La simulation probabiliste avec Excel - modulad.fr

1 La simulation probabiliste avec Excel (2e version) Emmanuel Grenier par Kathy Chapelain et Henry P. Aubert Incontournable lorsqu il s agit de g rer des ph nom nes al atoires complexes, la simulation probabiliste s impose galement dans l enseignement des probabilit s et de la statistique inductive parce qu elle permet d aborder ces disciplines, r put es th oriques et ardues, par la voie de l exp rimentation. La simulation probabiliste repose sur des s ries de valeurs pseudo-al atoires . Nous verrons comment obtenir de telles s ries avec Excel , puis comment les utiliser pour simuler une loi de probabilit . Nous appliquerons la m thode dite des fractiles parce qu elle est simple mettre en uvre et qu elle permet de simuler avec Excel la plupart des lois d usage courant.

2 Nous pr senterons galement des m thodes plus particuli res, usage p dagogique. Un exemple d application sera propos dans le domaine de l analyse du risque. Le lecteur pourra trouver d autres exemples dans le manuel du groupe Le Cercle d Excel Ense [1] : v rification de propri t s probabilistes, caract risation de la distribution de statistiques d chantillonnage et tude des propri t s d un estimateur. 1 Production de valeurs pseudo-al atoires avec Excel Le point de d part de la simulation probabiliste est la production de s ries de valeurs al atoires issues de la loi uniforme entre 0 et 1 . On parle de valeurs pseudo-al atoires parce que le caract re al atoire du processus n est qu apparent. La loi uniforme entre 0 et 1 On colorie une ficelle sur le quart de sa longueur puis on casse la ficelle.

3 Quelle est la probabilit que la rupture ait lieu dans la partie color e ? Sans information sur l tat de la ficelle, la probabilit ne d pend pas de l emplacement de la partie color e. Elle ne d pend que de sa longueur. Si la partie color e correspond au quart de la longueur de la ficelle, la probabilit est gale un quart. Rep rons le point de rupture par la longueur du bout de gauche. x Pour simplifier, prenons une ficelle d une unit (1 m tre) de long. Le point de rupture, X, varie alors entre 0 et 1. Dire que la probabilit ne d pend que de la longueur de l intervalle consid r (ici, la partie color e) quivaut poser une loi de probabilit uniforme sur la variable X. La fonction ALEA On peut simuler l exp rience avec Excel gr ce la fonction ALEA (voir dans le manuel [1] la fiche Fonction correspondante et le chapitre Probabilit s et jugement sur chantillon ).

4 Revue MODULAD, 2006 1 Num ro 34 =ALEA()V rifions le en recopiant la formule sur 1000 cellules puis en repr sentant la distribution des valeurs obtenues par un nuage de points : Les valeurs de la s rie changent quand on relance les calculs (touche fonction F9) mais elles se r partissent toujours de mani re apparemment ind pendante et uniforme entre 0 et 1. Attention ! Dans les versions d Excel ant rieures 2003, les s ries bouclent au bout d un grand nombre d appels de la fonction. Voir l article en ligne de Microsoft [2]. L utilitaire G n ration de nombres al atoires Si on veut avoir la possibilit de reproduire une s rie, on peut utiliser la macro G n ration de nombres al atoiresUtilitaire d analyse de l (Allez dans le menu Outils. Si l Utilitaire d analyse n appara t pas, installez le en passant par ).

5 Macros compl mentairesAvec la bo te de dialogue qui suit, on obtient une s rie quivalente celles obtenues pr c demment. Revue MODULAD, 2006 2 Num ro 34 123456L Entier g n rateur (ici ) est le germe de la s rie. Pour reproduire la s rie, il suffit de reprendre le m me germe. Note : La macro simule d autres lois (voir le page 6) et produit des s ries p riodiques (non al atoires). 2 simulation d une loi par la m thode des fractiles Domaine d application et principe Notons X la variable simuler et F sa fonction de r partition. Par d finition, F(x) est la probabilit cumul e jusqu la valeur x, c'est- -dire la probabilit que la variable X prenne une valeur gale x ou plus petite. La m thode des fractiles s applique partir du moment o on peut calculer la r ciproque F -1 de la fonction de r partition.

