Introducción al Cálculo Integral - unizar.es

1 Introducci n al C lculo Integral Jos Luis Alejandre Marco Ana Isabel Allueva PinillaJos Miguel Gonz lez S ntos Departamento de Matem tica Aplicada Universidad de Zaragoza versi n digital basada en el libro "Introducci n al C lculo Integral "ISBN 8-7733-503-6, de los mismos autores ndice PR LOGO CAP TULO 1. Integral DE RIEMANN Introducci n Partici n Definiciones Integral de Riemann Teorema Algunas propiedades de la Integral de Riemann Segundo Teorema Fundamental del C lculo Teorema del valor medio para integrales La funci n Integral Funci n primitiva o antiderivada CAP TULO 2. INTEGRALES: INTRODUCCI N Y PROPIEDADES. Introducci n Teorema Propiedades Ejemplos Integraci n de una funci n compuesta Ejercicios propuestos CAP TULO 3.

2 PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACI N Integraci n por cambio de variable Integraci n por partes Producto de un polinomio por una exponencial. Producto de un polinomio por un seno o un coseno Producto de una exponencial por un seno o un coseno Producto de un logaritmo por otra funci n Las tres funciones inversas arcsenx, arccosx, arctgx Algunas funciones racionales e irracionales Ejercicios propuestos CAP TULO 4. INTEGRACI N DE FUNCIONES RACIONALES Introducci n Ra ces comunes Divisi n entera de polinomios Descomposici n de un polinomio en producto de factores Introducci n al c lculo Integral M todo de fracciones simples M todo de Hermite Problemas resueltos Ejercicios propuestos CAP TULO 5.

3 INTEGRACI N DE FUNCIONES TRIGONOM TRICAS Introducci n Cambios de variable Transformaci n en sumas Problemas resueltos Integraci n por recurrencia Ejercicios propuestos CAP TULO 6. INTEGRACI N DE FUNCIONES IRRACIONALES Introducci n Integrales irracionales simples Integrales irracionales lineales Integrales irracionales de polinomios de grado dos no completos Integrales irracionales de polinomios de grado dos completos Integrales irracionales compuestas Ejercicios propuestos CAP TULO 7. Integral DEFINIDA Introducci n Teorema de integrabilidad El rea como una Integral definida Propiedades Teorema Fundamental del C lculo Integral Cambios de variable para integrales definidas Ejercicios propuestos CAP TULO 8.

4 APLICACIONES GEOM TRICAS Y MEC NICAS DE LA Integral DEFINIDA C lculo de reas en coordenadas cartesianas C lculo del rea en coordenadas param tricas C lculo del rea en coordenadas polares C lculo del valor medio de una funci n Interpretaci n geom trica Valor medio de una funci n ndice C lculo de la longitud de curva en coordenadas cartesianas Diferencial de un arco de curva Comparaci n del arco y de su cuerda . C lculo de la longitud de curva en coordenadas param tricas C lculo de la longitud de curva en coordenadas polares C lculo del volumen de un cuerpo C lculo del volumen de un cuerpo de revoluci n M todo de discos M todo de las arandelas M todo de las envolventes cil ndricas (cortezas) C lculo del rea lateral de un cuerpo de revoluci n C lculo del trabajo mediante la Integral definida Coordenadas del centro de gravedad Centro de gravedad de una curva plana Centro de gravedad de una figura plana C lculo de momentos de inercia mediante la Integral definida Momento de inercia de una curva material.

5 Momento de inercia de una barra homog nea de longitud L respecto a su extremo Momento de inercia de una circunferencia material de radio r respecto al centro Momento de inercia de un c rculo homog neo de radio r respecto al centro Ejercicios propuestos para el c lculo de reas Ejercicios propuestos para el c lculo de longitudes de curva Ejercicios propuestos para el c lculo de vol menes Ejercicios propuestos para el c lculo de reas laterales Ejercicios propuestos para el c lculo de centros de gravedad CAP TULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS L mites de integraci n infinitos Integrales con integrando que tiende a infinito Observaciones a las integrales impropias Ejercicios propuestos TABLA DE INTEGRALES BIBLIOGRAF A Pr logo Lo que se oye se olvida.

6 Lo que se ve se recuerda. Lo que se hace se aprende. Proverbio chino Este texto ha sido elaborado a partir de las explicaciones y problemas de clase de los distintos cursos impartidos en los ltimos a os por los autores en su labor docente en el seno del Departamento de Matem tica Aplicada de la Universidad de Zaragoza. Introducci n al c lculo Integral est pensado para ser utilizado en un curso inicial de c lculo infinitesimal destinado a estudiantes de ingenier a, matem ticas, ciencias qu micas y ciencias f sicas. El objetivo de este texto docente es conseguir que el alumno/a domine el c lculo Integral , herramienta b sica en todas las ramas de la ciencia y la tecnolog a.

7 Sin abandonar el rigor formal en la exposici n, hemos procurado hacer asequible cada cuesti n mediante ejemplos y ejercicios. Desde luego, no hacemos ninguna aportaci n nueva, a no ser un pretendido cuidado en el aspecto did ctico en un intento de que los estudiantes rompan con su rol habitual de espectadores-oyentes, cumplidores de actividades mecanicistas, y consigan una din mica nueva de trabajo. Para el estudio del contenido de este texto no se presupone ning n conocimiento previo de c lculo Integral , con lo que es asequible a todos los alumnos/as desde el primer momento. Es decir, un estudiante con inter s puede seguir las explicaciones con facilidad.

8 Se han incluido las demostraciones de aquellos resultados que consideramos formativos y que desarrollan la capacidad de razonamiento l gico y de an lisis cr tico. A lo largo de todo el texto hay gran cantidad de ejemplos que ayudan a entender y asimilar los resultados presentados. Cada cap tulo finaliza con una lista de ejercicios propuestos, que ayudar a cimentar los conocimientos adquiridos y debe servir para comprobar que realmente se ha comprendido y asimilado el contenido del cap tulo. Damos las gracias a los alumnos/as, porque con su querer saber nos han mostrado aquellas partes en las que encuentran mayores dificultades.

9 Esperamos que este texto sea de ayuda para los futuros estudiantes del c lculo Integral . Los autores. Cap tulo 1 Integral de Riemann ab f(x) dx ab f(x) dx s(f,P)=mii=1n (ti ti 1) Cap tulo 1 Integral de Riemann Introducci n El c lculo Integral tiene su origen en el estudio del rea de figuras planas; las f rmulas para el c lculo de las reas de tri ngulos y rect ngulos eran ya conocidas en la Grecia cl sica, as como la de los pol gonos regulares previa descomposici n en tri ngulos. El problema se plantea a la hora de calcular reas de figuras limitadas por l neas curvas. Euclides (300 ) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 ) para calcular el rea del c rculo por el m todo de exhauci n, es decir, inscribiendo en l sucesivamente pol gonos con m s lados.

10 La suma de estas reas se aproximaba cada vez m s al rea del c rculo, estando en el l mite el valor exacto. Demostr adem s que, dados dos c rculos de reas 1A y2A y radios 1r y 2r, se verificaba que 222121rrAA= y que 2krA=, siendo k una constante que Arqu medes llam y cuyo valor dijo hallarse entre 722> >71223. Arqu medes (287-212 ) hall tambi n el rea encerrada por un arco de par bola y la cuerda correspondiente, cosa realmente dif cil en aquel tiempo, ya que no se dispon a del lgebra formalizada ni de la geometr a anal tica. El m todo utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el rea entre dos pol gonos, uno inscrito en la regi n y otro circunscrito a la regi n.