Lección 14: Problemas que se resuelven por …

1 Lecci n 14: Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones linealesA continuaci n veremos algunos Problemas que se resuelven consistemas de ecuaciones y algunos ejemplos de c mo plantear lossistemas para poder resolver f cilmente los pag $50 por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compr 5 cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que pagar $74. Cu l es el precio de cada caja de taquetes y de cada caja de clavos?162GU ADEMATEM TICASIIIPara plantear la soluci n de este problema, identificamos en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta, es decir: qu debemos averiguar? En este caso debemos encontrar doscantidades, el precio de una caja de taquetes y el precio de una caja de clavos.

2 En segundo lugar debemos identificar las relaciones (o condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean en elproblema. Si llamamos xal precio de una caja de taquetes y llamamos yal precio de una caja de clavos, podemos expresar lo que gast Juan a trav s de una ecuaci n y lo que gast Pedropor medio de otra. Para ello analicemos la informaci n que nospresenta el problema y veamos c mo expresar algebraicamentelas ya podemos plantear y resolver el sistema:3x+5y=505x+7y=74163 LECCI N14 Informaci nExpresi n algebraicaPrecio de una caja de de 3 cajas de de 5 cajas de de una caja de de 5 cajas de de 7 cajas de de la compra de de la compra de + 5y= 505x+ 7y= 74{Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que debemos restar para eliminar una de las inc gnitas y como todos son n meros distintos debemos efectuar primero las multiplicaciones convenientes.}

3 Por ejemplo si queremos eliminarla x, multiplicamos los dos miembros de la primera ecuaci n por5 y los dos miembros de la segunda por 3 (si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuaci n por 7 y la segundapor 5).15x+25y=25015x+21y=2220+ 4y=28 Entonces y= =7, ahora sustituimos ypor ese valor en laprimera ecuaci n y obtenemos el valor de x(tambi n podr amoshaber sustituido en la segunda ecuaci n):3x+5y=503x+5(7)=503x=50 35x== 5 Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 yla de clavos cuesta $ es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete de botones blancos cuesta $15 y el de botones negros $10. Si con $ compr en total 14 paquetes, cu nto gast en botones blancos?

4 164GU ADEMATEM TICASIII-284153 Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuacionespara este problema. Seg n la primera manera, podemos pensarque para responder a la pregunta planteada nos puede ser tilconocer cu ntos paquetes de botones blancos compr entonces xa la cantidad de paquetes de botones blancos y, equivalentemente, llamemos ya la cantidad de paquetes de botones negros. Podemos entonces expresar algebraicamente la cantidad total de paquetes comprados, el costo de los paquetes de cada color y el total gastado, lo que nos permitir encontrar el dato que necesitamos pararesolver el N14 Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones :x+y= 1415x+ 10y= 180 Como a nosotros nos interesa conocer x, igualaremos los coeficientes de y.

5 Es decir, para eliminar la y, multiplicamos la primera ecuaci n por + 10 y=14015x+10y=180 5x+ 0= 40 Entonces despejamos la x: 5x= 40x= 40 ( 5)x= 8166GU ADEMATEM TICASIIII nformaci nExpresi n algebraicaCantidad de paquetes de botones pagada por los botones de paquetes de botones pagada por los botones de paquetes de la +y= 1415x+ 10y= 180{-Ahora ya sabemos que Enriqueta compr 8 paquetes debotones blancos. Pero lo que quer amos averiguar es cu nto gast en ellos. Como conocemos el costo de cada uno de esospaquetes, tenemos:8 x 15 = 120 Hemos llegado a la soluci n: podemos afirmar que Enriquetagast $120 en botones blancos. Observe que seg n esta manerade resolver el problema, la soluci n no est dada directamentepor el valor de x, sino que necesit bamos ese valor para poderrealizar la ltima operaci n que nos dio el resultado.}

