x)dxquando il limite esiste. Se tale limite esiste finito, l integrale improprio si diceconvergentee la funzionef(x) si diceintegrabile in senso improprio su(a,b]. Se tale limite esiste manon `e finito, l integrale improprio si , una funzionef(x) continua in (a,b) si diceintegrabile in senso improprio su(a,b)se risulta integrabile in senso improprio (a,c] e su [c,b) per qualchec (a,b). In tal casoponiamo baf(x)dx= caf(x)dx+ bcf(x)dxIn particolare l integrale improprio sar`aconvergentese convergono entrambi gli integraliin cui `e stato un esempio.

2 Calcolare 20sinx(1 cosx) che la funzione integrandaf(x) =sinx(1 cosx)23`e continua in (0, 2] e che limx 0+f(x) =+ . Per calcolare l integrale applichiamo la definizione: 20sinx(1 cosx)23dx= lim 0+ 2 sinx(1 cosx)23dx= lim 0+[3(1 cosx)13] 2 = lim 0+3 3(1 cos )13= 3 Quindif(x) `e integrabile in senso improprio in (0, 2].Vediamo ora dei criteri che ci permetteranno di stabilire la convergenza di un integraleimproprio anche nei casi in cui non `e possibile determinare una primitiva esplicita dellefunzione integranda. Nei seguenti risultati si considerano funzioni continue nell intervallo[a,b) ma analoghi risultati valgono per funzioni continue nell intervallo (a,b].1 Teorema (Criterio del Confronto)Sianof(x) eg(x) funzioni continue nell intervallo [a,b) tali che0 f(x) g(x) per ognix [a,b).Se bag(x)dx`e convergente allora baf(x)dx`e baf(x)dx`e divergente allora bag(x)dx`e funzioni integraliF(x) = xaf(t)dteG(x) = xag(t)dtrisultano definite econtinue in [a,b).]

3 Inoltre, essendo 0 f(x) g(x) per ognix [a,b),F(x) eG(x)risultano monotone crescenti in [a,b) con 0 F(x) G(x) per ognix [a,b). Dalteorema sul limite delle funzioni monotone, risulta allora che esistono i limiti limx a+F(x) =supx (a,b]F(x) e limx a+G(x) = supx (a,b]G(x) ed inoltre0 limx a+F(x) limx a+G(x)La tesi segue osservando che se bag(x)dxconverge, allora limx a+G(x) R. Dunquelimx a+F(x) Re quindi baf(x) altra parte, se baf(x)dxdiverge, allora limx a+F(x) = + e quindi limx a+G(x) = + ,da cui segue che bag(x)dxdiverge. Si osservi che sef(x) `e funzione continua e di segno costante in [a,b), allora la funzione in-tegraleF(x) = baf(t)dt`e funzione monotona e quindi esiste limx b F(x), ovvero l integraleimproprio baf(x)dxrisulta convergente o invecef(x) `e funzione continua in [a,b) ma non ha segno costante, potremo usare ilseguente (x) funzione continua in [a,b).]]]]

4 Se ba|f(x)|dx`e convergente allora baf(x)dx` ognix [a,b), consideriamo le funzionif+(x) = max{f(x); 0}ef (x) =max{ f(x); 0}. Osserviamo che tali funzioni risultano non negative e che|f(x)|=f+(x) +f (x) per ognix [a,b), quindi0 f (x) |f(x)|e 0 f+(x) |f(x)| x [a,b)Essendo ba|f(x)|dxconvergente, dal criterio del confronto si ottiene che baf+(x)dxe baf (x)dxsono convergenti. Allora, essendof(x) =f+(x) f (x) per ognix [a,b),dalla definizione si ottiene che anche baf(x)dxconverge. 2Se l integrale ba|f(x)|dxconverge, l integrale baf(x)dxsi diceassolutamente conver-gente. Il precedente corollario afferma che la convergenza assoluta implica la convergenza,ma non vale in generale il osservi che dal precedente corollario segue che sef(x) `e funzione continua e limitatain [a,b), in particolare se limx b f(x) R, allora baf(x)dx`e genere l integrale di confronto usato per stabilire se un dato integrale improprio con-verge o meno `e l integrale delle potenze1xpconp> la funzionef(x) =1xpnell intervallo (0,1].]]]]

