Introducci´on al An´alisis num´erico y tratamiento de …

1 Introducci on al An alisis num erico y tratamiento de erroresIng. Jes us Javier Cort es RosasM. en A. Miguel Eduardo Gonz alez C ardenasM. en A. V ctor D. Pinilla Mor anFacultad de Ingenier a, UNAM*2006 ResumenDefinici on de An alisis Num erico. Necesidad del uso de los m etodos num ericos. Definici on,clasificaci on y cuantificaci on de errores. Aproximaci on num Definici on de An alisis Num ericoElAn alisis Num ericoes una rama de las matem aticas[1] que, mediante el uso de algoritmos itera-tivos, obtiene soluciones num ericas a problemas en los cuales la matem atica simb olica (o anal tica)resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una soluci on.

2 En particular, a estos algo-rtimos se les denominam etodos num lo general los m etodos num ericos se componen de un n umero de pasos finitos que se ejecutande manera l ogica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la ra z de unaecuaci on, hasta que se cumple con cierta cota de error. A esta operaci on c clica de mejora del valorse le conoce comoiteraci Uno de los ejercicios m as comunes en los cursos b asicos de Algebra universitaria con-siste en encontrar las ra ces de un polinomio. El estudiante conoce principios tales como que elpolinomio poseenra ces, dondenes el grado del polinomio. Conoce tambi en que es posible queexistan exclusivamente ra ces reales o bien, una combinaci on entre ra ces reales y ra ces complejas,existiendo estas ultimas en parejas conjugadas.

3 El m etodo de soluci on com unmente utilizado es ladivisi on sint etica (que es un m etodo num erico). El estudiante aplica el m etodo tantas veces comosea necesario para lograr que el residuo de la divisi on sea cero, o muy cercano a obstante, este procedimiento podr a dejar insatisfecho a un estudiante acusioso pues a un cuandoexisten mecanismos para elegir un valor incial de una ra z, se invierte mucho tiempo mejorandoeste valor incial; adicionalmente es complicado obtener las ra ces complejas, cosa que usualmentedebe lograrse a trav es de un cambio de variable y del uso de la f ormula general para ecuaciones desegundo grado. Finalmente, este proceso s olo es aplicable en polinomios; no es posible su aplicaci onen ecuaciones trascendentes.

4 *Profesores de tiempo completo del Departamento de Matem aticas Aplicadas de la Divisi on de Ciencias B asicas1An alisis num erico2El an alisis num erico es una alternativa muy eficiente para la resoluci on de ecuaciones, tanto alge-braicas (polinomios) como trascendentes teniendo una ventaja muy importante respecto a otro tipode m etodos: La repetici on de instrucciones l ogicas (iteraciones), proceso que permite mejorar losvalores inicialmente considerados como soluci on. Dado que se trata siempre de la misma operaci onl ogica, resulta muy pertinente el uso de recursos de c omputo para realizar esta Necesidad del uso del an alisis num ericoEl desarrollo y el auge del uso del an alisis num erico corre en forma paralela al desarrollo tecnol ogicode la computaci on[2].

5 Las computadoras (y en consecuencia tambi en las calculadoras) est an facul-tadas para realizar una multitud practicamente infita de operaciones algebraicas en intervalos detiempo muy peque nos; esto las convierte en la herramienta ideal para la aplicaci on de los m eto-dos num ericos. De hecho, el an alisis num erico resulta ser la manera natural de resolver modelosmatem aticos (de naturaleza algebraica o trascendente tanto para la matem atica continua comopara la discreta) a trav es de la otra parte, como consecuencia directa de la aplicaci on de soluciones num ericas y del crecimientode recursos computacionales, se ha logrado tambi en la incorporaci on de la simulaci on matem aticacomo una forma de estudio de diversos embargo debe haber claridad en el sentido de que el an alisis num erico no es la panacea en lasoluci on de problemas matem de lo anteriormente dicho consiste en que, por lo general, los m etodos num ericos arro-jan soluciones num ericas.

