LES OPERATEURS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

1 CHAPITRE III. LES OPERATEURS DE LA M CANIQUE QUANTIQUE . Christian Ducauze et Herv This 1 - PROPRI T S ESSENTIELLES DES OPERATEURS UTILISES. Les op rateurs fonctionnels repr sentent des applications d'un ensemble de fonctions sur lui- m me : les fonctions consid r es ici sont celles qui agissent sur les points de l'espace. Les op rateurs fonctionnels peuvent tre ventuellement explicit s sous forme d'op rations : multiplication par une constante r elle ou imaginaire, fonction num rique des coordonn es x , y , z , inversion, etc. Il existe entre ces op rateurs les m mes relations alg briques qu'entre les grandeurs qu'ils repr sentent : (G + H ) = G + H . ( G ) = .( G ). ) = G. ( GH ( H ). HG. En r gle g n rale, les op rateurs ne commutent pas : GH . C'est le cas, par exemple, pour l'op rateur premi re coordonn e et l'op rateur d riv e partielle par rapport la premi re coordonn e : x x x x.

2 De ce fait, l'op rateur commutateur G H H G n'est pas nul dans le cas g n ral. HG. Dans le cas o GH = hi , on dit que les grandeurs physiques sont compl mentaires, comme cela est exprim dans le principe d'incertitude d'Heisenberg. Les op rateurs utilis s en m canique QUANTIQUE sont lin aires, ce qui signifie que : ( , ) 2 , ( , ) Q 2 , G ( + ) = G + G . 1. Remarque : Ce n'est pas le cas de tous les op rateurs fonctionnels, par exemple pour une fonction de fonction ou si on l ve au carr . 2 FONCTIONS PROPRES ET VALEURS PROPRES D'UN OPERATEUR. G . En g n ral g = conduit g( x, y,z ) et l'on ne peut d finir alors qu'une valeur moyenne . dans le cas o . de cette grandeur physique qui, comme on l'a d j vu, s' crit g = G. est norm e. Cependant g est parfois une constante, comme par exemple l' nergie totale li e au mouvement ou le module de la quantit de mouvement, lorsque le mouvement a lieu dans un champ de forces centrales.

3 Dans ce cas, g n'est pas alors quelconque, mais li e . l'expression G . Quand g est une constante, est une fonction propre de G associ e la valeur propre g. Remarque : Les fonctions propres d'un op rateur lin aire ne sont d finies qu' une constante = g. G. multiplicative pr s. En effet : G = g = g = G(. ) . 3 NOTION D'OPERATEUR HERMITIQUE. Alors que les op rateurs utilis s en m canique QUANTIQUE sont tr s souvent complexes, les grandeurs physiques qu'ils permettent de calculer sont toujours r elles. De ce fait, les op rateurs de la m canique QUANTIQUE doivent satisfaire un certain nombre de conditions pour que leurs valeurs propres ou les valeurs moyennes qu'ils permettent de calculer soient r elles. Pour remplir ces conditions, on d montre que : si G est tel que ( , ) Q 2 , ( , G ) = ( , G ) * , G est alors un hermitien. Les op rateurs de ce type sont dits op rateurs hermitiques.

4 On peut d montrer, comme indiqu dans le tableau IV, que les fonctions propres d'un op rateur hermitique associ es des valeurs propres diff rentes sont orthogonales. 2. [ TABLEAU IV]. ORTHOGONALITE DES FONCTONS PROPRES D'UN OPERATEUR. HERMITIQUE APPARTENANT A DES VALEURS PROPRES. DIFFERENTES. G est un Hermitien et , G / ( ,G ) = ( ,G ) . G 1 = g1 1 . g1 g2 ; g1 , g2 . G 2 = g2 2 . ( 1 ,G 2 ) = ( 1 , g2 2 ) = g2 ( 1 , 2 ). ( 2 ,G 1 ) = ( 2 , g1 1 ) = g1 ( 2 , 1 ) = g1 ( 1 , 2 ) car g1 = g1 . ( 2 ,G 1 ) = g1 ( 1 , 2 ). ( 1 ,G 2 ) = ( 2 ,G 1 ) . g2 ( 1 , 2 ) = g1 ( 1 , 2 ). G est un Hermitien ( g1 g2 )( 1 , 2 ) = 0. ( 1 , 2 ) = 0. car g1 g2. 3. Les fonctions propres d'un op rateur lin aire n' tant d finies qu' une constante pr s, il est toujours possible de les choisir normalis es. En cons quence, en ne prenant qu'une seule fonction propre pour chaque valeur propre de l'op rateur, on obtient un ensemble de fonctions orthonorm es.

5 4 NOTION D'OPERATEUR SINGULIER ET VALEURS PROPRES D G N R ES. Dans le cas g n ral, la fonction propre associ e une valeur propre donn e n'est d finie qu' . une constante multiplicative pr s, r elle ou complexe, mais la normalisation r duit encore l'arbitraire de cette constante un facteur de module 1 de la forme e i , o . Par suite, pour un op rateur G , g ne correspond qu'une seule fonction , la constante multiplicative pr s. On dit alors que G est un op rateur r gulier. Dans le cas contraire, lorsqu' une m me valeur propre g de G correspondent plusieurs fonctions propres qui ne peuvent se d duire les unes des autres par multiplication par une constante, on dit que G est un op rateur singulier (ou d g n r ) et que l'on a affaire des valeurs propres d g n r es. Remarque 1: On sait, par exemple, qu'il y a d g n rescence en l des niveaux nerg tiques de l'atome d'hydrog ne, car plusieurs fonctions d'onde m lin airement ind pendantes correspondent une m me valeur de l.