5 Allora 1 dxxp= 1 1 p1 psep6= 1 log sep= 10dxxp= 11 psep<1+ sep l integrale improprio 10dxxp`e convergente sep<1 ed `e divergente sep 1. Inparticolare, la funzionef(x) =1xp`e integrabile in senso improprio su (0,1] se e solo sep< una semplice sostituzione, dal precedente esempio si deduce che gli INTEGRALI badx(x a)pe badx(b x)pconvergono se e solo sep< esempio 21(logx)23x(x 1)dx. La funzionef(x) =(logx)23x(x 1)`e funzione continua e positiva in (1,2] elimx 1+f(x) = + . Osservato che logx (x 1) per ognix>0, perx>1 otteniamof(x) =(logx)23x(x 1) (x 1)23x(x 1)=1x(x 1)13<1(x 1)13 x (1,2].Essendo 211(x 1)13dxconvergente, dal criterio del confronto si deduce che anchel integrale dato `e 10tanxx3dx. La funzionef(x) =tanxx3`e continua in (0,1] e limx 0+f(x) = + .Ricordando che tanx>xper ognix (0, 2), otteniamof(x) =tanxx3>xx3=1x2 x (0,1]ed essendo 10dxx2divergente, dal criterio del confronto si deduce che anche l integraledato criterio del confronto e dalla definizione di limite si ottieneCorollario (Criterio del confronto asintotico)Sianof(x) eg(x) funzioni continue e di segno costante in [a,b).))))

6 Se limx a+f(x)g(x)= 0 e se bag(x)dx`e convergente allora baf(x)dx`e limx a+f(x)g(x)= e se bag(x)dx`e divergente allora baf(x)dx`e limx a+f(x)g(x)=` R\{0}(in particolare, sef(x) g(x) perx a+) allora baf(x)dxe bag(x)dxhanno il medesimo precedente criterio abbiamo che sef(x) `e funzione continua in [a,b) e selimx b f(x)1(b x)p= 0conp<1, allora baf(x)dxconverge conp 1, allora baf(x)dxdiverge` R\{0},allora baf(x)dxconverge se e solo sep<1 Utilizzando il concetto di ordine di infinito perx b , possiamo affermare cheseOrd(f(x)) p<1 allora baf(x)dxconverge;seOrd(f(x)) p 1 allora baf(x) criteri valgono nel caso di INTEGRALI di funzioni continue in intervalli del tipo(a,b].Qualche Esempio 10logx xdx. La funzionef(x) =logx x`e continua in (0,1] e limx 0+f(x) = . Ricor-dando che limx 0+x logx= 0 per ogni >0, otteniamo che sep>12alloralimx 0+f(x)1xp= limx 0+xp 12logx= , se12<p<1, il criterio del confronto asintotico ci permette di concludereche l integrale dato `e osservi che dal precedente confronto abbiamo cheOrd(f(x))<12.)

7 101x2e1xdx. La funzionef(x) =1x2e1x`e continua in (0,1] con limx 0+f(x) = + . Dallimite notevole limy + eyy = + per ogni R, si ottiene che per ognip>0 risultalimx 0+f(x)1xp= limx 0+e1x1xp 2= + .Scegliendop 1, il criterio del confronto asintotico ci permette di concludere chel integrale dato osservi che dal precedente confronto otteniamo cheOrd(f(x))>pper ognip>0ed in particolare cheOrd(f(x))>1. 10arctan3 xsinx+ xdx. La funzionef(x) =arctan3 xsinx+ x`e continua in (0,1]. Perx 0+abbiamo arctanx=x+o(x) e sinx=x+o(x), quindi sinx+ x=x+ x+o(x) = x+o( x) e arctan(3 x) =3 x+o(3 x). Allora perx 0+otteniamof(x) =3 x+o(3 x) x+o( x) 3 x x=16 xNe segue che limx 0+f(x) = + e cheOrd(f(x)) =16. Dal criterio del confrontoasintotico ne deduciamo che l integrale dato converge. Determinare per quali valori di >0 converge l integrale 10x log(x+ 1)sin(x ) funzionef(x) =x log(x+1)sin(x )`e continua in (0,1].)))

