Transcription of INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI - calvino.polito.it
1 INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITIE sercizi risolti1. E data la funzionef(x) = 4 x2(a) Provare che la funzioneF(x) =x2 4 x2+ 2 arcsinx2`e una primitiva dif(x) sull intervallo ( 2,2).(b) Provare che la funzioneG(x) =x2 4 x2+ 2 arcsinx2 3`e la primitiva dif(x) sull intervallo ( 2,2) chepassa per P= (1, 32).2. Provare che le funzioniF(x) = sin2x+ 7 eG(x) = 12cos(2x) 11 sono due primitive di una stessa funzionef(x)su IR; trovaref(x) e dire di quale costante differisconoF(x) eG(x).3. Usando le tabelle degli INTEGRALI elementari, calcolare i seguenti INTEGRALI ) 2x+ 5 dxb) x (x2+ 5)3dxc) x3(8 +x4) 53dxd) 3ex1 +e2xdxe) 1x 1 log2xdxf) 1x(logx)2/3dxg) xex2dxh) tanxdxi) 1sin 2xdxj) 7xcos(3x2 5) dxk) cosx sinxdxl) xcos2(3x2+ 5)dx.
2 4. Calcolare per parti i seguenti INTEGRALI .(a) xsinxdx(b) 2xe xdx(c) log(1 +x) dx(d) 2xlog(x 5) dx(e) xlog2(5x) dx(f) (x+ 1)2cosxdx(g) 2xarctanxdx(h) exsinxdx(i) 1 x2dx .5. Calcolare i seguenti INTEGRALI di funzioni razionali.(a) 2x2 3x+ 7x 5dx(b) 3x 4x2 6x+ 8dx(c) 3xx3 1dx(d) 9x+ 8x3+ 2x2+x+ 2dx(e) x5 3x4+x+ 3x2 1dx(f) x5 x+ 1x4+x2dx .6. Calcolare i seguenti INTEGRALI , usando le opportune sostituzioni.(a) exe2x 3ex+ 2dx(b) sinhxcoshx+ 1dx(c) x+ x 1x 5dx(d) 1 2x(3 2x+ 1)dx(e) 1 x2dx(f) 1 +x2dx(g) x2 1 dx(h) 2(1 + tanx)2dx(i) cosx 3sin2x cos3x+ 1sinx dx(j) 14 sinx+ 3 cosxdx .7. Calcolare i seguenti INTEGRALI DEFINITI (a) 10x 1x2 4dx(b) 20log(2x+ 1)(2x+ 1)2dx(c) 169 t 3t 3 t+ 2dt(d) 304|x 1|arctanxdx.
3 8. Calcolare le seguenti aree:(a) Area delimitata dal grafico della funzionef(x) =1 x+1x+1x2e dall asse dellax, perx [1,4].(b) Area della regione pianaRcompresa tra il grafico della funzionef(x) = x2+x6se 0 x < sinxse x 2 e l asse dellex.(c) Area della regioneRdel pianoxycompresa tra la curva di equazioney= exe la retta per A= (1, e) eB= (0, 1).(d) Area della parte di piano compresa tra il grafico della funzionef(x) = (x 1) log(x2+ 4)e l asse dellex, perx [0,1].(e) Area della parte di piano compresa tra il grafico della funzionef(x) =ex e2x1 +e2xe l asse dellex, perx [log1 3,log 3].9. Siaf(x) ={|x|se 1 x <116 x2se 1 x ) Calcolare la media integrale difsull intervallo [ 1,3].}
4 B) Dire se esiste un puntoc [ 1,3] per cuif(c) = .10. Data la funzioneh(x) =xlog(x2+ 1)(a) trovare tutte le primitive dih;(b) trovare la primitiva dih(x) che passa per P= (1,log 2).11. Trovare la primitiva della funzionef(x) =xsinx+ cos2xche si annulla perx= Siaf(x) = |x|sex <114 +x2sex la primitiva generalizzata difche si annulla perx= (a) Per provare cheF(x) =x2 4 x2+ 2 arcsinx2`e una primitiva dif(x) = 4 x2sull intervallo ( 2,2) `esufficiente provare cheF (x) =f(x), per ognix ( 2,2).F (x) =12 4 x2+x2 2x2 4 x2+ 21/2 1 x2/4=12 4 x2+ x22 4 x2+2 4 x2==12 4 x2+ x2+ 42 4 x2=12 4 x2+12 4 x2=f(x).(b) SicuramenteG(x) `e una primitiva dif(x), in quanto differisce daF(x) solo per la costante cheG(1) = (1) =12 4 1 + 2 arcsin12 3= 32+ 2 6 3= (x) eG(x) sono entrambe derivabili su IR.