6 Si en determinado caso se desea obtener soluciones anal ticas deber a re-currir a los procedimientos algebraicos acostumbrados. Por otra parte, las soluciones num ericasresultan seraproximaciones, es decir, en pocas ocasiones son soluciones se analizar a en su oportunidad, las soluciones num ericas conllevan una cota de error. Esteerror, que si bien puede ser tan peque no como los recursos de c alculo lo permitan, siempre est a pre-sente y debe considerarse su manejo en el desarrollo de las soluciones muy posible que se conozca de diversos sistemas de c omputo que proporcionen solucionesanal ticas. Estos sistemas no sustituyen a los m etodos num ericos, de hecho son un complemen-to en el proceso integral del modelado de sistemas f sicos que son el elemento fundamental de lapr actica de la Ingenier Definici on de erroresUna actividad frecuente del profesional de la Ingenier a consiste en trabajar con modelos matem aticosrepresentativos de un fen omeno f sico.

7 Estos modelos son abstracciones matem aticas que distan mu-cho de representar exactamente al fen omeno bajo estudio debido principalmente a las carencias ydificultades que a un posee el humano de la comprensi on total de la consecuencia de esto existen diferencias entre los resultados obtenidos experimentalmente ylos emanados propiamente del modelo matem las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les alisis num erico3 Ejemplo. Seahla altura a la que se encuentra un cuerpo,gla constante de la aceleraci on de lagravedad ytel tiempo que dura la ca da, se define al modelo matem atico como:t= 2hgResulta l ogico pensar que al realizar los c alculos utilizando el anterior modelo se obtendr an resul-tados que diferir an de las mediciones que pudieran obtenerse en el desarrollo del Clasificaci on de los erroresLas diferencias (errores) son m ultiples y de diversa naturaleza, aunque pueden separse en dos gruposgen ericos:Los errores[3] que provienen del modelado te orico (o abstracci on matem atica) del fen omenoreal; estos errores se denominanErrores del modelo o inherentes.

8 Los errores inherentes sonproducto de factores intr nsecos a la naturaleza, al ambiente y las personas mismas. Loserrores inherentes son imposibles de remediar aunque pueden minimizarse; en consecuencia,no pueden distinguen dos tipos de errores inherentes: Lasincertidumbreshacen referencia a las di-mensiones f sicas que nunca podr an ser medidas en forma exacta debido a la naturaleza de lamateria y a las imperfecciones de los instrumentos de medici on. Lasverdaderas equivocacionesson las situaciones que se producen en la lectura de instrumentos de medici on o en el trasladode informaci on y que son inadvertidas a las personas; un claro ejemplo de estas situaciones esla denominadaceguera de del m etodoson producto de la limitante en la representaci on y manipulaci on de can-tidades num ericas utilizadas en los c alculos necesarios en el desarrollo del modelo matem de destacar que los dispositivos de c alculo (tales como calculadoras y computadoras) uti-lizan y manipulan cantidades en forma dos grandes tipos de errores del m etodo: Eltruncamientose provoca ante la imposibil-idad de manipular, por parte de un instrumento de c omputo, una cantidad infinita de t erminoso cifras.

9 Los t erminos o cifras omitidas (que son infinitas en n umero) introducen un error enlos resultados calculados. Elredondeose produce por el mismo motivo que el truncamientopero, a diferencia de este, las cifras omitidas s son consideradas en la cifra resultante. Estaconsideraci on se hace aplicando el siguiente esquema al d gito menos significativo (dms) de lacifra a redondear de acuerdo al siguiente esquema:1. Si el dms es mayor a 5, se incrementa en una unidad la crifra Si el dms es menor a 5, la cifra anterior no se Si el dms es igual a 5 deber a observarse a la cifra anterior; si esta es par no sufremodificaci on, pero por el contrario, si es impar, deber a incrementarse en una as se conozca una versi on pr actica y popular del redondeo sim etrico en el cual la consid-eraci on tres se incluye en la primera de este esquema.

10 Finalmente, existen tambi en esquemasque permiten minimizar la ocurrencia de estos errores, de igual forma es importante destacarque los errores del m etodo s pueden ser alisis num erico45. Cuantificaci on de erroresLos errores se cuantifican de dos formas diferentes:1. Error Absoluto. El error absoluto es la diferencia absoluta que existe entre un valor real y unaproximado. Est a dado por la siguiente f ormula:E=|VReal VAprox|El error absoluto recibe este nombre ya que posee las mismas dimensiones que la variable Error relativo. El error relativo corresponde a la expresi on en porcentaje de un error absoluto;en consecuencia, este error es |VReal VAprox|VRealx100 %La diferencia entre la preferencia en el uso de los dos tipos de error consiste precisamente en lapresencia de las dimensiones f sicas.