JUGANDO CON LA PROBABILIDAD - Universidad de los Andes

1 Gallardo, S., Ca adas, M. C., Mart nez-Santaolalla, M. J. y Molina, M. (2007). JUGANDO con la PROBABILIDAD . En Flores, Pablo; Roa, Rafael; Pozuelo, R. (Eds.), Investigaci n en el aula de matem ticas: estad stica y azar (pp. 200-207). Granada: SAEM Thales y Dpto. de Did ctica de la Matem tica de la Universidad de Granada. 1. JUGANDO CON LA PROBABILIDAD . Sandra Gallardo Mar a Consuelo Ca adas Manuel J. Mart nez-Santaolalla Marta Molina Maria Pe as RESUMEN. En este trabajo planteamos una serie de juegos como recurso did ctico en el aula de matem ticas. Estos juegos nos permiten introducir algunos conceptos de PROBABILIDAD en Secundaria y, adem s, pueden incitar a los alumnos a plantearse numerosas cuestiones que les ayuden a comprender los diversos problemas donde el azar est . inmerso. INTRODUCCI N. El estudio de la PROBABILIDAD tiene gran importancia en la actualidad al ofrecernos un modo de medir y tratar la incertidumbre. Gracias a la PROBABILIDAD se han llegado a desarrollar y comprender diversos m todos estad sticos que son de m ltiple utilidad en campos como el cient fico, profesional y social (Godino, Batanero y Ca izares, 1991).

2 Este desarrollo ha supuesto que sea esencial un conocimiento b sico sobre PROBABILIDAD y de an lisis de datos para llegar a ser un ciudadano informado as como un consumidor inteligente (NCTM, 2003). La PROBABILIDAD , en particular, juega un papel destacado en la toma de decisiones en situaciones que involucran cierto grado de incertidumbre. Desde una perspectiva educativa, los Principios y Est ndares para la Educaci n Matem tica (NCTM, 2003) incluyen el est ndar de An lisis de datos y PROBABILIDAD , el cual plantea que los alumnos deben desarrollar la capacidad de comprender y aplicar conceptos b sicos de PROBABILIDAD (p. 51). Los profesores deber an proporcionar a los alumnos numerosas oportunidades de poner en pr ctica el pensamiento probabil stico en situaciones simples, a partir de las cuales puedan desarrollar nociones de azar (p. 258). En el actual curr culo de secundaria (Decreto 148/2002, de 14 de mayo) se pretende dar un mayor empuje al estudio de los numerosos fen menos sujetos al azar y que est n presentes en nuestro d a a d a, siendo uno de los objetivos generales para la educaci n Secundaria: Utilizar los m todos y procedimientos estad sticos y probabil sticos para obtener conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la informaci n.

3 2. Godino, Batanero y Ca izares (1991) consideran los fen menos sujetos al azar dentro de las numerosas preguntas para las cuales no existe una nica respuesta clara y sencilla. Los fen menos aleatorios entran dentro de los problemas que plantean este tipo de preguntas. Desde la Did ctica de la Matem tica se destaca el inter s que puede suscitar el estudio de la PROBABILIDAD trabajando con diversos recursos did cticos. Para Batanero y Serrano (1995) se debe secuenciar el trabajo con materiales manipulativos con propiedades de simetr a como dados o monedas, para pasar progresivamente al estudio de materiales que no tengan estas propiedades ruletas con reas desiguales; chinchetas-; (p. 26). En este sentido, observamos como los curr culos escolares de las ltimas d cadas han incluido el estudio de la estad stica y la PROBABILIDAD , pero recientemente se ha tendido a hacerla m s experimental (Batanero, en prensa). Siguiendo esta tendencia, en este trabajo sugerimos un enfoque centrado en el uso de juegos para la introducci n de algunos de los conceptos probabil sticos m s b sicos.