6 Planteemos ahora la segunda manera de resolver el problema. Aqu nos podemos plantear que, como lo que necesitamos es saber cu nto gast Enriqueta en botones blancos,esa cantidad es la que podemos llamar x, y, equivalentemente,llamamos ya la cantidad que gast en botones negros. Ahora lainformaci n que tenemos se puede traducir en la siguiente tabla:167 LECCI N14 Informaci nExpresi n algebraicaCantidad pagada por los botones de paquetes de botones pagada por los botones de paquetes de botones de la de paquetes +y= 180+ = 14x15y10x15y10 Esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones :x+y=180+=14 Para eliminar la yahora multiplicamos por 10 la segundaecuaci n:x+y=180+y=140x + 0=40Y entonces despejamos la x:x =40=40=40=40x=40 x 3 = 120 Ahora hemos llegado directamente a la soluci n.

7 Como enesta segunda manera la xrepresentaba lo que Enriqueta gast en botones blancos, tenemos que gast $ ADEMATEM TICASIIIx15y10{10x1510x15-10x1515x- 10x155x15x3 Observe que las dos maneras dieron lugar a distintos sistemasde ecuaciones , pero que con ambas llegamos al mismo observe tambi n que en ninguna de las dos tuvimos necesidadde encontrar el valor de y, que representaba en el primer caso la cantidad de paquetes de botones negros y en el segundo eldinero pagado por ellos; si lo hubi ramos deseado, tambi n lohubi ramos podido ahora un par de ejemplos m s de c mo plantear unsistema de ecuaciones :Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera.}

8 C antos viajes realiz cada cami n?169 LECCI N14Si llamamos xa la cantidad de viajes que realiz el primercami n y ya la cantidad de viajes que realiz el segundo cami n,podemos expresar algebraicamente la informaci n que nos presenta el problema:El sistema de ecuaciones es entonces:3x+ 4y=80x+y=23 Usted puede resolver el sistema y encontrar los valores de xy de y, para concluir que el primer cami n realiz 12 viajes y elsegundo edad de Camila y de su mam suman 54 a os y dentro de 9 a os la edad de la mam ser el doble de la edad de Camila. Cu ntos a os tiene cada una?170GU ADEMATEM TICASIIII nformaci nExpresi n algebraicaCantidad de viajes del primer cami transportada por el primer cami de viajes del segundo cami transportada por el segundo cami de madera de + 4y= 80x+y= 23{Si llamamos xa la edad de Camila y llamamos ya la edad dela mam , podemos expresar algebraicamente las relaciones entrelas edades de ambas que nos presenta el N14 Informaci nExpresi n algebraicaEdad actual de de Camila dentro de nueve a + 9 Edad actual de la mam.}

9 Edad de la mam de Camila dentro de nueve a + 9 Suma de las edades n entre las edades dentro de nueve a +y= 54y= 2xAhora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones queusted puede resolver:x+y=542x y=0 Seguramente lleg a la conclusi n de que Camila tiene 15a os y su mam el sistema que permite resolver cada uno de los siguientes Problemas y resu ) Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para materia prima necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $ y para una paleta chica $ Si disponen de $ y quieren hacer 150 paletas, cu ntas paletas de cada tama o podr n hacer?b) El costo de las entradas a una funci n de t teres es de $30 para los adultos y $20 para los ni os.

10 Si el s bado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron $5930, cu ntos adultos y cu ntos ni os asistieron a la funci n el s bado?c) Marta y sus amigos pagaron $109 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana anterior consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $173, cu nto cuesta cada hamburguesa y cada refresco?172GU ADEMATEM TICASIII{Ejercicio 1d) El per metro de un rect ngulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rect ngulo y se aumenta en 6 metros el ancho, el per metro queda en 76 metros. Cu les son las medidas originales del rect ngulo y cu les las medidas del rect ngulo agrandado?e) Don Jos y don Tiburcio fueron a comprar semillas para sembrar.}