Jose S. Cánovas Peña 7 de mayo de 2004 - …

1 Apuntes de ecuaciones diferenciales Jose S. C novas Pe a 7 de mayo de 2004. ndice General 1 Introducci n a las ecuaciones diferenciales 1. ecuaciones diferenciales .. 1. Soluciones de ecuaciones diferenciales .. 3. Problemas de condiciones iniciales .. 3. 2 ecuaciones diferenciales de orden uno 5. ecuaciones diferenciales de variables separadas .. 5. ecuaciones diferenciales lineales .. 7. ecuaciones diferenciales exactas .. 9. Factores integrantes .. 11. Existencia y unicidad de soluciones .. 12. Ejercicios .. 13. 3 Aplicaciones de las ecuaciones de orden uno 17. Problemas geom tricos .. 17. Familias ortogonales .. 18.

2 Descomposici n radioactiva .. 19. Ley de enfriamiento de Newton.. 19. Aplicaci n a la climatizaci n de edificios .. 20. Problemas de mezclas qu micas.. 22. La catenaria.. 24. Ejercicios .. 25. 4 Teor a general de sistemas y ecuaciones lineales 29. Introducci n a los sistemas de ecuaciones diferenciales .. 29. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales .. 31. Teor a general para ecuaciones lineales de orden n .. 36. 5 Resoluci n de ecuaciones lineales de orden n 39. Ecuaci n lineal homog nea con coeficientes constantes .. 40. Ecuaci n de orden dos .. 40. Ecuaci n de orden n .. 44. Aproximaci n a las ecuaciones con coeficientes variables: ecuaciones de Cauchy Euler y de Legendre.

3 45. Ecuaci n lineal homog nea de coeficientes variables .. 46. i ndice General Ecuaci n lineal no homog nea .. 48. Variaci n de constantes.. 48. M todo de los Coeficientes Indeterminados.. 50. Ejercicios .. 51. 6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos 53. Oscilaciones mec nicas .. 53. Circuito el ctrico LRC .. 56. Ejercicios .. 57. 7 Resoluci n de sistemas lineales de coeficientes constantes 61. Resoluci n del sistema homog neo .. 61. Teorema de Cayley Hamilton .. 61. Resoluci n de sistemas. La exponencial de una matriz .. 62. La exponencial de una matriz .. 63. C lculo pr ctico de la exponencial.

4 64. El m todo de variaci n de constantes .. 68. Ejercicios .. 70. 8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 73. Vibraciones mec nicas .. 73. Circuitos el ctricos con varias ramas .. 76. Problemas de mezclas con varios recipientes .. 78. Climatizaci n de edificios con varias estancias .. 80. Ejercicios .. 81. 9 Teor a cualitativa de ecuaciones diferenciales 87. ecuaciones y sistemas aut nomos .. 88. Soluciones y rbitas .. 89. Teor a cualitativa ecuaciones aut nomas .. 91. Teor a cualitativa de sistemas planos .. 92. C lculo de los puntos cr ticos .. 93. Isoclinas .. 94. Integrales primeras y diagramas de fases.

5 97. Clasificaci n de sistemas planos lineales. Estabilidad de sistemas lineales .. 100. Diagramas de fases de sistemas planos .. 100. Estabilidad de sistemas lineales .. 113. Por qu un sistema estable es til en ingenier a? .. 116. Estabilidad local de sistemas aut nomos .. 117. M todo de linealizaci n de Lyapunov. Teorema de Hartman Grobman .. 117. El m todo directo de Lyapunov .. 121. Aplicaciones de la teor a cualitativa .. 123. El p ndulo con y sin rozamiento .. 123. La ecuaci n de Van der Pol .. 124. El circuito de Chua .. 124. ii Cap tulo 1. Introducci n a las ecuaciones diferenciales Sumario. Definici n de ecuaci n diferencial.