5 Sono entrambe primitive di una stessa funzionef(x) se si haF (x) =G (x) =f(x), per ognix IR. Calcoliamo le derivate:F (x) = 2 sinxcosx= sin(2x), G (x) = 12( 2) sin(2x) = sin(2x).DunqueF (x) =G (x) =f(x) = sin(2x).Essendo due primitive della stessa funzione sullo stesso intervallo, la loro differenza deve essere la differenza:F(x) G(x) = sin2x+ 7 +12cos(2x) + 11 = sin2x+12(1 2 sin2x) + 18 = 18 +12= (a) 2x+ 5 dx=12 2(2x+ 5)1/2dx=12(2x+ 5)3/23/2+c=13 (2x+ 5)3+c(b) x (x2+ 5)3dx=12 2x (x2+ 5) 3/2dx=12(x2+ 5) 1/2 1/2+c= 1 x2+ 5+c(c) x3(8 +x4) 53dx=14 4x3(8 +x4) 53dx=14(8 +x4) 23 23+c= 3813 (8 +x4)2+c(d) 3ex1 +e2xdx= 3 ex1 + (ex)2dx= 3 arctan(ex) +c(e) 1x 1 log2xdx= 1/x 1 (logx)2dx= arcsin(logx) +c(f) 1x(logx)2/3dx= 1x(logx) 2/3dx=(logx)1/31/3+c= 33 logx+c(g) xex2dx=12 2xex2dx=12ex2+c(h) tanxdx= sinxcosxdx= sinxcosxdx= log|cosx|+c(i) 1sin 2xdx= 12 sinxcosxdx=12 cosxsinxcos2xdx=12 1cos2x1tanxdx=12log|tanx|+c(j) 7xcos(3x2 5) dx=76 6xcos(3x2 5)
6 Dx=76sin(3x2 5) +c(k) cosx sinxdx= cosx(sinx)1/2dx=23(sinx)3/2+c=23 sin3x+c(l) xcos2(3x2+ 5)dx=16 6xcos2(3x2+ 5)dx=16tan(3x2+ 5) +c4. Ricordiamo la regola di integrazione per parti: f (x) g(x) dx=f(x) g(x) f(x) g (x) dx(a) Per ricavare xsinxdxscegliamo{f (x) = sinxg(x) =x= {f(x) = cosxg (x) = 1 Otteniamo: xsinxdx= xcosx ( cosx) dx= xcosx+ sinx+c(b) Per ricavare 2xe xdx= 2 xe xdx, conviene scegliere{f (x) =e xg(x) =x= {f(x) = e xg (x) = 1 Dunque:2 xe xdx= 2( x e x ( e x) dx)= 2( x e x e x) +c= 2e x(x+ 1) +c.(c) In questo caso conviene vedere la funzione integranda log(1 +x) come prodotto della funzione costante 1 perla funzione log(1 +x) e scegliere{f (x) = 1g(x) = log(1 +x)= {f(x) =xg (x) =11 + log(1 +x) dx=xlog(1 +x) x1 + calcolare l ultimo integrale, conviene prima eseguire un trucco algebrico, e poi sfruttare la linearit`adell integrale; nel prossimo esercizio vedremo un procedimento pi`u completo che tratta dell integrazione dellefunzioni ora, scriviamo:x1 +x=x+ 1 11 +x=1 +x1 +x 11 +x= 1 11 +x.}}}}}}
7 Dunque x1 +xdx= dx 11 +xdx=x log|1 +x|+ all integrale di partenza, si ha: log(1 +x) dx=xlog(1 +x) x+ log (1 +x) + ultima uguaglianza `e giustificata dal fatto che la funzione integranda `e definita solo perx > 1.(d) 2xlog(x 5) dx=x2log(x 5) x2x 5dxAnche in questo caso, manipoliamo l ultima funzione razionale, nel seguente modo:x2x 5=x2 25 + 25x 5=x2 25x 5+25x 5=(x 5)(x+ 5)x 5+25x 5=x+ 5 +25x 2xlog(x 5) dx=x2log(x 5) (x+ 5 +25x 5)dx=x2log(x 5) x22 5x 25 log|x 5|+cLa funzione integranda `e definita solo perx >5; pertanto si avr`a|x 5|=x 5. Dunque 2xlog(x 5) dx=x2log(x 5) x22 5x 25 log(x 5) +c.(e) xlog2(5x) dx=x22log2(5x) x222 log(5x)55xdx=x22log2(5x) xlog(5x)Riapplicando nuovamente la formula di integrazione per parti all ultimo integrale, ricaviamo xlog2(5x) dx=x22log2(5x) (x22log(5x) 12 xdx)=x22log2(5x) x22log(5x) +x24+c(f) (x+ 1)2cosxdx= (x+ 1)2sinx 2(x+ 1) sinxdx= (x+ 1)2sinx+ 2[(x+ 1) cosx cosxdx]== (x+ 1)2sinx+ 2(x+ 1) cosx 2 sinx+c.