8 Ricordando che log(x+ 1) =x x22+o(x) e sinx=x+o(x) perx 0, otteniamo chex log(x+ 1) x22e chesin(x ) x perx 0. Alloraf(x) x22x =121x 2perx segue che limx 0f(x) = + se >2 e che in tal casoOrd(f(x)) = 2. Dalcriterio del confronto asintotico deduciamo inoltre che l integrale risulta convergentese e solo se 2<1 ovvero se < i seguenti INTEGRALI IMPROPRI :1. 10dxx+ x[log 4]2. 10logxdx[ 1]3. 114dx 2 x x[ 132 3]4. 10xlog(1 +1x)dx[Integrare per ]Stabilire se i seguenti INTEGRALI improprisono 10sinxx43dx[Converge]2. 10 ex 1(x+ 1)x23dx[Converge]3. 30cosxx 2dx[Diverge]4. 50dx x(x+ 2)[Converge]5. 0sinxx2dx[Diverge]6. /20sin xxdx[Converge]7. 0 /32tan3xdx[Diverge]8. 10log(cosx)xdx[Converge]9. /212 sinxx 1[Diverge]10. 10dxlog(1 + x)[Converge]Stabilire per quali valori di Rrisul-tano convergenti i seguenti 10arctan(x )sinx+ xdx[Converge per ogni ]2. 10logxx dx[Converge se e solo se <1]3.

9 20sinx(1 cosx) dx[Converge se e solo se <1]4. 10dxx logx[Converge se e solo se <1]5. 10logx(x(1 x))2 +1dx[Converge se e solo se <0]6. 10 |tan x|(1 x) dx[Converge se e solo se <32]7. 10cos x ex2(x+3 x) dx[Converge se e solo se <6]8. 10x 33 1 +x2 33 1 +x+xdx[Converge se e solo se >0]62. INTEGRALI IMPROPRI su intervalli illimitatiData una funzione continuaf: [a,+ ) R, poniamo + af(x)dx= limb + baf(x)dxquando il limite esiste. Se tale limite esiste finito, l integrale improprio si diceconvergentee la funzionef(x) si diceintegrabile in senso improprio su[a,+ ). Se tale limite esistema non `e finito, l integrale improprio si dicedivergente. Analogamente, data una funzionecontinuaf: ( ,b] R, poniamo b f(x)dx= lima baf(x)dxquando il limite esiste. Se tale limite esiste finito, l integrale improprio si diceconvergentee la funzionefsi diceintegrabile in senso improprio su( ,b].

10 Se tale limite esiste manon `e finito, l integrale improprio si , una funzione continuaf: (a,+ ) Rsi diceintegrabile in senso improprio su(a,+ ) se lo `e su (a,b] e su [b,+ ) per qualcheb>a. In tal caso poniamo + af(x)dx= baf(x)dx+ + bf(x)dxAnaloghe definizioni nei casi in cui l intervallo di integrazione `e della forma ( ,b).Infine, una funzionef(x) continua inRsi diceintegrabile in senso improprio suRserisulta integrabile in senso improprio su ( ,c] e su [c,+ ) per qualchec R. In talcaso poniamo + f(x)dx= c f(x)dx+ + cf(x)dxIn particolare l integrale improprio sar`aconvergentese convergono entrambi gli integraliin cui `e stato un esempio. Calcolare + funzionef(x) =e1xx2`e continua in [1,+ ) e limx + f(x) = 0. Dalla definizione abbiamo + 1e1xx2dx= limb + b1e1xx2dx= limb + [e1x]b1= limb + e1b e=e 1 Quindif(x) `e integrabile in senso improprio in [1,+ ).]]