Le equazioni di II grado - mtcube.com

1 1R. Folgieri 2007-20081Le equazioni di II gradoITIS Feltrinelli anno scolastico 2007-2008R. Folgieri 2007-20082 equazioni di IIgradoHanno la forma canonica generale ax2+ bx + c = 0(con a e b coefficienti dell incognita e c termine noto)Un equazione di II grado si dice completaquando tutti i coefficienti sono diversi da 0 incompletaquando il coefficiente b o il coefficiente c o entrambi sono uguali a 0 in particolare si dice: purase b=0 spuriase c=0 monomiase b=0 e c=02R. Folgieri 2007-20083 Metodi di soluzioneEsempix2 9 = 0 equazione pura. Soluzione x2= 9 ; x = 9 ; x = 3x2 5x = 0 equazione spuria. Soluzione x(x-5); soluzioni x=0 e x=5ax2+ bx +c = 0a,b,c o equazione completa: la soluzione ( b b2-4ac)/2ab = 0 equazione pura: la soluzione x = (-ca)c = 0 equazione spuria: due soluzioni x1= 0 e x2= -b/ab = c = 0 equazione monomia: hanno solo la soluzione x = 0R. Folgieri 2007-20084 Soluzione della forma completaAbbiamo l equazione completa ax2 + bx + c = 0La formula risolutiva -b b2-4ac2aOtterr cos due soluzioni, x1e x2, prendendo la formula scritta sopra una volta con il segno + e una volta con il segno Siccome siamo nell insieme R, un equazione di secondo grado ha soluzionesolo se b2-4ac uguale a 0 oppure un numero questa quantit dipendono dunque sia l esistenza delle soluzioni, sia il loro numero.

2 Per questomotivo l espressione si chiamadiscriminantedell equazione e si indica con ilsimbolo (lettera greca delta maiuscola)Possiamo avere tre casi: > 0 l equazione ha due soluzioni distinte = 0 l equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1= x2= - b/2a < 0 l equazione non ha soluzioni nell insieme R e quindi si dice impossibilex2 5x + 4 = 0 si ha = 9 > 0 e applicando la formula risolutiva si hanno le due radici x1= 4 e x2= 13R. Folgieri 2007-20085 equazioni di IIgrado letteraliSe nell equazione di secondo grado sono presenti anche lettere, queste prendono il nome di parametri. I parametri possono essere presenti in tutti i coefficienti e quindi quando si applica la formula risolutiva, sono quasi sempre presenti nel discriminante. Bisogna allora discutere l equazione rispetto ai come: Se il coefficiente della x2 contiene il parametro, bisogna imporre che sia diverso da 0, altrimenti l equazione diventa di primo grado . In questo caso bisogna per anche stabilire qual la soluzione se il coefficiente uguale a zero.

3 Se nel discriminante presente il parametro, bisogna trovare quali sono le soluzioni nei casi > 0, = 0, < 0. Se i paramentri sono nei denominatori, occorre imporre che i denominatori siano diversi da zero. Se l equazione anche frazionaria, bisogna imporre le condizioni di accettabilit sul : x2 ax-6a = 0Il coefficiente della x2 0 e quindi posso scrivere x = a a2+ 24a22Il discriminante = 25a2e quindi so che sicuramente sempre 0 perch 25a2 un quadrato. Allora bisogna dire che:se = 0 si ha a = 0 e la soluzione 0/2, quindi x1=x2= 0se > 0 cio a 0, le soluzioni sono date da x = (a 5a)/2 e quindi x1= 3a e x2= -2aR. Folgieri 2007-20086 Soluzioni e coefficientiMa che relazione sussiste tra soluzioni e coefficienti?Vi sono due relazioni che legano le soluzioni x1e x2ai coefficienti a, b e c dell equazione in forma canonica:x1+ x2= -b/ax1 x2= c/aPossiamo utilizzare queste relazioni per risolvere alcuni problemi particolari, cio possiamo utilizzarle quando richiesto di:1) Determinare per tentativi le soluzioni di un equazione di secondo grado2) Trovare due numeri di cui si conoscono la somma e il prodotto3) Scrivere l equazione che ha per soluzioni due numeri provate da soli ad utilizzare le relazioni scritte sopra per i tre casielencati!

4 4R. Folgieri 2007-20087 Scomposizione trinomio IIgradoDi solito si deve ricorrere alla regola di Ruffini, ma in alcuni casi possiamo usare le seguenti regole:Se l equazione ax2 + bx + c = 0 corrispondente al trinomio ha: > 0e quindi due soluzioni x1e x2(distinte), il polinomio si pu scomporre secondo la formula: ax2 + bx + c = a(x x1)(x-x2) = 0e quindi due soluzioni x1e x2coincidenti, il polinomio si pu scomporre secondo la formula: ax2 + bx + c = a(x x1)2 < 0il polinomio non si pu scomporre nell insieme R