8 (g) 2xarctanxdx=x2arctanx x21x2+ 1dx=x2arctanx x2+ 1 1x2+ 1dx==x2arctanx (1 11 +x2)dx=x2arctanx x+ arctanx+c(h) exsinxdx=exsinx excosxdx=exsinx (excosx+ exsinxdx).Dunque2 exsinxdx=exsinx excosxda cui exsinxdx=12(exsinx excosx) +c.(i) 1 x2dx=x 1 x2 x 2x2 1 x2dx=x 1 x2 x2+ 1 1 1 x2dx==x 1 x2 1 x2dx+ 1 1 x2dxDunque2 1 x2dx=x 1 x2+ arcsinxda cui 1 x2dx=12(x 1 x2+ arcsinx) + stesso integrale pu`o essere risolto per sostituzione (si veda l esercizio n. 6).5. (a) Per risolvere gli INTEGRALI di funzioni razionali, occorre anzitutto che il grado del numeratore sia strettamenteinferiore al grado del denominatore. Se non lo `e, bisogna procedere con la divisione dei dunque alla divisione del polinomio a numeratore per il polinomio a denominatore e troviamo2x2 3x+ 7x 5= 2x+ 7 +42x 2x2 3x+ 7x 5dx= (2x+ 7 +42x 5)dx= (2x+7) dx+ 42x 5dx=x2+7x+42 log|x 5|+c.
9 (b) 3x 4x2 6x+ 8dx= 3x 4(x 4)(x 2) il metodo di decomposizione in fratti semplici si ottiene:3x 4(x 4)(x 2)=Ax 4+Bx 2=A(x 2) +B(x 4)(x 4)(x 2)=(A+B)x 2A 4B(x 4)(x 2).Uguagliando i coefficienti dei polinomi a numeratore, si ottiene il sistema:{A+B= 3 2A 4B= 4 {A= 4B= :3x 4(x 4)(x 2)=4x 4 1x : 3x 4x2 6x+ 8dx= [4x 4 1x 2]dx= 4 log|x 4| log|x 2|+c.(c) Per calcolare 3xx3 1dxpossiamo usare direttamente il metodo di decomposizione in fratti semplici, in quanto il grado del numeratore`e strettamente inferiore al grado del denominatore; dobbiamo scomporre il denominatore come prodotto difattori irriducibili. Ricordando chex3 1 = (x 1)(x2+x+ 1) e usando il metodo di decomposizione infratti semplici, possiamo scomporre la frazione da integrare:3xx3 1=3x(x 1)(x2+x+ 1)=Ax 1+Bx+Cx2+x+ 1=(A+B)x2+ (A B+C)x+A C(x 1)(x2+x+ 1).}}
10 Uguagliando i numeratori della frazione iniziale e finale, si trova il sistema: A+B= 0A B+C= 3A C= 0= A= 1B= 1C= : 3xx3 1dx= 1x 1dx x 1x2+x+ 1dx= log|x 1| 12 2x+ 1x2+x+ 1dx+32 1x2+x+ 1dx== log|x 1| 12log(x2+x+ 1) +32 1x2+x+ risolvere l ultimo integrale, usiamo il metodo di completamento dei quadrati , allo scopo di ottenere ildenominatore nella formak[1 + (ax+b)2] (dovek, a, bsono costanti opportune da trovare).x2+x+ 1 =(x+12)2+34=34[1 +43(x+12)2]=34[1 +(2x+1 3)2].Pertanto32 1x2+x+ 1dx=32 134[1 +(2x+1 3)2]dx= 2 32 2 31 +(2x+1 3)2dx= 3 arctan2x+ 1 3+ 3xx3 1dx= log|x 1| 12log(x2+x+ 1) + 3 arctan2x+ 1 3+c.(d) Il polinomiox3+ 2x2+x+ 2 ammette la radicex= 2; dunque `e divisibile perx+ 2.