4 LA PROBABILIDAD EN EL CURR CULO DE SECUNDARIA. Uno de los cinco n cleos tem ticos de la materia de matem ticas de Educaci n Secundaria es el Tratamiento de la Informaci n Estad stica y del Azar. El Decreto 148/2002, de 14 de mayo, propone comenzar con una revisi n de t rminos usados frecuentemente en la vida ordinaria, matizando los distintos significados seg n los contextos y tratando de reconocer situaciones de incertidumbre. Adem s, los alumnos deber n reconocer y trabajar ciertas experiencias de car cter aleatorio, manejando expresiones como poco o muy poco probable, muy probable o casi seguro, m s o menos probable En segundo curso se trabajan situaciones de incertidumbre a trav s del estudio de las aplicaciones de la estad stica en la vida cotidiana y la ciencia. En tercer y cuarto curso se plantean el estudio de los experimentos aleatorios y el trabajo con conceptos como suceso, frecuencia y PROBABILIDAD de un suceso. Tambi n se trabaja el c lculo de probabilidades mediante la ley de Laplace.

5 La pr ctica adquirida, mediante simulaciones y asignaci n de probabilidades experimentalmente, dar paso al c lculo de la PROBABILIDAD de sucesos. El c lculo de la PROBABILIDAD de un suceso puede requerir que se efect en recuentos. Se utilizar n preferentemente los diagramas de rbol u otras herramientas que permitan representar los casos posibles y seleccionar, a partir de ellos, los que sean favorables. 3. Siguiendo estas indicaciones, identificamos los siguientes conceptos relacionados con la PROBABILIDAD en el curr culo espa ol para Educaci n Secundaria: Suceso, Tipos de sucesos, Frecuencia, PROBABILIDAD de un suceso y C lculo de probabilidades (Ley de Laplace). JUEGOS PROPUESTOS. Planteamos a continuaci n algunos juegos que pueden ayudar a los alumnos a entender los distintos aspectos sobre la PROBABILIDAD que se plantean en el curr culo. 1. Sucesos equiprobables y no equiprobables Juego 1: Cruzar el r o Para el trabajo con sucesos equiprobables y no equiprobables, comenzamos con el siguiente juego cuyo objetivo final es cruzar un r o como se observa en la Figura 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.

6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Figura 1. Descripci n del material did ctico: La franja central que se observa en la Figura 1. representa un r o y a cada lado doce casillas numeradas del 1 al 12. Para este juego se necesitan 24 fichas y dos dados. Instrucciones y objetivo del juego: En este juego han de participar dos jugadores; cada uno de los cuales dispone de 12 fichas. Se debe colocar cada ficha en cada una de las doce casillas (una ficha por casilla). El primer jugador lanzar dos dados, sumar los puntos obtenidos en las caras superiores de los mismos y pasar al otro lado del r o la ficha que est situada en la casilla que tenga el n mero que ha obtenido al realizar la suma. A continuaci n lanzar los dos dados el segundo jugador quien deber repetir el mismo proceso. As se deber continuar hasta que alguno de los jugadores pase todas sus fichas al otro lado del r o. Es esto posible? No, el objetivo de pasar todas las fichas no se cumple para la primera posici n, nunca pasar el r o.

7 Propuesta para los alumnos: En primera instancia, a los alumnos se les plantea la actividad con el objetivo (imposible) que se ha mencionado con anterioridad. Cuando 4. identifiquen la imposibilidad de la propuesta, los alumnos volver n a jugar buscando el mismo objetivo pero ahora situando las fichas donde ellos quieran (desde situarlas cada una en un lugar hasta ponerlas todas en la misma casilla). Realizar n el juego varias veces de manera que ellos mismos puedan descubrir que hay posiciones desde las que es m s f cil pasar al otro lado (mayor PROBABILIDAD de ocurrencia) y posiciones menos probables o imposibles (casilla 1). Objetivos did cticos del juego: Los aspectos m s importantes tratados en 6. este juego son los de no 5 5. 4 4. Frecuencia equiprobabilidad de sucesos, suceso Frecuencia 3 3. imposible y suceso m s o menos 2 2. probable. Tambi n se puede trabajar la 1 1. 0. introducci n a la representaci n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Clase gr fica de los resultados obtenidos del juego, como por ejemplo el histograma (ver figura 2).