6 Son principe est simple : Prenons une r alisation possible x de la variable. Notons u la probabilit cumul e jusqu la valeur x. Par d finition, u = F(x). u=F(x)x01 Si x est une r alisation quelconque de la variable X, on n a pas d information sur la valeur de u, mis part qu elle se situe n cessairement entre 0 et 1 puisque c est une probabilit . Nous nous trouvons dans une situation analogue celle du point de rupture de la ficelle (page 1) : la valeur u peut tre consid r e comme la r alisation d une variable de loi uniforme entre 0 et 1. Revue MODULAD, 2006 3 Num ro 34 R ciproquement, si u est la r alisation d une variable de loi uniforme entre 0 et 1, le fractile correspondant, c est- -dire la valeur x = F -1(u), peut tre consid r comme une r alisation de la variable X (pour une d monstration plus formelle voir par exemple l ouvrage de G.)

7 Saporta [3]). Nous avons vu au 1 que la r alisation d une variable de loi uniforme entre 0 et 1 peut tre simul e avec la fonction ALEA. Pour simuler une r alisation de la variable X, il suffit donc d appliquer la r ciproque de sa fonction de r partition au r sultat de la fonction ALEA. V rification sur un exemple Prenons la loi normale standard (voir le chapitre Probabilit s et jugement sur chantillon du manuel [1]). La fonction de r partition est calcul e par la fonction , sa r ciproque par la fonction (voir les fiches Fonction dans le manuel). = (1,96)0,975 donne Par exemple, la formule , probabilit d obtenir une valeur inf rieure 1,96. 00,20,40,60,81-4-2024xF(x)0,9751,96 En appliquant la fonction r ciproque sur le r sultat, c est- -dire en tapant la formule = (0,975)1,96, on retrouve la valeur de d part.

8 Appliquons la r ciproque de la fonction de r partition au r sultat de la fonction ALEA : = (ALEA()) Recopiez la formule sur 1000 cellules et repr sentez la distribution des valeurs obtenues par un histogramme (voir la fiche Comment faire dans le manuel). La distribution des valeurs simul es semble correspondre la loi normale standard. On peut le v rifier en construisant un diagramme d Henry (voir le manuel ou Goldfarb et Pardoux [4]). -4-3-2-101234-4-3-2-101234xNormitde x Revue MODULAD, 2006 4 Num ro 34 Le cas particulier des variables discontinues M thode g n rale On fait 2 lancers d une pi ce et on note le nombre x de faces obtenu. La variable correspondante est distribu e de la mani re suivante : Probabilit cumul e Probabilit x 0 0,25 0,25 1 0,5 0,75 2 0,25 1 Repr sentons la distribution par la fonction de r partition : 00,250,50,751-101234xF(x) Appelons u le r sultat de la fonction ALEA.

9 La valeur simul e de la variable X est la r ciproque de la fonction de r partition en u, c'est- -dire 0 si u est inf rieur 0,25, 1 si u est compris entre 0,25 et 0,75 et 2 si u est sup rieur 0,75. RECHERCHEVLa correspondance peut tre faite sur Excel avec la fonction (voir la fiche Fonction dans le manuel [1]) : Attention ! Les valeurs de la plage Table doivent tre dispos es comme le montre la capture d cran et non comme dans le tableau de distribution plus haut. On peut v rifier que les valeurs de la variable apparaissent avec des fr quences proches des probabilit s. Le cas de la loi discr te uniforme On veut simuler le point marqu par un d . La m thode des fractiles fait correspondre la valeur 1 aux valeurs de la fonction ALEA comprises entre 0 et 1/6, la valeur 2 aux valeurs entre 1/6 et 2/6, etc.

10 Cela revient multiplier le r sultat de la fonction ALEA par 6, puis liminer les d cimales de la valeur obtenue (fonction ENT) augment e d une unit : =ENT(6*ALEA())+1 Revue MODULAD, 2006 5 Num ro 34 Le cas des variables binaires Reprenons le lancer de pi ces. Pour simuler le r sultat sur une pi ce, il suffit de dire qu on a obtenu face si la r sultat de la fonction ALEA est plus petit que 0,5 et pile sinon : =SI(ALEA()<1/2;"Face";"Pile") De mani re g n rale, on simule la r alisation d un v nement A de probabilit p par la formule : =SI(ALEA()<p;"A";"Non A") et la variable indicatrice de l v nement, c est- -dire la variable qui prend la valeur 1 si l v nement est r alis et 0 sinon (loi de Bernouilli ), par : =SI(ALEA()<p;1;0) Remarque : Pour simuler le r sultat des deux lancers de la page 5, il suffit de copier la formule pr c dente dans 2 cellules et de faire la somme : Nous reprendrons cette id e pour simuler la loi binomiale (p.)