LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN …

1 LAS ECUACIONES DIFERENCIALES . Y SUS APLICACIONES EN LA. INGENIER A. INDICE: -Generalidades. Pg (1-4). -Etapas de resoluci n del problema cient fico. Pg (5).. Formulaci n matem tica del problema cient fico.. Soluci n de las ECUACIONES . Interpretaci n cient fica de la soluci n.. - APLICACIONES de ECUACIONES DIFERENCIALES de primer orden y simples de orden superior. Pg (7-30). 1. APLICACIONES a la mec nica: Introducci n. Las leyes del movimiento de Newton. 2. APLICACIONES a los circuitos el ctricos: Introducci n. La ley de Kirchhoff. 3. APLICACIONES a flujo de calor en estado estacionario. 4. APLICACIONES a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento. 5. El cable colgante. 6. La deflexi n de vigas. - APLICACIONES de ECUACIONES DIFERENCIALES lineales.

2 Pg (31-50). 1. Movimiento vibratorio de sistemas mec nicos: El resorte vibrante (movimiento arm nico simple). El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado). El resorte con fuerzas externas. La resonancia mec nica. Las ECUACIONES DIFERENCIALES y sus APLICACIONES en la Ingenier a LAS ECUACIONES DIFERENCIALES . Y SU APLICACI N A LA INGENIER A. GENERALIDADES: El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas b sicas del c lculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matem ticas, y m s importante fue, si cabe, la relaci n que encontraron entre el c lculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las APLICACIONES de este descubrimiento fue la f sica aplicada, d cese, la Ingenier a.

3 El maestro de Newton, Isaac Barrow, conoc a ya la existencia de la relaci n entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el rea de una regi n limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relaci n. La derivada se utiliz , en principio, para el c lculo de la tangente en un punto, y pronto se vi que tambi n serv a para el c lculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variaci n de una funci n. Desde los primeros pasos en el c lculo diferencial, de todos es conocido que dada una dy funci n y = f(x), su derivada = f (x) , en forma de diferencial de una funci n de una dx sola variable, es tambi n una funci n que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del C lculo Integral, que nos muestra la vinculaci n entre la derivada de una funci n y la integral de dicha funci n ; si F(x) es la funci n integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a c b x tenemos que F ( x) = f (t )dt si a x b , existe entonces F (x) en cada punto x del c intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos F (x) = f ( x).

4 Quedando demostrado la relaci n entre Integral y Derivada. 1. Las ECUACIONES DIFERENCIALES y sus APLICACIONES en la Ingenier a -La Derivada de la Integral de una funci n es la propia funci n: F (x) = f ( x). -La Integral de la Derivada de una funci n es la propia funci n: x f ( x) = f (x)dx a Con lo antes mencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es m s que la aplicaci n del teorema fundamental), es posible conseguir la funci n primitiva de la dy funci n derivada = f (x) mediante la integraci n de dicha funci n, que es lo que dx necesitamos para poder resolver las ECUACIONES DIFERENCIALES , pero antes debemos definirlas. Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variaci n, o dicho de otra forma, queremos conocer c mo var a dicho elemento en funci n de una o varias variables.

5 En definitiva, lo que se pretende es determinar una funci n desconocida mediante datos relacionados por una ecuaci n que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la funci n desconocida. Estas ECUACIONES se denominan ECUACIONES DIFERENCIALES y su estudio por parte de Newton, Leibniz y los Bernouilli para resolver algunas de las ECUACIONES DIFERENCIALES sencillas que se presentaron en geometr a y mec nica, llevaron al conocimiento sobre la resoluci n de ciertos tipos de ECUACIONES DIFERENCIALES ; se conoce mediante la pr ctica que es dif cil obtener teor as matem ticas de gran generalidad para la resoluci n de estas ECUACIONES DIFERENCIALES , salvo para algunos tipos, como las ECUACIONES lineales, muy extendidas para problemas de tipo cient fico.

6 Definimos: -Ecuaci n diferencial ( ) a una ecuaci n que relaciona una funci n (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuaci n contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuaci n diferencial ordinaria ( ); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o m s variables independientes, se llama ecuaci n en derivadas 2. Las ECUACIONES DIFERENCIALES y sus APLICACIONES en la Ingenier a parcialales ( ). Otro tipo de ECUACIONES son las ECUACIONES DIFERENCIALES de retraso (o retardo) que est n caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x0). -Se llama orden de la ecuaci n diferencial al orden de la derivada o derivada parcial m s alta que aparece en la ecuaci n.

7 Se dice que una ecuaci n diferencial (de orden n) est expresada en forma impl cita cuando tiene la forma F ( x, y, y ,.., y ( n ) ) = 0 , siendo F una funci n F : R n+2 R. siendo un subconjunto (generalmente abierto) de Rn+2. Se dice que una ecuaci n diferencial (de orden n) est expresada en forma expl cita cuando tenemos y(n)= f(x,y,y , .,y(n-1)) con f : D R n+1 R siendo la funci n definida en el subconjunto D (generalmente abierto) de Rn+1 . -Se dice que una ecuaci n diferencial es lineal si tiene la forma dny d n 1 y dy an ( x ) n + a n 1 ( x ) n 1. + .. + a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x) y se llama lineal homog nea si dx dx dx adem s g(x) = 0. -Se dice que una funci n y = (x) definida en un intervalo I es soluci n de una diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuaci n, la reduce a una identidad.

8 Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su soluci n es expresable mediante integrales. En general, la soluci n de la ecuaci n diferencial de orden n depender de n par metros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparam trica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretaci n geom trica nos muestra que tambi n la envolvente de la familia de curvas (si existe) es soluci n de la E. D. -Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuaci n diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la funci n desconocida debe satisfacer. 3. Las ECUACIONES DIFERENCIALES y sus APLICACIONES en la Ingenier a Problema de valor inicial: Es un problema que busca determinar una soluci n a una ecuaci n diferencial sujeta a condiciones sobre la funci n desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente.

9 Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Problemas de valor frontera: Es un problema que busca determinar una soluci n a una ecuaci n diferencial sujeta a condiciones sobre la funci n desconocida, especificadas en dos o m s valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. -La funci n primitiva resultante, o funci n soluci n de una ecuaci n diferencial, puede tener por las condiciones iniciales o de frontera diversos valores, diferenci ndose una soluci n de otra en el par metro, defini ndose este conjunto de soluciones familia de soluciones de un par metro (en el caso de existir s lo un par metro) o familia de soluciones de dos o m s par metros (en el caso de existir m s de un par metro).

10 4. Las ECUACIONES DIFERENCIALES y sus APLICACIONES en la Ingenier a ETAPAS DE RESOLUCI N DEL PROBLEMA CIENT FICO: 1) FORMULACI N MATEM TICA DEL PROBLEMA CIENT FICO: Las leyes cient ficas, que por supuesto est n basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ECUACIONES matem ticas. En cada caso las ECUACIONES DIFERENCIALES representan una simplificaci n idealizada del problema f sico con el que nos encontramos, llam ndose esta idealizaci n Modelo Matem tico. Cada modelo es una aproximaci n a la realidad del problema f sico, su aproximaci n y uso del modelo s lo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resoluci n. Si la intuici n o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan til es ese modelo.