8 Figura 2. 2. La regla de Laplace Juego 2: PROBABILIDAD con urnas Descripci n del material did ctico: Tenemos una urna con 10 bolas del mismo tama o pero de distintos colores. Hay 2 bolas rojas, 1 bola verde, 2 bolas amarillas, 3 bolas azules y 2 bola marr n. Instrucciones y objetivo del juego: Se realiza el experimento de sacar una bola al azar (sin mirar) y, Figura 3. considerando un suceso determinado, averiguar cu les son equiprobables. Propuesta para los alumnos: Considerando los siguientes sucesos: a) Sale bola roja b) Sale bola verde c) Sale bola roja, amarilla o marr n d) Sale bola azul o verde e) Sale bola amarilla Cu les de estos sucesos son equiprobables? 5. Objetivos did cticos del juego: Motivar la introducci n de la regla de Laplace. Si consideramos el suceso Roja y verde Roja y amarilla Roja y azul "sacar bola roja", al n mero Verde y amarilla Roja y marr n Amarilla y azul de bolas rojas que hay en la Verde y marr n Verde y azul Azul y marr n urna se le llama "n mero de Amarilla y marr n Roja, verde y amarilla casos favorables" (favorables Roja, verde y marr n Verde, amarilla y al suceso), y al n mero total marr n de bolas que hay en la bolsa Roja, verde y azul Roja, amarilla y azul Roja, verde, se le llama "n mero de casos Roja, amarilla, Roja, azul y marr n amarilla y azul posibles".

9 La regla de marr n Amarilla, azul y Verde, amarilla, Laplace se expresa P(A) = Verde, amarilla y marr n azul y marr n n mero de casos favorables azul Roja, verde, . n mero de casos posibles amarilla y marr n La figura 4 nos muestra la Figura 4: Soluci n soluci n del juego. Juego 3: Probabilidades con dados Descripci n del material did ctico: Se dispone de tres dados: uno de 8 caras, otro de 12. y otro de 20 tal y como se indica en la figura 5. Instrucciones y objetivo del juego: Lanzar uno de los dados, definir el suceso y calcular la PROBABILIDAD de cada suceso. Figura 5. Propuesta para los alumnos: A) Si lanzamos un dado de 8 caras, Cu les de los siguientes sucesos son equiprobables? a) Salir el 5 b) Salir el 8. c) Salir el 9 d) Salir el n mero par e) Salir m ltiplo de 3 f) Salir el 4. Calcula la PROBABILIDAD te rica de cada uno de estos sucesos. 6. B) Si lanzamos un dado de 12 caras, Cu les de los siguientes sucesos son equiprobables? a) Salir el 1 b) Salir n mero par c) Salir m ltiplo de 4 d) Salir el 10.

10 E) Salir el 15 f) Salir el 7. g) Salir un n mero entre 5 y 11. Calcula la PROBABILIDAD te rica de cada uno de estos sucesos. C) Si lanzamos un dado de 20 caras, Cu les de los siguientes sucesos son equiprobables? a) Salir el 2 b) Salir m ltiplo de 10. c) Salir el 25 d) Salir el 13. e) Salir n mero impar f) Salir un n mero menor que 15. g) Salir un n mero mayor que 11 h) Salir el 20. i) Salir un n mero entre 10 y 17. Calcula la PROBABILIDAD te rica de cada uno de estos sucesos. Objetivos did cticos del juego: Definir sucesos, calcular la PROBABILIDAD te rica de sucesos e identificar procesos equiprobables. 3. Azar y PROBABILIDAD : Sucesos compatibles e incompatibles. Juego 4: Probabilidades con cartas Descripci n del material did ctico: Una baraja de cartas espa ola. Instrucciones y objetivo del juego: Dado un experimento, se trata de calcular de un suceso determinado. Propuesta para los alumnos En el experimento extraer una carta de una baraja espa ola , cu l es la PROBABILIDAD de que salga: Figura 6.