6 Orden de una ecuaci n diferencial. Soluci n de una ecuaci n diferencial. ecuaciones resueltas respecto a la derivada mayor. Familias param tricas de soluciones. Problemas de condiciones iniciales. ecuaciones diferenciales Una ecuaci n diferencial una expresi n de la forma F (x, y, y 0 , .., y n) ) = 0, ( ). donde F es una funci n real definida en un cierto abierto A Rn+2 , e y(x) es una funci n real de variable real. Como vemos, una ecuaci n diferencial es una expresi n en la que aparecen ligadas una variable x, que llamaremos variable independiente y las n primeras derivadas respecto de x de una variable y, que se llama variable dependiente por ser una funci n dependiente de la variable x.

7 Se llama orden de la ecuaci n ( ) al valor de la derivada m s alta en dicha expresi n. Ejemplos de ecuaciones diferenciales son los siguientes: y 00 + log(xy) x = y, y 3) + xy 0 + ex sinh y = 0, y y 0 y 00 = x, que tienen rdenes 2, 3 y 2, respectivamente. Diremos que una funci n y : (a, b) R R es soluci n de la ecuaci n ( ) si existe la derivada n sima de y en todo punto del intervalo (a, b), (x, y(x), y 0 (x), .., y n) (x)) A para todo x (a, b) y F (x, y(x), y 0 (x), .., y n) (x)) = 0. para todo x (a, b). Por ejemplo tomemos la ecuaci n diferencial de orden uno y 0 y tan x = 0. ( ). 1. Introducci n a las ecuaciones diferenciales Esta ecuaci n viene definida por la funci n F : A R3 R dada por F (x, y, y 0 ) = y 0 y tan x.

8 El dominio de definici n de F es en este caso A = {( /2 + 2k , /2 + 2k ) : k Z} R2 . Entonces la funci n y : ( /2, /2) R dada por y(x) = cosc x , donde c es una constante arbitraria es una soluci n de dicha ecuaci n diferencial. En efecto, esta funci n es una vez derivable con derivada c sin x y 0 (x) = cos 0. 2 x , se verifica que (x, y(x), y (x)) A para todo x ( /2, /2), y adem s satisface que c sin x c y 0 (x) y(x) tan x = 2. tan x = 0, cos x cos x para todo punto x ( /2, /2). Con frecuencia las soluciones de la ecuaci n ( ) no podr n obtenerse de forma expl cita y vendr n 2. dadas de forma mplicita por una ecuaci n de la forma g(x, y) = 0.

9 As las curvas x + y2 = c > 0. 0. definen impl citamente las soluciones de la ecuaci n yy + x = 0 definidas en ( c, c), como puede verse f cilmente derivando de forma impl cita la expresi n x2 + y 2 = c respecto a la variable independiente x. A lo largo del curso estudiaremos fundamentalmente ecuaciones resueltas respecto de la derivada de mayor orden de la ecuaci n, es decir, ecuaciones de la forma y n) = f (x, y, y 0 , .., y n 1) ), donde f : A Rn+1 R. Estas ecuaciones son obtenidas cuando sea posible despejar y n) en ( ). Ser n tambi n de especial inter s para nosotros las ecuaciones aut nomas, de la forma F (y, y 0.

10 , y n) ) = 0, donde F no depende de la variable independiente y las ecuaciones lineales a0 (x)y n) + a1 (x)y n 1) + .. + an 1 (x)y 0 + an (x)y = b(x). con an , an 1 , .., a1 , a0 y b funciones reales de variable real. Las anteriores definiciones se extienden de manera natural al contexto de los sistemas de ecua- ciones diferenciales, es decir, sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma n) n) n).. F1 (x, y1 , y10 , .., y1 , y2 , y20 , .., y2 , .., ym , ym0. , .., ym ) = 0;.. F (x, y , y 0 , .., y n) , y , y 0 , .., y n) , .., y , y 0 , .., y n) ) = 0;. 2 1 1 1 2 2 2 m m m .. n) n) n). Fk (x, y1 , y10 , .., y1 , y2 , y20.