6 Remarque 2 : Si l'on conna t un certain nombre de fonctions propres 1 , 2 , 3 , 4 .. associ es une m me valeur propre de l'op rateur G , toute fonction de la forme : = . 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + .. est galement fonction propre de G , en raison de la lin arit . de l'op rateur G . L'ensemble des fonctions propres associ es la m me valeur propre d'un op rateur constitue une vari t lin aire de l'espace de Hilbert H construite sur le corps des complexes et la base des fonctions 1 , 2 , 3 , 4 .. que l'on peut choisir orthonorm es. 4. 5 REPR SENTATION MATRICIELLE DES OPERATEURS . 5-1- Utilisation de la notation de Dirac Un op rateur hermitique G transforme une fonction de H en une fonction G . appartenant galement H . Si ( 1 , 2 , 3 , 4 ..) est une base orthonorm e compl te de H , . l'hermitien est alors G , avec G tel que G n = g in i . i =1. Remarque : On se souvient que si n est une fonction propre de G , alors G n = g n n Si le nombre des fonctions de base tait fini, les gin d finiraient une matrice.

7 Ici, toutefois, la matrice serait infinie. Sous certaines conditions de convergence qu'on admettra satisfaites, on raisonnera sur cette matrice infinie comme sur une matrice finie. En pratique d'ailleurs, lorsqu'on fera des d veloppements en s rie limit s, la matrice des gin sera finie. Cette matrice sera repr sent e par G et le ket de G s'obtiendra en multipliant gauche le ket de par la matrice des gin . En notation de Dirac : correspond V et G correspond G V . On aura donc ). g = V G V et V G V pour repr senter l'int grale de couplage ( ,G. 5-2- Notion de matrice hermitique ) = ( ,G. Si G est un hermitien, on a : ( ,G ) et cela ( , ) Q 2 . En notation de Dirac, . on crira de fa on quivalente : V G V = V G V . 5. Ce r sultat s'interpr te de la fa on suivante : les deux membres de l' quation pr c dente sont des matrices carr es d'ordre 1, c'est- -dire des scalaires, et, en cons quence, ils ne sont pas modifi s par une transposition.

8 Rappelons que la transposition d'un produit de matrices revient inverser leur ordre et . remplacer les l ments de chaque matrice par leurs imaginaires conjugu s. On va ainsi crire . que V est la transpos e conjugu e de V ou encore que V V = V V . Il s'ensuit que : r V G V = V G V = V G V . Par cons quent, V H , on a : G = G et la matrice G est donc identique sa transpos e conjugu e. C'est une matrice hermitique. Si la matrice G est finie : - elle est carr e - les l ments de sa diagonale principale sont des r els - et les l ments sym triques par rapport cette diagonale sont des imaginaires conjugu s. 6 - COMMUTATIVIT DES OPERATEURS . et B tant deux op rateurs hermitiques, ils sont commutables si AB. A BA.. Le et B est alors nul, soit AB. commutateur de A BA. =0. Th or me : Si deux op rateurs ont en commun un ensemble de fonctions propres constituant une base compl te de l'espace de Hilbert, ils sont commutables.

9 Et B tant ces op rateurs, si l'on prend comme base de H l'ensemble de leurs fonctions A. propres communes, alors les matrices | A | et | B | sont diagonales pour cette base. g a1 0 0 0 L . 1 . 0 g a2 0 0 L 2.. Pour A , on aura par exemple : 0 0 g a3 0 . L 3 .. 0 0 0 g a4 L 4 .. M M M M O M .. car toute fonction propre n de G v rifie : G n = g n n 6. Comme la matrice |B| est galement diagonale, on v rifie que les matrices diagonales |A| et |B| sont commutables. Il en est de m me, des op rateurs correspondants puisque matrices et op rateurs transforment les fonctions de la m me mani re. Th or me inverse (qu'on admet ici sans d monstration) : Si deux hermitiens sont commutables, on peut tirer de l'ensemble de leurs fonctions propres communes une base compl te de H . Ce th or me implique que, dans H , il n'existe pas de fonctions orthogonales communes ces deux op rateurs.

10 7 - RAPPEL DE QUELQUES OPERATEURS IMPORTANTS. On a rappel dans les tableaux V et VI les principaux op rateurs de la m canique QUANTIQUE . 7. [ TABLEAU V]. PRINCIPAUX OPERATEURS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE (1). r r uuuuur 1 ) Pour l'impulsion : p = mv , on a : P = h i grad Soit : P x = h i x , P y = h i y , P z = h i z r uuuur r 2 ) Pour le moment d'impulsion : M = OM p m x = ypz zp y a = h i ( y z ). M x z y m y = zpx xpz a = h i ( z x ). M y x z m z = xp y ypx a = h i ( x y ). M z y x Pour calculer le carr du module du moment d'impulsion, on applique: 2= M. M 2+M 2+M 2. x y z 2= M. M (M ) = h i ( y z ) h i ( y z ) . x x x z y z y . = h 2 ( y z z y )( y z z y ). Et il en va de m me pour M y et M z 2 2. En coordonn es polaires (sph riques) , on peut ais ment calculer : M x = h i ( sin + cot g cos ). M y = h i ( cos + cot g sin ). M z = h i . 1. M 2 = h 2 ( 2 + cot g + 2 ).